Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 22
Текст из файла (страница 22)
нормальная к непсцвяжнай граннце, «.= дт =О где 1 л 1„— направляющие кас»мусы едвнячпай нормалн. Соотношение (9.12) пден*ячно условням непропвцяемостн лля водалепрошщаемого слоя прн рассмотрен»я груптоеых аод яля для теплонзолнрюеанпой грапвцы прк »вучеля» переноса тепла. Зто соютношенне уже нспсиьзовалось в варнацваннай пастаповке задачи. Прв решении уран»евка (9.10) с граанчным условнем (9йй] алэн»кает даполпитютьная трудность.
Решение уравнен»я (9.10) не ел»потаенно. Л!атрнца ()() с»стены сннгулярнк Зта труд»оси может быть преодолена выбором одного узла и заданием значеняя и в этан узле. Так как скоросгл определяюжя днффсрегщнраванкем функцнн гд, то значенне» е ныбраняом узле всегла можно брать равным пулю. Прьмененяе негода ко»ечных элементов прн рассмотреннл беэ- ', внхревага течения нлеалькай жндкаюгн пллюегрнруетс» на задаче обтекания пнлнцпра (фнг.
9.7). Прпмепенне нышевзложеппых понятнй пря решеннн задача обтекаем» ыкогях тел обсужлаюгся в рабат»к (1, 3]. Определять лняян тпка для тече»»» вокруг цвлвцдркческага тела диаметром 40 мн, центр потарага расположен посередине между двумя парлплельнымн стенками. Расстанные между стенкам» равно 80 мм, На достаточном расюганнпн ют цнлнядра одна- родный поток жндыктя высот скорость 40 мм/с. На фнг.
9.6 показана разбиение области на трв базнсаые подобласти, которое было нспользовано лля палуче»яя исходной ннформацпн об элементах. Оканчателыюе разбненяе на элементы в номера узлов показаны на фпг. 9.9. Вада»не граигм»ых условяй па линиях така яе представляет труда. Горнзоатальгга» ось снмметрпн я верхняя граница области 177 гте являются лтшиями тока. Действитечьно, в напранленаи, нормаль. ном к этим люжям, отсутств)ет течение. По тем же соображениям граничная поверхность цнлнплра также является линней тока. Числиюе значение Ф идель линий така может быть выбрано пропзнольно„так как объемный расход жициостн зависят ог разности числовых значений Ф, ссответстнуюнгим двум линиям тока. рсс) Фэг. вд.
чюнвеэуюилнэ и г. эссе гэнмэ эагрэлтюа Оййт аза рэзбюмм б эсгэ а тутун ь не ээе ы. Б г Еч . ВЛО. Уэлоэнг эээчээп» Ф э лээнэ теса Пусть линии тока, образе ванной осью симметрии п поверхнопостью цилиндра, соответствует значение О=О. Эту люшю назовем нулевой линнея тока. Чкслоаое значение тр для верхней границы может быть любым, отличниц от пуля числом (нулевое значение буает означать отсутствие течения). Выбереы, однако. велииину, имеющую определенный физический смысл. Рассмотрим пол-,ный объемный расход жидкости.
()=У 4 (40 ым)с)(40 звй)=1600 юзэ(с. Если аютать на верхней границе ф„равнее (б, то разность значе акй О. состветстэуюшик двум произнольным линкам тока, умноженная ва 100, будет давать гбъемпый расход жидкости. Результаты рэсжтов, соответствуюир~е такому выбору граничных уставий, представлены на фиг. 9.10 в виде узловых знпчеинй гр. Здесь изображены также нинин тоне, сеошететвуюгцие 4 =0, 2, Фпс, тй Огэцсп валглээ эа яэпп э, э ыж а Сеэээггпи эепэ, гэыа.
эн'эаэ Э» узлов: г 2 — 7аз гтз уяф11ышшээ бамшэгчое эн ым 9.4. Зннянэцнинн Х ээнвче ЗЯ 4, 6, 16 н 16. На ясной вертикальной сраанце области не поаучепа однородная картина течении, что обьясняется недостаточным удалением ягой границы от цинпндра аырх по течению. Пытаясь . прицепить конечную модель нхя решения нескрашшснпой задачи, иуэкно выбирать достаточно большую обнасц ння аналюв. Метод конечных элементов широко прииеняегсэ при рассмотрении задач течения жидкости п те дае задачи, которые приведены в этой глазе, служат всего лишь иллюстрацией того, кзк этот метод может испоньзоааться.
