Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Подстановка и формулу (13.14) дает что совпадает с (13;5). Повторяя вмклалки для центрвлыюго узла ), имеем () ! х Хг= а а Ег--Х-, Е,=1. Е;!в и ИЙ 1 Р— Рч)с)1 ба У 1 13.2. Применение квадратичного эпемеига Элементы выссвого порядка применяются твк же, как симплекс-элементы, поскольку выбор ннтерполяцжжного полвнома ие. связан с гкюдными дифференциальными уравнениями. Однако. есть смысл рассмагрсчь применение квадратичного элемента, который обсуждался а предыдупжм разделе, с тем, чтобы закрепить. наши вивиан, связанные с ревлнвацией метода конечных элементов, з В вачестае примера рассмотрим одиомерщпо надену переноса е на гл. 3. Задача сссюкг в юм, чтобы определять распредее температуры по длине стержня, подверженного конаектив- теплосбыену. ЮЪааа та Уравнения для элемыма, выведенные в гл.

б:. имеют внл (йги)(у) () ), (13.15) ( ')= ~ )В)')О)(ВЗ)У+ ) йрр)г(йг))З ( )= — 141)У) 43+ ') йу (ЗГ) ИЗ+ ) ()(ЛГ) ЗУ. (т,) т=(ЗГ) (У)=(й; ЗГг )У,) — [т,~. (13. 16) .Матрице градиентов выест внд у~3) (13.12) С помощью фуикпнй формы в (136) получаем =[(-' — -') (-:-- ) (" — ')1 Згчитывая, что в данном' случае (1)) (К,) н бУ=Дбх, интеграл (В)'1))) )В) й (Ф-Й)(ы--') (-" — ')' Гвк как мы пользуемся квадратичным энсмевтом вместо линейного элемента, погорюй прнменвлся в гл. 3, все интегралы в (1315) должны быть вычислены наново. Во внутренних точкак элемента температура Определяется с номопнао ма~рицы функций формы Щт Лвм аги виюаага лааадаа. ажажа имеем (!3.12) — 216 2, где )а — периметр элемента. Конэехтивнця еоставмпонтая вектор столбда ()щ) имеет внд ( 1 — ф+-~~) ( — '- ) Кг (у))тж= рйт Дх — 4 (13.20) 1 Если конвективвый теплообмен наблюдается на конце элемента, напримгр в уэлс т, то % 1, Жт —- Ха=О и поверхностный инжграл принимает вип 11) йт ) (йг) г(З=йт йг ~ О).

э 0 (13.21) гле А — плсацадь поверхности в узде ь Наличие теплообменэ в уаж. г сказывается и нв матрице теплопроводностн (йтн) благода- ря поверхвсстному ннтенралу Зг )Ут й тй т Ит1Уа )Уфр)~1)У)ду=й) УУ,У(т йг Уг УУ44а % )Уайта )У,)Уа )У,)ра (!3 22) тегрируя по поверхносгн, Содержащей узел г, получаем 11 001 й(Ф)~(31)ЗЗ А~ 0 б 0 (13.23) О О 0 Г 14 — 16 21 (йог) ~~ РЗ 32 — РЗ . (13.13) 2 — 16 14 где А — площадь поперечного сечения элемента. Коивекпыныэ ст (йго) да фо ул й ь Г )уг)уг йгг)ут )уг)у» ) )У)г( ~-Рй ( 3 ~эд', Файг~ )рай~„ г м!л 3»батрака [йп)[ содержит дополннтельнсе слагаемое а сзяэн с тем, чш на свободном конке второго элемента тоже пропсхаднт тепло- абмен Для вектор-столбцов [[)о! к Д)з)[ имеем [з)' =ыЯ После подстанаакн чвсловых аначезшй нсждных дашпзх пол)маем у))з)[=в ![о)[ [[н)[- Ссотношеяня. включшощне эгя элементы в еднную дкш)рвыбп) модель, нмыст шщ первый элемент: 1=!.

1=2, 3=3, ввцай злемевк 1=3, 1=4. й=б. 4)бъеднненпе уранненнй, определяашшх отдельные злементь» пранэведем методом прямой жесткостн. В резулыате щждем к снстсые уравненнй т, =)ю'е ИнтегРал ат телы)ного патока 4 ндентнчен Уже вычвслешюму кшырв)ту [13.21!. )яытому малою сразу эапнсать где 4 — заданный поток в узле ), Объемный нвтеграл, включающей нсгочвнк тепла 4ь вычнслнется также легко: [зтм)= ~[(",) -~~ ) )мз Прнмененне полученных соатношеннй нллюстрвруепж ниже на примере того жс стержня кругового сеченнн, который был рассмотрен в гл.

8 [стр. 139). Пример 121. Нужно определи)ъ распределенне температуры в стержне кругового сешннн, нэабражеввсм ннже. К ззлзчз )ят. Запишем матрапы теплопроваднастн 1 )Г !4 — 16 21 )асмо)г 4 2 — 11 2 — 16 14 — 1 2 4 [ОО 01 н 13 и 1й ~+д[й) [0.8 О~. О 0 1 111 а в [01 и [=Ц ~[+Лйт ~О!. 1 64„8 — 46.2 3,9 1 — 46,2 142,4 — 46,2 3,9 — 46,2 64.8 =) с 54,8 — 46,2 3.9 0 Щ Т вЂ” 46,2 142,4 — 46.2 0 0 ! Т 3,9 — 46,2 109.6 — 46,2 3.9 ) Т, 0 0 -46.2 ' 142,4 — 48,2 Тз О О 3,9 — 46,2 64,8 Т $1 Эггагаяг гыюгюгг лерыЪл. Одно $1 (1 3.28а) Так как Т,-150'С задана, атз система уравнений должна быть предварительно модифицирована. Моднфзщированная система уравненвй имеет зид 54.8 0 О О О 142,4 — 46,2 0 О 10 9.6 — 46,2 3,9 1'й.4 — 46,2 Симметрично 64.8 Решая зту систему, получаем саццуюцще значсняя температуры в узловых точках: (У')т 1150, 80.8 55,8, 46,3 43,5), 'С Зги значення хорошо согласуются с аналитицеским решением исходной вада пс.

