Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предположив, что ва стороне между узламн г я ) действуют равномерно рзспределеннме нагрузки ин- Лг 0 0 Лг Лгь 0. 0 «У (12.261 2» гмш ш тенсивнасги р, параллельно оси л в интенсивности Р царвзлельно оси р, получиц 0 ~[)у)г(Р.)45 ~ [уз О д, о ~Р3),5 (12.24) зч о о где Вц — площадь поверхности стороны элемента между узламн 1 и 1, Вп=Жц. Компоненты результирутошаи силы в иаираеленни координатных соей х и р раины ссютветстаенна р,5ц и р„5п. Кзн видно нз формул (!224). нв каждый нз ржсматрнваемых узлов приходится по половине каждой компоненты результирующей силы. На основе соатношенид (1220) — (12.24) строятся определнютиие ююметгг уравнении ллн треугоиьнаго элемента из нзотропного материала. Вычисление матриц элемента «ллнютрируется на следующем примере.
К зздз е Нв. Пример 110. Нужно вывестн определяющие элемент уравнения лдя изображенного ниже элемента в саутяе пдосиога напрнжениаго состоянии. Перпет~дикулпрно к старане [Ь деЯстаует равномерно распределенная нагрузка интенсивности 20 Н/смз. Элемент нсцытывзет также тепловое расширение вследстнне повышения его температуры на [о ..
Запишем матрицу градиентов р,о ь,о 4,01 [В)= — О с, 0 с 0 с„. 1 ~ с; Ь,- сг Ьз сз Ь ~ „=Х вЂ” Х = — 1, с =Х; — Х„= — 1, с„=Х вЂ” Х,=2. [, оо [ 4, О о о где А (3.2)[2 3 смз, [4 — — Ут — У»= — 3, Ь =1'„— У,=з, Ьа=[ т 1 с=о Р Р„ Р Рт о о з1 з с з зли/ я-а*загса[[с .К) и цтз Подстансекв числовых апаченнЯ нозффнпиентов дает [ — 3030001 [В)= е Π— 1 Π— 1 О 2 — 1 — 3 — 1320 Матрица упругих констант в дашюм случае ямеет вид — 0 и К В.РИ 1 з)О О (1 — р)[2~ О [В 2 01 0 О 3 Запишем матрацу жесткости элемента [Ям[=[В)г [В) [В[ [А, — 3 0 — 1 о †! — з а о Π— 1 3 0 0 2 О 2 О »В»т»Ю»= | н 280 — 24 — 6 — 3 — 2 — 8 — 9 24 5 — 3 — 2 — 8 9 О О 6 4 16 0 ш»т((э» а.з |с 4З вЂ” 24 — 6 - — 3 — 2 — 6 — 9 24 б —.2 — 8 9 О 0 6 с в 303000» Π— 1 0 1 0 2 — 1 — 3 — 1 3 2 О 4 16 О !5 — 69 35 3 3 Уз — 19 — 15 — !6 — 6 — 16 12 (йэ|»=13333 Вектор нагрузка элемента (»н|) обусловлен хах тепловым ивдействием, тан н понерхностпой нагрузкой.
Вклад в нектар на|руз|ш теплового воздействия онрсделяется нелячииой »)»„» =(В»т(В!»;» (Л. У ф р у.у(1222). — 3 — 1 Вч» т |о |-а.ю'я.|а 3 т [| — о,хз) 0 1 2 — 840 0 1680 15 15 — 69 — 3 — 6 — 12 ) — 3 — 19 — !5 35 18 — !6 — Π— 1 — 18 — 1 — 6 1 16 — 1 12 0 32 Вклад в (»н|) повсрхностной натрузнн определяется следуюшвм образом. Компоненты полной величины этой нагрузки распределяются поровну между узлами 1 п !с Длина стороны»й равна -Й ФФР:35 тпр м Компоненты внешней поверхностной нагрузки по осям и и р равны соответственно р =рсоз6=20(З!3,163»=18,97 Н»снз, Рэ=дыпо=20(!13,163» 6,32 Н(смэ. 6|увкявя форны В| обрашэется в нуль на сшроне !Ъ.