Бошс полный обзор исследований вшои направлении представлен в трудах мсждуиарогшой конференции по использовзншо метода конечных знемептов при решении задач течения жидкости )4). 04егод конечных эленентое прнмеаяетсн такнге при рассмотре«ни те«ения газа, течения по поверхности и для решения уравнений Нанте — Стокса. Лрутой важный класс эанач, которые могут быль решены этим методом, включает задачи со свободной гюперхносгью, такие, кэк об~сизине плотины илн грунтовой поаерхиостя в случае грунтовых нод.
Длн решения таких задач требуется итерационный процесс, которнй нключанг модификацию сетя раэбвс. ння области иа элементы после выполнения наждой итерации. Задачи Используйте программу Н.ОМАН, представленную в гл. 16. для анализа следующих задач. х эээач» зэ.
1 эю м эа зона сн я ра стмээм от аэсчсэ. 64 — 66. Определите понижение уровня воды в точкам расположения нжогов и постройте графини зкаипотенциаяьнык пипия для изображенных виже областей. Х ээнэче аэ. 6 Д =.40 н)суг. Мещэомь яааков: 600 Дт ( эсас 11, 400 н )стт (насос Э). 66 — ВВ, Постройте графики пиний постоянных зиачеаий 0 к фини) ф дня иэображенньж ниже областей. Гл эаэ Глава 1В К аллэче Бц ЛИТЕРАТУРА 1. дечгее сч нагие О, Гк ть Ашйсэцоэ а) Ве нпкенеиепг тесьпщае 1 Р )сапа) Рюп Ргэыешэ. тпшз. Аяяе. Белел е, 1. АрМ м ьлллх 86.
798— 802 О671). 2. Оэлсэп %.3., ть А. Б тмэе А О., ммьэагсв 1 нома,2-пд ед„Апь еиеч1ег Раы. Са, Н. 2„1970. з. Од э!. т., пепйеу"гп О. с„бэ)ыяь ц. И„татглг с, нш)е еь епгмецмд 1 Нс Р аыеав,'ТЬе Оэн. гд АМБэпв, Н пытШ Рнаи 1974. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Вгп М., шээ1зш К Н Пс Нмэия Ме)Ьад Амдь:д )о Ала)ттв ог На слег ° Бэвкгау Сггы, Ллл э. 1. )э Ллмлэп1 Мылам М Елдымлэд 6, П9— !ьэ 1штз).
Мыв П. С.. Нпце'Е)епэп)А дтш 1 Нагл Ночч. Рля. аг Бесаэд Сам. и Ь1зг ЫЫВ Я Шгаг М Ьэ э. Шпгд! Р Ие А1г Г В, О Ьп, Сыа, 1988. Н.' шээ Ь. Н, Шляп Э Р. А., Н Бе ГМ ид М ГЫЫ Ы А„)улЬЕ Я.агВ Бгэ) Бссэаяе чдВ а Гг е Бог!асс. ттэы Йегагигм Ле Ль Ц 3, Мэ-ЛББ (1970). РАДИАЛЬНЫЕ И ОСЕСИММЕТРИЧЕСИИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ Ряд важных фиэическнк двумерных я трехмерных задач может быль решен с использованием одномерных к двумерных элп ментов. Оги зада!и обладают осевой или центральной снмиетрией.
Задача о раднвэьном патако тепла через концентрические цилиндры с разлнчнммн каэффицнеатамв теплапроводнастн являетсп Одним из примеров тапи задач. В постатпчио длинном цилиндре поток тепла распространяется как в радиальном, так н засевам направлениях. Погон тенла ие зависит от азнмугвэьпаго )тла 6, если граничные условия не зависят от 8. Другим примером эацачн с осегюй сшзмегрией является задача о плоском течении воды к скважине. В этом сл)чае харэктеристнхн течения не должны зависеть от угла 8.
Мнопге трехмерные задачи теории паля обладани Осевой симметрией. Бальпшнство вз рассиотренпых здесь задач связано с переносом тепла. впрочем ты!анне вопи к скважнне в пористой среде — пример важной аадачп пшродинамнии Методика решения двумерных н трехмерных задач, которая обсуждалась ранее. изменяется а случае паличяя симметрии. Главное изме!ение гвязако с порядкам нспшчьзуеьгого ыгемеита. Двумерные симметрические задачи становятся одномерными, а трехмерные осеснмметрнчесине задачи решаются с использованием днумерпога элемента. Вариашгоэная формулнровна задач н вычисление саответствуюших интегралов по плагцадн элемента настолько отличаются от пить чта быэо описана в предыдуших главах, что требуют специальнага рассмотрения, которое буде! дано в этой главе.
