Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Матрица [В) содержит тмгсрь коэффшгненты, иилиющисся функциями координат. и не может быль вынесена аз знак интеграла. Матрицу жесткости молов определить, вычвслнв [В) по зна- чениям г и х н цымре элемента. Такай сшкоб позволяет аыиоаггь матрицу [В) из-под ипмтралаг ! г)-а (П)(В)~бу.
Учитываа, что обтсм элемента даегс» формулой У=2 о(, где А — площадь поперечного сечения элемента, псшучаем для .[Ьмг) окончательжм иыраженнег (Ьь>1=(Ыг !В) (В! 2зш(. (12.32) Черта яад [В) указывает на приближенное значеяие. Формула (!232) приближенная, но оиа дает приемламые результаты, если разбиение зз ззементы согласуется с ожидаемым распределением напряжений, т. е. в области с болышгмн зна мииими градиептоа напряжений попользуются малые элементы и т. д.
Вектор сголбел„связанный с тепловьш рашнирением, определяется точло так же, поскольку нод иэтегралом стоит матрица [В). Прнблпженшш шхмнсшеюие получается вычислением [В) по значыгиям г и и дли данны.о элемента. Приведем окончательный результат: Объемный интеграл от объемных сил может быть пргмнтегрирован ммяо с нсшипшованггем е координат нлв прибли[кениого зэ гыядзы шзк тмчжя эа алэн ив метода. Этот интеграл выражается через Х.-координаты следую- щяя сбрааомг гЕ» 0 О гХэ ('Я) =з В А гХ 0 0 гХ а унлИ. Ра альп ян (12.41) где ЫУ заменено н дн се рэссго не г тюоке может быть вырзжшю через Х:ьтюрдннаты: г-К.,Еэ+Х(г~ 1-Х(зХ,. (12.42) Подстзгювка выраженка (12.42) в (124!) приводят к пронзвсденнам тяпа Е) али ЕгЕь которые вычисляются с помощью формулы (3.43).
Окончательно получасы (2)Хг.! Рг+)Хг) (21(г ! ХХГ+)(з) (Х(г+ 2)ХХ ф Х(з) (Рг+ 2)ХХ+ ()з) (РО+ ХХХ+2И ) (Иг+йг+ 2!уз) (р"ч=— Вгл Я ш (12.43) гйэ 0 О г(э гйэ 0 О гХ гХ 0 О гй 1 'й —.1 ~~'~2 В. (!Ы4) где 33=2пггЖ. Слотнопюнне (12АЗ) подобно (10.29). Онп показывает, что компоненты объемной силы Я нлн л. не распредеэаюгся в дайгюм случае поровну между тремя укаамн элемента. Ббльшзя часть приходится на узлы, нанбслее удаленные от осн аращеннх.
Интеграл, зклямающнй попсрхностпые нагрузки, вычисляется с помощью Е-коордннат. Этот шпегркэ имеет внд ~ г(;)- где р» н р — компоненты понерхностной нагрузка в паправленшш г н х. Рэосматрнзая сторону между узлами г я ), вдоль которой №=О.
будем иметь Последшгй интеграл пычаслается с помощью формулы (3.42) пос- ле подстановкн выраженья (1242): (20г+ ХУР (2ЗХг+ ХХГ)р (ХХ;+Ы;)р, (Х)щй2)Х,)р. 0 0 (12.45) а йглг пс прежнему обозначает длину стороны межау уэламн Х н ). Соотношение (!245) обладает тем же самым аюйстаом. что н (10.34), а именно оно прнменяма к пощрхностн, ориентированной произвольным образом. Если рассматривать вертвкальную поверхность, то )Хг=дй=)Х, Р Р (Ф)- — й — р,' тайпьгз Р, 0 0 (12.49 ( )=(Х)1( ) — (О!! ). С учетом формулы (е)=фВ) (Ег) напряжения могут быть выражецы через узловые перемептсшгя: (*) =(Х4 (В! (ХХ! — (Х)) (,!. (12Я7) Записывая подробно равепстпо (12.47) нля просто раосматрнаая (12,33), можно убедиться, что нормальные напряжении завнсят от велячнны а,е, которая явлнется функцией г н а, так как от г н я зависит коэффициенты матрншз [В).
