Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ы ь Из всверхностнык ивгружж в одномерном случае остается только рк н сиа лолжна быть сосредоточена в одной из узловых точек. Предполагая, что.р приложена в 1-м узле, вычислим поверхиосг ный интеграл — ~(Р()г (р ) бб — Р„Ц ~АЗ= — р АгЦ, (12.11) 5 где ннжнвй индекс 1 обозначает номер учла.
Матрица функций формы сводмтси к ( ' ), потому что нагрузка сосредоточена в узлк Если сна приложена'в 1-м узле, поверхностный интеграл записывается как — ~Р,()41 бб= — РА,( ~. (Т222) (О! 'Ы' Полная система уравнений, спргдглвкацих элемент, имеет еид ф ~ ' 1~ ~(Тг~ 48(ЬТ) )+ +Агр„Ц РАгр Ц+- — ( ~. (12.13) Все обтеинью интегралы должны быть вычислены азиовс, если площадь поперечного сечения меннстся по дание элемента. В случае линейного изменения плозгздн величину А в формулах (128) — (12!О] можно заменим, средней плошадью А=(24+Аз))2.
Это выражение сразу же получается после замены А на А= та тз Длв первого элеиента имеем Пример и, пх пь К ззхаи ии ЛгАс+)У!А! в вычислении интеграла. Подобное выражение может быи нспольювано для температуры, если она меняется линейно по длине. Нелинейные изменения учитываются с помощью нптсрполпцнонпык пслинамов, обсуждаемых в гл. 13.
Нз слепую. щем примере показано, «ак видоизменить определяющие элемент соотношения, чтобы онн соответсгеовалн линейному изменению плошали элемента. 108. Нужно вывести н решить сястему линейных уравнений для узловых перемещений в ксиуоюбразной летали ионструкцнн, один конец которой жсстно заиреплен, а другой подвержен действшо нагрузив в 42 000 Н. Площадь поперечного сеченяи меннегся линейно от 12 сыт на левом конце до 6 сьгз «а правом. Кроме того, деталь конструкции нспьнывает тепловое расширение нследстзие павы- шепни ее температуры на 2(т раеномерко со всей длине п=уХ )(16-з Ц'С.
Длк аяпрскснмвцнн рассматриваемой части конструкции следует использовать трн элемента длиной 30 см каждый. Плон!аль поперечмого сечения в узловых точках имеет зг~ачеииа А,=-12 смз, А*= 10 см', Аз=8 смз и Ат-6 смт. ПеРвые тРн элемента сеобалны в от объемных, а ог воверхаостных нагруэои, по. этому матрицы этих элементов и векторы нагрузки оеределякисв соответственно соопюшениямн (12.8) н (12.9). зг итиии е р э ласте «ееиьис гела 7 этасги згп [ — 2.46 2,46] ()и>) =чХАЕ (67) (~ ) 7. 10-з 67. 10з-11. 20 Ц Уравнения, определяющие этот элемент, имеют анд 2А6 — 2,4611(7,! ~ — 10318~ Первый н второй элементы различаются только размером площади поперечного сечении. Для второго элеиент» средняя площадь ранна 9 смт.
Определяющие уравнение для второго элементе записываются как Тряпицу элейенту соответствуют уравнения. полученные с помощью соотношевмй (12.8) я (12.9), в также (12.12), поскольку этот элемент нагружен ка конце. Соотношения включенивг для пермио эщневшг 3" 1 ° 1=2, длн вгорио эпеменгю 1=2, )=3, для третьего элементаг г=3„1=4. Суммируя уравнении, определяющие злемвнты. получаем 0 — 2.01 3,87 — 1 36 (7 1878 Первый ушл расположен е неподвижно закрепленной точке, поэтому (Гт=О, и приведенная система уравнений должн» быть взиенена с тем. чтобы учеты, это граничное условие.
