Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Однзка в следующем примере приведено вычисление матрицы [А). Пример 104. Требуется составить матрицу [А) нз формулы (11.28) длЯ стержня (залача 89), предполагая, что ср=13 Дж!(см К). Шаг по времени считзть равным 1 мнн. Стержень и рзспалажение узловых точек показаны инже. к !оь й<атрнна [К) била расппызна в задаче 69; онз имеет внд Подстановка числовых зиач ний А и б дает !Зз.1С1,а ~2 1~ ~7,5 3.75) Объединяя матрицы элементов в юатвсчствни с методом прямой жесткости. получаем (01="- Матрица [А] получается сложением матриц [б) и [К)г И1 !51+ з, Г4. В размерности коэффициента теплоправаднссти время выражается в засад поэтому б! должна бить выражено в часах. т. ц бр=1(60.

н [А) Равно [К)+120[6). или 958 407 407 19! 6 407 407 !916 407 407 1916 407 407 !916 4 407 968 11А. Чнспенния устойчивость и колебания Конечна-разностнза сыма, используемвн для временной области, построена на основе центрально-разнастной схемы Кранка— 1!нмольсона, которая явлнетсябезуслоено устойчивой [!). Безуслоанаа устойчивость гпначает, что если распределение температуры ео времени преобразовать по Фурта в частотную область, та коэффяпиент усиления дая иаждой частотной компененты будет затухать ао врелнни.

Прк этом могут юзинкать н обычно жпннкзют кслебаяия числовых анвчеаий лююмых величин даже тогда, когда ме- 7,5 3,75 0 0 3.75 15.0 3,75 0 0 3.75 15 3.75 0 0 3,75 15 0 О О 3,75 0 0 0 0 0 0 0 О О 0 3,75 0 15 а, 3,75 15 тод счета сам по себе устойчив. Размах нолсбзннй зависят от свойств материала, размеран элемента, величины аременнбга шага я ат значений фуры-компонент температурного распределения. соатветствукчцих началу временнбга шага.

Поскольку гвойстаа материала обычно известны, переменнымн„которые можно варьировать, являются тюрьма размеры элемента н шаг по времени. Фурье-компоненты начальнсга распределении телшературы могут быль изменены путем язцеасяии рззмероа элемента. Одновременное уменьшение размеров элемента н времеиибго шага будет существенно снижать размах колебаний.

Но изменение талька адней иэ этих переменных, когда другая остаетси фиксированной, не всегда улучшает ситуацию. Типичной сиз~бхай является сочетание грубога сеточного разбиения области на элементы и малого шага па ареллен». Такая комбинация иногда приводит к результатам, которые противоречат физическому смыслу задачи. Грубое раабнепне области обычна явлаетсн результатом уимнтельной работы по палготовке исходных данньж элемент» там, где программа, генерирующая сета шее разбиение, непрнлгсннма.

Большие трудности возникают при гамам «иде температурного распределения. когда значения температуры в граничных узлах значительно выше (нлн ниже), чем внутри юла. Прн такай спту»- цнн граничные ээел~енты испытывают большие температурные градиенты. Общее правило состоит н том.

чтобы использовать малые элементы прн наличии значительных градиентов темпеРатуРы Использование малых элементов б>дет уменьшать размах юлебания' числовых значений. которые могут возникнуть в связи с резным изменением тсмпературы. 11.5. Решение задач нп ЭВМ Составление н решение урааиеяи» (1!.24) во многом аналогичны процелураы, которые обсуждались в предьшущих главах, но все же отлнчак'тсн ат ннх. Построение матрицы фА) осуществляется по обшей уже расгл~атрениай методике. Должны быть составлены две матрицы элементов, на основе которых строится матрицы [А) п [Р), соатветсгаукмцпе па форме либо (11.23), либо (1!.24).

Далее осуществляется трнангулярпзация [Л). э затем нспользуетсн оодпрогрзмма, которая вычисляет искомые узловые значения [Ф) в нужные моменты времени. Методика Решения уравнения (11.24) зависит ат того, имеются дн по условиям задачи иакнс-либо заданные узловые значения. Если ни одна нэ значений (Ф) не аадано заранее, то уравнение Н.24) решаетса таи же, мак любая другая систем» уравнений. ровзнедение [Р)[Ф)э вместе с (Р) образует вектор-столбец, который разлагается параллельна с трнаигулнрюццией [Л[, после чего решаю~с получается обратюй прогонкпй. есэи некохьрые номпонснты (Ф), заданы, анн должны оставаться неизмениымн по времени. Вто означает, что заданные значения (Ф)ч следует восстанавливать после каждой итерации.

Необходимость восстановления заданных значений требует запоминания этих значений вместе с соответстаукзцнмн им номерами узлов. В программе должна содержимся информации о числе итераций н шаге по времени дб В некоторых программах предусматрнваетсп выборачлая печать результатов только для опрсделсншв итераций вместо тога, 'пабы делать зто после каждой итерации. Программа с такой выборочной печатью должна содержать дополнительную информацию, спяааиную с указанием момента печатания результатоа счета. Задачи 105 Проверьте матрицу демпфнровлння элемента, представленную озекткпциын соотношепиямк! а] (Н.!3).

б) (!1.!4), в) (П.15), г) (11.10),д) (!1.17). 108. Выведите уравнение (П.24), которое определяет (Ф) в средней точке врмчсннбго шага. !07. Используя уравнение (Н.24), рассчнтайте (Ф) для зшгачи о брусе (задача 104). Вектор-столбец (Р) приведен в задаче 59, а приведеннап к треугольному виду матрица [К)+2!0![С) дана ни-.