Таким обрезам, можно вы- Формула (!2.46) показывает, что компоненты нагрузки поровну распрсделнютсл между узламя. Этот результат ндепгнчен тому, который получен для двумерной задачн. С другой стороны, еслв - рассматрнаасша горнзоатальнаа поверхность, Нгчь)11, и тогда ва нанболее удаленный от осн вращснн» узел будет приходиться бдльшая часть яагрузкн. Две другие формы запнся (1245) получаются прнравннваннем нулю Е~ (для стороны (й) нлн Еэ (хлн стороны Хй) в формуле [12.44) в послеэующнм ннтырврсвапкем. 1-!зпряження в элементах нычнсляются по аакону Гукаг числить напряжения во многях различных точках ш~утри элемента.
Компонегпа напряжения сдиата, однако. ие эавискт от «щ и ока- зываетсн постоннной внутри каждого элемента. 12.5. Решение с помощью ЭВМ Представленная яа фиг. 7.3 блок-схема вычислений применима с незначительными иэмеяеинвмн к решению двумерных зада*г твори«улрупцти для пэогропною матервкэв. Изьюиенив касаютси вжща срглней температуры кажлпго элемента, когда это нсобходюйо для анализа. Эти исходные данные вводятся перси началом цикла, в котором составляются глобальные матрицы.
Осуществление укаэанной модкфиквпии в про~рампе должно сопровождаться некоторым целочисленным переменным параметром, который указывает нз необходимость ввода температурных данных илн исключает его. Средняя по элементу температура вычисляется путем усреднения узловых значений темлерат!Ры для каждого элемента, если только температурное распределение известно. Гели распределение температуры в щле определялось с помощью метода конешщх элементов, средняя по элементу температура может бьггь пробита ив перфокартах вместе с информапией, предназначеииой длн упруюй задачи.
Таиой сппсоб применим, если только разбиение облает» на элементы при решении задачи переноса тепла совпадает с разбиением, используемым для решения задачи теорвн упругости. Определение напряжений в элементе обычно сопровождается вычислением глааяых напряжений, таи как эти величины представлиют щперес при расчете конструкции. Прн решении двумерных задач можно рассматривать цвосконапряжешюе или плпскодеформированное спстоянис.
Различие прн этом заключается только н написаиви матрицы упругих характеристик !й1. Оба случаи мо. тут быть объединены в одной программе иоголщонапиой условного оператора 1Г, который позволяет выбирать правильн!ю ивтрицу. Машинная реализжщя осеснмметрическои задачи теории упругости почти идентична реализации па ЭВУЯ двумерной задачи. Поскольку ни плоская деформация, н» ллссксе напряжение нс имеют отношения к осеспмметрическому случаю, матрицу упругих констант здесь выбирать не приходится. Координаты элемента в осесиммстрггчгхкой задаче должны быть отнесены и глобальной системе жюрдииат. Для одномерной, двумерной или трехмерной задач координаты элемента могут быть отнесены либп к местной. гжбо к глобальной системе координат.
В гл. !8 представлена учебная программа, ппзжшяющая исследовать плосконаприжеаное состояние упругого тела. Применение этой программы илшострирует следующий пример. 12.5.1. Постановив задачи Требуется определить коэффициент концентрации напряжений, вызванной кругоюй выточкой. при осевом иагружснии детали коиструкцив, поиазанпой на фвг.