В результате 1'Азвз 10 )Ш О вЂ” 2.01 3.57 — 1,66 П', = 1676 . ПРиведем решване этой системы; )ОГ)Г=)0, 0,0207. 0,0450, 0,ОТО, см, Теоретяческюе решеняе этой аадачн получается путем антегрирюваннн леформация по длине. После выполнения этой процедуры получаем «ледующве значения для узловьж перемещеннй: ОГ =О.О с, 61„=0,046 41 =0.021 см, бтв=0,078 см. Перелвешеиин, определенные методом конечных элементов, хороша согласуются с тюретнческнмн зна манамы. Еще бюаее точные значения былн бы получены прв испюльзсваннп элементов меньшнх рнзмеров. 12.1.1. Нэпрюнения в эяемантак Определение напряженнй нвляется нэжнай частью решеннн большннства задач теории упругостн, потому что зтн велнчнны яспюльзуютсв нкженерамн для расчета раэлнчных элементов кояструкцяй.
Результанты элемента, связанные с напряженками, могут быль определены, «вк только вычяслеяы деформации внутрн элемента. Для одномерной задачи дебюрмзцвв е дается формулой (12.6). Нормальное напряженые псвлучается эз закона Гукв в форме 112.3). Твк кзк прюнзвюдные постоянны по элементу. деформацпя внутри отдельного элемента не меняется, 'гто влечет а свою очередь в соответствяя с законом Гука вензменность внугрн элемента напряженна. Узловые энэ<ення и могут быть рассчитаны с помощью теории согласованных результантов элементов, представленной е гл. 6. Зто лелаетсн анэлогнчно таму, как было опнсавю ранее.
Колшюневцы тензора напряжена» явлюются результантамн элемента. Теарня согласюванньвх реэультавтов элементов может быть использована танже длн определения узловых значений компонент теяаора деформаций. Пример 169. Для летала конструнцнн, рассмотренной в предыдущем првмере, нужно рассчнтать узловые значеянн и , используя теорню согласованных результантюв элементов. Запишем вычнсленные ранее узловые перемещ*вшя Щг=[0, О,ЮЖ7. 0,0450.
0,0753). Определяя теперь деформацию элемсятовв 1 0,0107 пеРвый элененгг Е= 1-01+ Ог,) = — ' — =0.00069. пп)хй элеменм е = — в — з-= ' ' =0,00081, — пвд ы — о,щш-рп,иш Ш Эз третий элемент: в ' ' ' = ' ' 0,00101. -О -1 0 — О.ИБО 4 в.щзэ Напряженна в элементак даются формулой о =Ееы - -аЕ )Ь7) =6.7 10ве — 7.10 -в 6 7 14Р-Я)=6,7 1О'в — 938. Подставляя значеннн е.„, получаем первый элемент: пав=3685 н1смв, второй злеменм он=4480 Н/смв, т)етяй мемевп овз=-5820 Н)смв.
Уравнения теории согласованных результвнтов для элементов где ю — вычисленный результавт длн конкретного элемента, а ов н пв — узловые значения ю ссотштственно в узлам 1 и ). Запншюм зтн уравнения для каждого элемента отлелыюв первый элемент:— 1 в вто)юй Злемевтв— 1 е третвб) элемент: 1 0 ' $5= — "" М'-й "1(;~=~'-"-'.:1 2 1~ ~ов~ ~2914,5~ Г 12 Объединим этн уравнения, пспольауя а<стад примой жестапсгиг (1224) (о)г 3558, 3935.
ба. 81321, Н/сг<з. Теоретические значения напряжения о „а узлах получаютси делением веля'<ины приложеяной аагрузни на площадь поперечного сечении в соотяетстнующей узловой точке. Трп множества значений о прнеелеиы я следующей таблице< .г ТГи Значеикя а вычисленные по теории согласованных рсзультантаи, определенна лучше зиа<еннй наприження, постоянных по элементу, но анн есе же еще яедастатачна близки к теоретическим значениям Дальнейшее улучшение значений а пожег быть достигнута путем применения элементов меньших рвзмероа.