|юэтому 0 О О 0 ! О (р.» 1 0 ВУ»" »Р"»65=1 Ж '„»'"»ВЗ-7 вй| о О 1 После подо|яновна р рм а танже часлыюто зш|чення ппощадв З|э 3,!63.2=6Д2В см" н умноження матрвп полуием ОО 0 Ю=» Теоерь можно записать полную систему ураавеннй.дла злемеата| уб 25 -е — 3 — 6 35 3 — !9 — 18 75 — 15 — 6 35 18 12 18333 Сжчметрпчво Вентор-столбец (»| |) равен сумме (»51)+ (»рю). Длп того чтобы проаллюстрировать применение формул (!2,20» — (12.24), приведенного выше примера вполне достаточно.
Нетруд|ю эзмн|нть, что здесь необходимо выполнить болы|юй объем вычнсленнй. Очевидно также, что аыбврать в |ичестве нл- — 12 — 16 12 — 16 О 32 (рм-з Ум (тэы (|ы (тв:-э Сы — 2520 — 840 зш»0 — 820 60 ! 700 гела т В— 1 (12.25) соотношениями Оиа тйд деинеемев переиеенмм азе трееиезвеге евивмаг мюееэтз. Запвюем аомпоиенты аеатора деформаций (в) г (е)г=(а з в, тзз т т 1. (12,23) Компоненты вектора напряжений (о) должны располагаться в той же последоизтсльности.
Матрица упругих характеристик [В] для трехмерюго иэотропного материала имеет вид О О О О а О О О О 0 О 0 г — Ян ао — и (! 2.30) 1 р((1 — р) 01(! — Р) 1 10(! — р) 1 6+ай!-)й! Свмметрнчно люстрация пример, в котором ржсматрнажтси несколько зпемеитов, непрактично. Существунп два способа проверки правильвости составления матрицы [Ьео], Прежде всего [Ьтн] должна быть симметричной матрицей с положительными коэффициентами на главной диагонали. Кроме того, сумма юмффициентов любой строки или столбца матрицы должна обращаться в нуль. 12.3. Трнхмнриьге задачи теории упругости Трехмерный симплекс-элемент а задачах теории упр!тс«гя рассматривается почти так же, как двумерный злемепп Три компоненты перемещения и, о и ю аппроксимируются внутри элемента Двенадцать узловых значений изображены па фиг. 3.5 и воспроизводятся для удобства здесь (фнг, 12.2».
Функции формы определены а гл. 3. В общей форме онн звпнсыззютсв кзк ау Ьа+(р +сэр+ э )' (12.20) тли пэ, й» сз и Из выражаются через ююрдннаты уыюн. Сготнгюгення сююв межпу керемещеииями и деформацвями в данном сзучае имеют вид й зе ди ' =щ е зр' е ю' а (! 2.27) зе Зи Эе и де Зв — + —. т = — + —.
т — + —- *э дг дэ ' "* Зз Зг ' е дг зп Матрица градиентов [В] в формуле (в)=.[В]((Г) легко вычис- ляется двфференцированвем (12.25) с последующим использова- нием зависимостей (1221). Приведем здесь окончательный резуль. тате ь, о о се бе о о ой, „о о 0 е(е О ь,ос, о ь,б, б, с, О а о ь,о оооо„ об!Оо ь, о с, ь„ о ьтб,а б, , О б, оь,а а о', б„о о о е, ь, ь, б, о сз О б, о о е(е о ь, сг Р.ь зз ЗУ Вектор начальной деформации 1 1 1 О О О (ег) абу (12.3!) Вычисление интегралов, определяющвх матрицы элементов.
