Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Хг=! н Хь= = 2 В соответствяи с формулой (13.31) ллэ "гга — ! —. ()=Л Х й. Прежде всего состаивм матрицы Щ и Щ '. Жпольэуя формулу (1323). получаем лл, (2)= -Х+ — Х+ — Хм . Г,ьмв хд Запишем производные функций формы по В .ф. Ц 4(;©.) +~ — ~.=-(П вЂ” В(1+12= Я, ° у/ а лй з Подставив эти выражения вместе с числовыми аначеннзмн коор- динат а выражение для,[7), получим (71=1 — 4-+1) 1+)+( — ЯН1)+(++4) Ю (7) — 4-+ я — Я+-4-+ з -й., (УГ'=2. т 4 3 зг 1 Так как г(Л'з/Щ уже оарглелеио. можно получить 4176(бк Из фор- згулы (13.32) находим ((ЗЛ4> поскольку [/) — '=2.
Заметим, что ажшсаиные проиавадные являются функциями естественной координаты В Это означает, что, прежде чем вычислять [йг'г), нужно сделать замену переменной интегрирования в мнтеграле (13.27). Для малага элемента объема имеем бу бга(рбз [бе((7))гйт(ту2г (П236) В рассматриваемом случае имеется только одна координата В давтоеу г )йът) ~(б)г (Р)(В) Дм А 7(В)г (7)ПВ)(4 ~(г))44 (13374 — 1 где А — влошадь поперечного сечении в (бе1[У) [ =Чь Подставив в (13.36) полученные выше выражения, будем вметь à — 1+Я1 (й'л) АК Ч вЂ” 41 11( — 1+21) ( — 41) и+ЯМ 1 47.
1+21 'Г ( — !+Я)' ( — 4В( — 1+29 (1+29( — 1+Я)1 й г! —,,") ( — 44)( — 1+Я) 1ЗР ' ( — 44)(1+29 бь 0-1 Я)( — 1+24) ( — 4В(1+29 (1+24)т После интегрированна находим Рй — 16 21 1йыг) — 46 32 — 16 ° 6 2 — 16 14 Этот результат ндентмчен результату. полученному прк нсполъзо. ванин формулы (13.13), если величину С считать равной едннже, как в данном случае. Факт совпадения результатов подтверждает лравилызкть рассмотренной методики. Однако ощутимое преиму. щество всласть ювания естественной системы координат заключала ся в возможности изменении формы элемента, что иллюстрируется в следующей главе. 13.4.
Применение численного интегрирования при определении матриц элементе В предытушем разделе удалось продемонстрировать стандартную методику определении матриц элементов в общих чертах нз примере с нсполмоввнием естественной системы координат потому, что зсс интеграль| были вычислены по пм без труда. Но эта скорее исключевие, чем правило. Обычно матрица Якоби,[У) язлясюя функцией 2 и ие может быть легко вычислена, так квк ее козффициеиты — яоляномы. В таких случаях Щм никогда не определяется явным обрааом н дчя составления матриц элементов испапьаузтшя методы численного интегрировании.
При ржсмотрении однамсрнага элемента в предыдущем разде' ле в численном интегрировании не было необхадммости. Оливка всат элемент имеет одну очень вангную характеристику, которая делает его удобным длн иллюстрации методов численного интагри'раваннн: ограниченное число точек интегрирования.
Объем вычислений при этом сокращается настольно, что нх можно полностью Вровеетн для некоторого иллюстративного примера. 17 — 763 Чнсленно взять ягпегралы можно одннм вэ двух оснонных спагабо». Согласно первому сгюсобу, значения похынтегрзльной функцнн вычнслпотся в тачках расположенных на равном расстоягши друг от друга. Если нмычся и текнх точек то можно построить ннтерполяцнонный многочлен порядка (л — 1), совпадюощяй в ухаэа нных точнах с падынтегралыюй функцией Кшг. 1З.б), после чего а Ь Ь-а ф .гв,ат рм ею я Н Катете нри а=а.
Зэачэчтн ааасшсс ларлдта. Оаяаэ энл агеляп дю чпхбнсаются с целью хостнженнк чллбллышЖ эжлшлч. чььччнср= няй Зто означает, что прн выборе л точек рассматрнваются 2л веээвестных 1 Я х; слеДоэательво, поРЯДок ЯныРполпцпонного многочлена теперь равен 12л — 1). После построения ннтераолпцнонного многочлена ннтегрнровзняе выполняется точно. Пря таком подходе, известном как квадратура Гаусса -- Лежандра, должны быть эжены дополннтсльно нехсторые у)мвнення, после чего внэчення н х записываются в таблице В табл.