(Т, )~=(1Щ 80,9. 55,4, 46,2, 43,3), С. Сделаем несколько замечаниК касающихся матриц квадратичного злемеитк Во-первых, поверхностный интеграл. который жполглуечтл прн составлении матрицы теплоправсдносчн содержит несколько отрицательных козффнцнентов, чего не было в случае линейного злемента с двумя уаламн. Стрицательньн чле- ны встречаются при рассмотрении нсех элементов высокого поряд- ка. Бо-вторых, результат вычаслення поверхнгетного интшрала перестает быть интуитивно очевидным. Кзк мы видела, в аналогичной ситуации в случае линейного элемента конвектнвные потери тепла делились порою~у между его узлами. Этот результат выглядит ннтунтнвно верным, так как элемент имел два узла. Кааалссь бы, что в случае ынментз с тремя уаламн следует ожидать распределения по узлам в опюшенни ггг, Еь г)ь но вместо этого получаем распределение в опюшенин г/а.

три г)г. Не пытайтесь предугадать реаультаты интегрирования, когда имеете дело с злемептзмн высокого порядка. Онн не будут совпадать с вашей физической интуицией. Все сказанное онюснчся также к двунерньвч и трехмерным элементам. 2. Естесгвенния система коордннит. Преобразования координат. Матрица Якоби Естественная система координат обладает определенным прен- чцеством прн рассмочреннн двумерных н трехмерных мементо, так ках она позволяет ды)юрмярожть границы зтнх алементав.

Безразмерная скстема координат может быть также введена и для одномерных элементов. Однако упомянутое превмушеспю адесь Еаг. Га.4. Нг гстыаагя сытчж мюрдммт ала оаасяеыага кзааргтачаего ага агата. носят главным образом академический характер.

Оно упрощает вллкктрацню самого понятая локальных ююрдинзт н некоторых вычислительных операций. В атом рааделе будет рассмотрена естестжниая система коордвнзт для одномерного влемента как необходимое введение к обсуждению двумерных н трехмерных злемыггов, которому посвящены следующие главы. Естественной системой координат для одномерного влемеита служит относачельная длина, определяемая кыг — 1щйй1. (1 326) где 5 — координата.

Начало отсчета 5 выбрано в средней точке злемента, как показано на фнг. 13.4. Функцнн формы йгр могут быть определены с помощью формулы (13.14), если только )р выражены теперь через 5 вместо х. Функции формы для линейного, кубнчжго н квадратичного элементов приведены иа фиг, 135, Чнтатель сам может убедиться в их прзвилыюстн. И этом разделе будет проиллюстрировано вычисление матрицы элемента. Если вернуться к гл. 5, то мы узадим, что кзжасе ж арнаеденных твм соотношений, определнкацнх матрицы элементов, содержит производные ог функций формы по перемеаным т, у н ц В случае одномерной задачи творя» поля, например, выражение лля ксеффнцнентов матрицы теплопроводшкти содержит проазаую бВа)бхг (йй))= (К ~~ ф бр.й=й).й.у=4), Е (13.2У) я дальнейшкх выкладок нам потреб)тоша формулы преоб- ння координат вида !=арф. (13.23б) функции )(8) н 2(х) предполагаются вввнмнгюдновначными.

Соотношение преобразования координат (13.28) может быть написано с помощью функций формы, приведенных не фиг. 13.3. Пронллюстраруем это на примере квадратичного элемента. Интер- )у» — (1 + 1). а 2 формулу преобраммвиня косрлииат можно эаписать, исшшьэуя ~акую же комбинацию функций формы, но толька в качестве уэлоаых параметров нужно веять ююрдинэты увлоаг ( х=йг,Хг + Лг;Лг+ Жэхь (1388) где Л'э — те эке функции формы, что и е формуле (13.22). Вычисление бхэ)бх теперь не представлвет труда, сели испомнкнь что ~К ллэ л» гй (13.3!) Обращая нсследнее равенстве, имеем лг лг) ч ч Величина бхЩ называется матрицей Якоби преобравования коордянат (2); далее оив будет обозначаться черен (У). Для одномерноге случая [Г) есть ма*рице раэмером 1Х1, кгморая вычисляется по формуле ш кра ьа Фвг, щц йсмстэпмяе Фгээм Фарм лээ саммер эп мвмшгев г э!л — — гг-Н.

лт — (ген; г э г э м л — — о-и. лг-о+но-аь л» вЂ” э+ш а а т ' г э .$(а )(а+ э)(а- э), лг- и (а+г)(а-г)(а- — ). -.—" ( "И вЂ” )(.-') "-4("+)('-+)('") поляцнонвсе соотнспгевие ЛЛя скалярной величины, скажем для температуры, имеет внд т хгт +р)гт .руд' (1322) Хг= — — (1 — 8). 2 х, (1+!)(1 — 8). ! г) — Хг + Хг+ + Х (13 Змг Прамеиение формул (13.32) я (13.33) лучше всего провллюстриро- вать на кохкретноы примере. пр р !28. Требуется выраанть проиэнодные бЛЧдх, бхгМс, Нхэ)бх а меспюй сжтемс координат в случае одномерного квадратичного элемента„который ммеет свщующне уэловые жюрдпиатмг 1 а Хг= 2.

Характеристики

Список файлов книги