1ГЬ1. Симметрические двумерные задачи тепрннполп Рассмотрим днффершшиальное уравнение для квазистатпческих задач теории паля в цилиндрических координатах 1!1 182 Глаза Ю (10.5) (1ОЛО Р=)рьФь+)УФг. (10,10) с гршшчными усаовнями Р=Фл [103) и «.~1.+Кюй-.+К щ 1.+р+й(,-Ф ~ [103) Члены, связанные с координатой а, не учитываются в двумерной задаче. Налпчне симметрии означает. что И ие зависит ог 6 и соатвьтегвуюьцие члены в приведенных соотношениях должны быть отброшены. Запшнем дифференциальное уравнение длн симметрической двумерной задачи теории поля [)а4) с граничными условиями р=рв ʄ— 1,+В+ й(р — ~р.)=0. др Условия (10.5) п [!Об) могут быть заданы одновременно, ло иа раэпык частях границы.
Вариан ионная формулнрошса. соответствующая ураввенща (10.4) и граничным условиям. связана с фушщноналом д=Я.К„(ф ) — Впар ) а'+ +~я и+~ — (чз — 388 +1К)33. (107) Поверхносгные интегралы в (10.7) идентичны интегралам в формуле [535), тогда нак объеьшый интеграл может быть запнсан в ме, ндейтнчгюй соответствующему интегралу в (535), если Р определить клк [РК ) и 9 в [53б) заменить иа г(,>. После этих нодстаиовок минимизация П0.7) может быть осуществлена так же, квк в одномерном случае, представленном в (5.35), ц приюлит к следующим соотношениям: э",ф, — — )йн ИФ)+ [("ь!.
(10.3) [йы)-~[бы)г [в 1[йьл)ду+ [й[РД ) ()7 ') Д3 Р ъ ьиввагмиш гэп ам з д шмтвьввдзз щй [(ыь) ~ („(» ()ум~)г бу 1 ~р()уг г)т бб ~)зу. ()Вы)г б3 Рвзбжшие области ив элементы в данном случае покзаано на фвг. 103,л Каждый элемент ограюмпаается концентрическими окружностями. Значение ч внутри наждого элемента ие зависит от угла В. и множество концентрических окружностей может быть Ив. ЭОЛ. Одьопэг ь ззьиезти, всэаьььтььше злэ жм роьаэва Гзэва ьна э тьэемм ьеэи х схэз|эвэа вамеисно линейнымн элементами, изображенными иа фнг. 10.1,б. Функции формы для одномерного элемента (3.5), выраженные ' через ранье)с г. имеют внд (10.9) Переменила и впврокгнмируежя зависимостью Матрица грлднентОв выражается следующем щхьтношеннем: е" ее щ и (В)г(О)(В]бр='"~" Р>)[ '11 — 1 Ц Т(г. 1) г г„- где Л предпгаагается пасщяняым, а ь=йг — )(г — дляиа элемента.
После умножения и нщъгрнровання будем имщь 1 (в) =„'"~" „~~) [ Поверхностный интеграл в (йы! имеет вяд Мв( (МДЗ Р>ОР'>Уг )Зг)де142. (м)уг в,>уг1 ((опз) Вычислим этот интеграл по внешней вонерхнооги„которая совпа- дает с 1-м узлам наиболее удаленного от центра элемента. В этом >зле фувкцнм формы пышат значения М=1 и йге Ь я поверхност- ный интеграл записываетсн следующим абразомг ' ~ й РУ)г ОУ! 45=2икй [ (10.14) Толщина элемента предполагжтся елиннчной. Длн внутренней ио- нерзиасги того же элемента тот же самый иитегрвн имеет внд й!Мг (ее']дз=зикгй [ -'.[ 1 Г( 01 ' ',(о, о!' (10.10) Поверхностные иитегралй> формулы (10.0) для (ря) определшотсй аналогично.
Вычислить интегралы в (1О.З) сравнительно просто. Бесконечно малое изменение объема «П ' элемента единичной толщины равно ар =2агдг. (10.12) Внешнвио поверхность могут иметь тонъко лва элемента: элемент нв внешней границе н внутренний элемент прк наличии полости. В абокх снучаях этн поверхности совпадают с узламн и интеграл по поверхности сводится к ) е(З. Рассмотрим теперь более детально интегралы па элементам, опуская иерхний индекс (с) у всехперемемнык,кроме (йщ>! и ((вг). Вычислим объемный интеграл в (Ва!.
нсполыуя формулы (1О.П) н (1О.!2]: Р д юие аееаиыыщееекиеиедиии гееэии ииы ИЬ Вычисление объемного интеграла. вхадящыо в (Рм). сволвтся н интегрирававщо членов, включающих ги и ги. Запишем окончательный реэультат О( = — -'= — ](1~ (Орг+ )()>> (10.10) б(йг Ю [12й) — дй))( +й!)! Величина С) теперь ие распределвется. как раньше, поровну меж'д> узламк, хотя это ие столь очевидно нз (10.16). Более полонины величины гг приходится на узел 1, потому что радиальная координата возрастает в направлении этого узла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