13.2 представлены коардн- гааличв иг цаплэяэтн уэмм э «ссээне мнффнцэнпн ю» эмаратуам Гзэчсз — дензээрз де с зев*а е парю«в и, Г~) )д) их=е чт нищ„ Пз.зу) где Е=Ь вЂ” а. В табл. 13.\ даны величины весовых коэффнцнснтов Н, для квадратур до четвертого порядка.
Согласно второму способу чнслеиного интегрирования, точка раабнепвя областн юпегрнроеання не фшгснруютсз заранее, а Геэ т чс и Г В а нс эетффэмнгпн ззалса урной феануэм Ммэп а — Ка сса да стастпеге эсаэлиз ннтегрнронангм выполняегсн точно. В результате применения такой процедуры получаются, вапрвмер, формула трапеций пря л=2 н формула Снмпсона прн л=З. Такай способ численного янтегрнраэаняя нэвесген кан кнацратура Ныс гояа — Ксчесв. Значевне ннтв рала получаешн суммнрсманнем аначеннй подынтегральной функцнн в точках ннтегрнрованяя, умноженных на весовые коэффицненты: наты точек ннтегряровэння н весовые коэффнцненты Н лля квай рзтуры Гаусса — Лежагшра до четвертого порядке [1). Распело. нмние точек раабненэя, соответствующее интервалу мнтггряровання от —.
1 до 1 для случаев н 2 я л=-З, показано графически нз фнг. 13.7. Прн расчетах методам конечных элементов применяется квзлратурная формула Гаусса — Лежандра. так как онв требует меньшего числа точек интырнрованяя, чем это необходимо прн нспользовання метода 1-!ьвпонв--Котеса для доспакення одннаковой степени тачносгн. Ниже нспольауется только способ Гаусса — - Лежандра. Тмюрь вернсээся к нашей главной залаче — всоользованню ме.
томов численного ннтегрнрованяя прн составлехнн нзтрнц элемента. В этом разделе будет продолжено рассмотренне квадратнчно. го элемента. Матрицы элемента выражагстся интегралами 1 1 1 ')=К д~)Н) )П)1В))бе))у))а+рйфЛу)бй)Л)Л, 11333) 1 ))ь) 1)Н) ) 1))а. П3.39) где функшян формы н преобрвзованме коордннат те же, что даны в ПЗдй) н ПЗЗО).. я ага 8з= — 0.774597. Н,=Ь)9. [,=О,О, Н,=З)9.
$ =0,774597. Н =5)9. Порядок кзадратуриых формул, испощлуемых лля еы моления даииых иптегралов, зависит от парадиз поливомов в праиззедеииях [В] [Щ[В] и [У]г[Ж]. Проааведеиие [И]г[Н] содержит оолияом более ыюокгло порядка. так как [В] связана с диффереицвроваиием [Н]. Поскольку Не=аде), проиазедеиие Изб'т будет со- в*г. гаги топ щ рован л з лза гзи гаг з Лежзгсигз. ч» ч з з т з ю тззпз л 3 держать 5 в четвертой степеви. Порядок.квадратуры Гяусса— Лежлидра и определяется из равенства Зп — 1ы4, в и Так как л должка быть целым, выбираем л=З для иитегрирозаиия произвсдеиия [Н]г[3Г[. Для иитегрироваиия иыражеиия [В]г[П][В] дсстаточяо квадратуры второго порядка л=2, поскольку зто проьвведеиие содержит члены степени ие выме, чем йз.
Для вычислеиия иитегрзла (133ч9» таиже мажет быть исполь. аоеаиа квадратура второго порядка. Последоватсю.ящти арифметяческих операций при зычислеиии ищегралов, содержащих [В]г[п][В] и [й]т[дг], почти идеитичиы, позтому только одии из ивх ззслужщлмт детального рассмот- Эзелюг мы о г*дкл Одч зле з тз! азия. Рассмотрим иитеграл от [н]с[дг], так как для мего весовые козффициеиты Нг ие равны едищще. Используя данные табл. 13.2 при л З,молучаем 3 а ~[(2)а[-[(ин,+[(40Н,+[Р73ны ' ([840) — 1 Падыитегральиая фуикция )(Я в данном случае имеет виа [(О [Н)г [И[ [бе[ [[7[[.