же. Рассмотрение во времени ограннчять щемя минутами. 958 407 1743,09 407 1820,97 407 1825,03 407 1825,Ж 407 877,2 ЛИТЕРАТУРА 1. попса д Оп 1ье Аввы у о! Нане Шевэп! Бмж!в !о Нв тгавкв! Неыс юамьв ечазю!, !л А 1 и а а ммыз в е к!вввю в, ив— ин (!Б741. ЛОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ВгчсЬ !. С а.. Хгв!азы О., Тга вгп! Тво-Вьзев!опэ! Неа! Сопдасво Рпд !ев Бс!вд ьу !ье нв!е е1евеп! меквд.

ьд 7. (ог жвзвнэг ывь«ь в Рлл! ээ вд. а, дз! — ем !юж1. КОЫв. щ. Ркп !. Сыпдзво о! тгэпзип! теву» «Юге Не!КЬ ШШ Наке Не. зч;. а. БМ вЂ” 43! !!ч741. Шеэм Ьз О. С.. РзЫЙ С. 1„Т вм и! Нею Ргчыеп з: Т о-Выиэшвз! эпд ТЬ ее-В!венею а! А 1уав Ьу Марэгвзе!пс Нпц» Е!епе гз, !лгпи. !. (ог диввнч! Нэмодз о! егцда аш.

и, Б! — 7! (!Б70!. Глава 12 Адйддд+1КА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЕРДОГО ТЕЛА. теория упруГОСТИ лы имеют нид (А г(=1(ВГ')г((3 )((Вп!(ЛУ ° (12.1) (Е! !! (). ) = — ~(77м Г ~ ~"'~ЛУ вЂ” ~(5" т (О")(Ю др— Я! ! (ра!1 — )97мт Я 88 — (Р). (!ЕЕ) рв где (Вю) — матрица градиентов, связываюп!зя деформации к перемещения; [Ою) — матрица, оиисываюшая механические свойства; (ев!) — начальнан деформация элемента; [!Ув[ — матртща функций (врмы;[ею„5гиь ы!н — объемные силы, рг;7, р!'!. р!'!— поверхностные нагрузки н (Р) — вектор-столбец узловых сил. Определение зтнх матриц и вычисление приведенных выше интегралов — главная цель этой главы.

!4 Применении метода конечных алементов к задачам механики деформнруемого твердого тела очень обширны. Сюда относятся вш!а !н теории упругости, задачи теории пластин н оболочек, задачи расчета конструкций, состанлеовых из пластин н оболочек, анализ упругопластнческого и вязкоуприого поведения матерналз, динамические задачи, расчет составных конструкций. Даннаи глава пссзвщена задачам теории упругости.

)Трутне области механики деформирусмога тела рассматриваться нс будут. Мы обсу'дим злесь обвис случаи одномерных, лаумерных н трехмерных задач теории унругссти, а также специальный случай задач с оесвой симметрией. Кроме того, будет рассмотреаа машиннап реалниацнн задачи о плоском напрпжеииои состонпнн.

Теоретическим ваеденнеи к этой главе служит материал, представленный п гл. 5, где рассмотрена минимизации потенциальной энергии упрувлв тела. В процессе минимизации пплучзюгся интегралы, котоРые входит в уравнении ллв элементов Эти ннтегра- акти жа эга ерема гглк Т г 22 12Л. Теории упругости. Одмомершый случай Простейшая одномерная задача авлветсн удобной отправной точкой я а дл д льмейшего нэлсикения, поскольку только оаа позволяет пронлл~острнроеать все выкладки для конкретного числового примера. В двумерном н теи более в трехмерном случае обьем вычислений слншном велик ллн этого.

Тзк как обсуждение, проводимое ниже, относится к отдельному элементу, верхний индекс в обсзначенннх всех величин, эв нскаючением (Дю) н ((аппо б ет Опускаться. я г п,,де Предполагая, что одноьгер~юе упругое тело ориентировано вдоль оси х, будем иметь только одну компоненту тензара наприженлй и и ссответстеукчцую компоненту тензора деформаций е, Запишем закон Тука о .=ЕДе) — (еи)). (1 2.З) трормула (!2.3) в матрнчеам виде записываетси как (и) = =((т) ((е) — (еи) ).

поэтому (21) =Е, тле Б — модуль упругости. Начальную деформацию обычно связйвают с тепловым Расширением оЛТ, где о — коэффициент теплового расширения, а ЬТ вЂ” отклонение температуры от неКоторы'о равновесного аначення. Лля олнпмерногс элемента функция перемещении имеет вид н=лдгг+)удгг=(л 1((г), (!2.4) где (Гг н (Г! — перемещения узлов г и ) в направления оси х. деформация е связана с перемещением формулой (12.Ц Производные пт функций формы вычисляютса легхс, тзк как' Кг — — 1 — * и Ж= — *. Яяфферевцирвванне дает — — 1! ((Г) =(В! (Ц.

(1 2.8) Матрица граднеитоа (В) теперь определена, тяк что можно япнсгупвть к составлению матрицы жесткости. Подставляя [В) н (П) в формул> (12.1) н прешюлэгэя площадь поперечного сечения постояннОй, получаем 1(ВО)=~(ВР(()ИВ)бр-~ [ — '~( ! !1~»ж г а (122) Соотношение (12.8) идентично па форме матрице элемента, полученной в одномерном случае переноса тепла. Иитсгралы, определяющие вектор нагрузки, вычисляются также просто. Интеграл, свезавный с тепловым расширением. Звпнсы- настов как 1 — ~(Ву(П)(,,),й = и~~зу)~ ')~б = — ЕА(ЬТ)~ ~~.(!28) г е Интеграл от объемных сил имеет внд ~(А()г(й) АУ= — ЕА) г(х — '- (12 (О) Л~ — +)1 .

Характеристики

Список файлов книги