не составляет труда, поскольку (В) и .[О) содержат только постоянные члены и, следовательно, могут быть вынесены за знак ин. теграла. Для матрицы жешкости элемента имеем (йы) ~(В)г(П) (В)бр=(в) (ОНВ)~бу=бВ)г(П)(В) И (2232) Перемножение матриц выполняется ЭВМ. Вектор-столбец ()1е) представляется суммой трек интегралов, после вычисления шыорых имеем Р Р Р Рг Р Р Рз Р О О О 1 1 1 О О О +РЯД (В г 1 — Гз (12.Я) Иа первого вектор-сшлбца зиппо, что объемные силы раонределпкнся поровву между четырьмя узлами элемента. Второй веиторстолбец.
ссотастствутощий тевловому расширению материала, сохраиеа в виде произведения матриц, которое будет вычислять ЭВМ. Как видно вз последнего вектор-столбца, шмерхжктиые нагрузки распргделяютск поровну между греми уздами сторопы элемента, н которой приложены зти нагрузки. В формуле (!233) предполагается, что укаэанная егорова определяется узчами й 1 и й. а Ягм — се плошадь.
Последние три члена в вектор-стгшбце равны нулю, потому что оии связаны с интегралом / йгя(3, а Л'г равно нулю на втой ш'ороне. Рзсположешю нулевых тленов в столбце зависит от того, К какой стороне злемевта приложены поверхност- ные нагрузки. Если ловерхжктные нагр)еии действуют более чем на одной стороне элемента, в выражении для ()иг) появятсн до- полнительные вектор-столбцы. (1 2.34) (е)г-(о- - тм) деформаций (з)т= — (с г (12.33) между деформацдями и перемещениями имс- компоненты всгпора в = —, вп= —, у„=т+ д, . (12.33) дэ в д» дэ Схематически компоненты тегеора иапршкений показаны на фнг.
12.3. Заметим, что кольцевое. нормальное напряжение оге н деформация еш также используются в расчетах. Предполагая материал изотропиым, вапишем матрицу упругих характеристик я и 1 — я иб — г) (1+ и)(1 — зр) О О хΠ— Ф 12.4. Осесимметричесние задачи теории упРугости Важный клжс задач теории упругости включает задачи, в которых рассматриваются тела вращение при осесиммсгричяом нагружепик Хоти такие тела и янлюотсв трехмерными„по ии их геоматрия, нв условия нагруження не зависят от ааимугальпой координаты.
Поэтому ори решении может быть использован тот же подход, что н к двумерным аадачам. Осссиммшричный треугольный элемент, полученный вращеняем треугольного симплекс-элемента, образует треугольный тор. Уравиеппя для элемента составляютсн ногти так же. как в . предыдущих трех разделах Нсобхолимо записать несколько новых соотношений, потому что удобвсе использовать компоиекты тенмь ров вапряженип н деформаций в цилиндрической системе ксюрдинат.
Здесь представлены основные величины .Щ: «омвонепты вектора напряжений Па им, (гм и Пм Ь О Ьг О Ь О о с, о с о с, с, Ь сг Ьг се Ьз 1 (ае)-«Ьт ! . 1 о (12.33) (гм и (l им бм Ц ~ЬГ О Вг О ЛГ, О ~ (12.Я) 1 о (1 2.40) я аватар иачалышй деформации. выавашшй тепловым воздейст- вием, Поле пврезшщеияй ни)три злемезпа апороксямнруегсз сестиошеняамв, идевти шымп (12.14), ва исклшчеяием того, чш фупюшн формы теперь вырзжак.тся через г и а, а перемшцения обознача- вися буквамн и и ы. Итаи, для перемещений имеем Лиффереяпируя (1237) и используя ссотношшшв сааза между де- формюшямп н перемещениями (12.36), получаем Мевием д езеез ге ш. 7 Змпшети хи Матрица коэффициентов в (1223) соотвегстаует [В), так как (з) = [В) (И Вычисление иишгралоа, ппределяшщих матрицы злементоя, пь- сколько сложнее, чем это было в одномерных, двумерных и трех- мерных задачах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