(13.41) Прямыщм тпт же злемеит, которыя был рассмотрев в примере 12п8, яо позволит юослольаоеаться результатами предыдущих расчеюв. 5[ы уже знаем, что [7] =из,,[7] '.—.2. Абсопюгиое аиачеиие определителя [Х] равна г)з, и фуикпия [(8) =На[и]'[И], гиытсму г 3 7([) а- [ ([И([йг [Н(80[ и,+ + [Н Оч)[» [Н ([Ди ли ([з))г [Н ([з)1 Нз). Вычислиы произведвиви вила [н(8)]г[[н(5)], Начнем с жзпщ Ь вЂ” 0,774597. н,~)= — 8* (1 — 8,)=+о ',"~ (11 50,77459П=0.887ю, Д,([,)=(1 53(1+5,)='О.авав. Наба)= в (1+йь) У 0,887299] [([г) [Н[г [и[ 0,400000 [О 587299 О 400009 — 0,087298[ — 0.087298 0,4?хс99 0,274396 — 0.059995 1 /((д = 0,160000 — 0.034919 . Симметрнюю 0,007621 Тиир рмеоЧи 4,=О,а и е ! — з Р?г (йз) = — 4, я =0 )У?Од=(1 — М(1+)д=), йг Од= — я«+~.
=0 В равд. 13.2 били получены точные значения для рассматриваемого интеграла с помощью ссатношевня (13.16). Только чта зычно. лезина аначеиия харашо согласуются с точными аначеинямн при 1.=1 и йР=!. В табл. 13.3 приведен порядок квадратуры, необходимый для шщучеиия точного результата для алломеризм злементоз, представленных на фшс 13.5; (0001 )((д=()?((д)гР?ЙМ 0 1 0 . ООО Последиаа УэлаааЯ точка !ч +0,774597.
Ей сопзет~чвуви сле- дующие аначения функций Огре»: Дг~ Од= — 0,087293, дгг()д 0~400000, Р?ь((д = 0.667299. )(4дж» 0,007621 — 0.034919 — 0.0593951 0,160000 0,274896 . Симметригчгю 0,4?хз99 Так как Нт Н» то | (М'13?1)бе)13)(34' -,й-(П.(?)йд+П«д)+ — 1 ! +??,?(йд)-~ т> Р л Подствнацка матриц для ?(йг)г ?(йз) н Лйз) в прнвеленвое виню соотношение дает тзалзез ЮЛ Пзр мьз ззздтзттт» Гзтссз — Лежззлаз лм чшэггмвьж злз»»вчз глу'гщч гв л» а» ° з с мВ™во гв? гвг. з г ь , » 13.5.
Субпврвметрические, изопврвметрические и суперпврвметрические эпемеипв Функцин формы, которые связывают координаты х и $ в (13.30). нлеятичны функциям, огшсывающим ржпределенне температуры аа?тре элемента Цормула (13л29)). Когда такое условие выполняется, элемент называют птапараметрнческим. Совпадение функций формы ссютношеиня преобразования жгардннат и ннтерполяцвсинша полина»а далеко не всегда имеет ыссто. В дейстаитслькасти и»параметрический вдмгент является скорее искгпсчением, чеи правилам. Лля упрощения шюда даиюзх а ЭВЫ н поеынгеиня эффективности вычисзеннй следует использовать в ссютнашениях преобразования координат ымможно более простые функции формы. Роли элемент шраничгн прямолинейными сторонами.
та лля аписаива цреобразавапий координат достаточна линейных функций формы. матрица якоба Щ и )бе!(?) ) при рассмотрении элемен'и с прямымн сторонамн будут теин же самыми независимо ат тога. какие фунщп«и формы — линейные, квалратичные или кубичпые — нспальзувпся в формулах преобразований координат. Чтобы пакэзать эта. внять коротка рассмотрим пример 128. Так яви элемент изображается прямолинейным отрезном, е качестве формулы преобразования координат могла бы быть ислольэаьано так.
же соотношение [13.421 Применяя линейные фуннции формьх получим =-1 П вЂ” 11Х +-1 [1+21 Х. где Хс '/» н Хс Чт. Матрица Якоби выест внд бн«бэс 1 1 1 3 221= — 'Хс+ — Хэ= — Хс+ р Х» — — х-+-у-, бй [21= р. ! Зтат результат цкеитичеи тому, что был получен в иллюстративном примере с использованием квадратичных функп««й фармь«- формула преобразования координат может быть представлена с помощью четырех узлов кубичпого элемшпа, но матрица Якоби прн этом ие изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