12.4. Ширина детали мениетси от 8 до Я см, толщина всюду одикакааа н равна 0,50 см. Нормальное. нпв!ьйэ е-хна'нйй' л-олэ й=цьгй Ейг. !э.4. Огййэй выэумшйй йс эйэ йойсгруйвйй с ймтэчпй. папрвжсине и точиах сечении, расположенною справа от выточек на достаточно большом расстоинии, достигает величины 44000 Н/акмэ. Деталь сделана иэ стали с модулем упругостя 2-1Ог Н/смэ и жеффипиеитом Пуассона 0.25. !2.52.
Решенье нв Зйм Исходные данные об элементах могут быть получены с помощью программы ОК1О. Предварптелыюе раэбиеине на зоны и разметив~не узлов для программы ОК1О показаны на фнг. 12.5. В силу симметрии исходной эццачи далее рассматривается только половина детали. Наличие одиорсмиого напряженного состояния на большей части детали нозволиет отиаэаться от построения дискретной модели для всей области н ограничитьгя участкпм, леван граница которого удалена на 8 см влево от выточки, а правая расположена на 5 см правее выточки. Теоретический анализ щмцевтрацни иэпряжеяггй показывает, по выбранные размеры угастка, вероятно, достаточно велики, чтобы на его границах установилось равномерное распределение яапрюхений.
В первой зонс локальная координата 5 выбрана лараллельяой взираю~синю мепыэею размера детали с тем, чтобы последонательнан нумерации узлов элементов производилась в Направлении мсиьшего размера. Выбор такого направления для 5 приподнт к наименьшей ширине полосы матрицы системы ураинеинй. Окончательное разбиение обласщ на элементы показано на фиг.
12.6. В задачах теории упрупкти глобальная матриол жесткости фК! позу*гастон сингулярной, если только в теле не заданы канне. либо перемещения. Задание перемещений должно исключать дви- <З.С) Раб <ЯЛ,Ф и 3 л ГВЛМ.' Ьэза лж кнп П.мг.
!,эгв 33.ЗК З,ЗЗН п,э, ьн 31 м м гэ 31 жеане тела как абсолютно твердопм т. е. смещение н вращение ел~ как целого. В рассматрнваемом случае это может быть достигнуто закрспленкем первого узла н запрещением вертикального дгшження узла 03. В данном прнмере необходимо, кроме того, исключить Фвг. $йк предварпелммз заэбэзээе «блзсгл эа эеаи, эсзалззгзксе пкзгаа»- к«а \ кдг ллз пэзуте з «глм3эзм дыни* элэмтэтэь возможность горазонталыюго перемещсння точек левой границы области.
Это означает, что 333=333=633=333-0. Вертикальные перемещения точек этой гранншз определяются нэ решения задача. Ось снммегрин (винная границе области) должна совпадать с осью х, поэтому точки этой гранвцы не могут перемещаться в вертикальном направления [параллельно осн у). Вообще а рассмат- и 36 г! 16 б! ы 63 бб 13 и Ю бб я Фзг. <аб.
Оммчагсгьаоэ зэзбммээ ва ыек«пм э номера гуэээчзнт тззчз. Лмг«ээг«П.Ф«ялэзн«л«м гэгяб«3«гльь тэ«гч«3 рвваемом случае фккснровапы 20 узловых перемещений. кшкдос нз вкх равно нулю. На правой границе области приложена нагрузка нвтеасшяюстя р,=44000 Н)см". Эта нагрузка равномерно распределяется по четырем элементам. Пло1цадк сторон, подверженных действню внешней нагруэкн, в каждом нз этих элементов одинаковы н равны 0,25 см'. Узловые значения нагрузка для кэгздого элемента состветствуют по величине 3025 см*м440<Ю Н)смз)/2, клк 5500 Н.
В следуюшсй таблице приведены номера узловых перемсщешгй а эначення узловых сял, предназначенные длн ввода в качестве нс. кодных данных. В результате вычнсленнй для горизонтальных перемещений в узловых точках праной граннцы получаем одинаковые значеввя, равные К0247 см. Это дает основание считать, что область одно<идной деформации, а следовательно. н напряжепян достигнута м что была выбрана прпемлемаз длина дискретной модели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