12.2. Двумерные задачи теарнм упругости Двумерные задачи теории упругости намного сложаее одномеряьж, поскольку в случаях плоского напряженного нлн плоского деформированного ектаяиня может иметь места аннзатропня материала. Как<дому нз этих лнух состояний соответствует скан матрица упругих характерисп<к (О). В плоских задачах теории упруссстн применим треугольный симплекс-элемент с шестью компонентами узлоаык церсмеценнй 2100 1210 0121 00! 2 Эта системе имеет следующее решение 1842.5 4087 5159 2914,5 магами деформ р м га гв.*рдгга ыза, угариа яаркммгм 222 (фнг. 12.1). Перемещения и н'с внутри элемента даются зависн- мошъю и (ум «и««)У< О Л'г О й<а О 1«(7 й, 5<ы Обозначения узловых перемещений показаны ка фиг. 12.1. Функции формы, зхадящне н соотношения (!2.Ы), определены а (3.!0).
Б!дем считать, что рассматриваемая область располагается в плоскости хр. н наедем следующие компоненты напряжения н дсфоРмапнм< (о)т=(а, о<м, т р) н И =(е езр. У «). Дла пла- Еаг. <2.!. Каиаан<а и нгрениаиам а а раувнзкаго сямпытаааимяю. ского напряженного состояния, встречающегося но многих тонких телах, имеем о =т„=ты=О.
Компоненты гектора деформации уы н уж тоже равны нулю,'но г . оглы<на от нуля и может быть получена нз закона Гула, после того как определены (а) и (е). Говорят, что плоеное деформнроеаниае состояние имеет место, нагла кампааенты деформации и напраааенни осн х равны нулю (г =у =у, =0). Компоненты тензора напряжений тч, я т также равны нулю лрн плоской деформации.
но аы отлична ат куля и вычисляется с помощью закоаа Гума после тога. хак определены (а) н (е). Г.м»а гз Охиношенкя спязи между деформацнвмн н перемещениями в двумерном случае имеют вид д» д» щ д» з =. е, у = — +— нли с учетом (12.14) (гм и и„ О («ы е„= ! 0 с, 0 сг 0 с» (12.!гу (1226) Сгютношения (12.15) ппределжот матрицу градиентов [В], тан как (е) =[В] (С). Теперь есть почти псе необходимое ллв вывода уравнений, определнющнх элемент. Осталось только эацнсать матрицу упРугих характеристик [О] и вектор начальной деформации (гэ), В случае плоского напряженного состояния имеем гие»»и»» д»зг а о г»гад»г» г», ужти» З»»угас»» ззг [В] содержат только константы.
Вычислим объемный интеграл, представляющий матрицу жесткости: РУ 1=~!В!г!В)!В) АР=!и!гй«) !В! ~бу, т р ) (В!'1 )Ы!А=э!г('~ !Лю« (В)"!О1!61!А. (12.20) Злесь à — толщина элемента, А — его плошадь. Общее выражение для магри нкго прптпведепия [В]г[В][В] ие приведено нз-зз его громоздкой записи. Обычно поступают так: определяют чнслоные значения коэффициентов [В] н [О], а затем ЗВМ выполняет указанное оерсмноженае матриц. Интеграл, связанный с тепловым расшврением, имеет вид — ~ !В!г !В1 ]еэ) АР— (В!г 10)гч) 6(.
П2 21) Матричное прогпзедсвне в формуле (12.21) нетрудно составить. Для случая плоских Напряжений получаем (12.12) (е )=пбТ 1 . В случае плоской де(юрмации. р«(1 — „«0 (1226) 0 0 (1 Щг)«2 (! Р) ] 111 (тт)=(1+р)пбу 1 0 (12,! 6) формулы (12.16) — (12.19) соотвегстнукм нзогроцному материалу с модулеи упругости Е н коэффициентом Пуассона р. Интегралы, на основе которых составляются уравнения, определяющие элемент, легко вычисляются, ппског~ьху матрицы [В] и Объемный интеграл от объемных снл аналогичен интегралу [Р«]тЯ)ду.
который был щитучен при рассмотрении з:шач теонн поля. Основное отличие заключается в том, что теперь мат(яша Л]г состоит нз двух столбцов, так как имеются две объемные силы. Подставляя [«У]* и припевка С координаты. получаем «Уг 0 0 Лг, Д бр-+ Интеграл пт гюверхвпстных нагрузок также аналогичен поверхностному интегралу е задачах теории похп. Рассматривая отдельно каждую из сторон злеиеита, можно записать три различных аначенвя этого нкгеграла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
