Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако использование этик формул усложняетсн тем, что, прежде чем ирисе)пать к пачленпому интстрированию, трибуемя вычислить проюведевне матриц [В[с[О) [В) Оншбок будет меньше, если зту сперэцшо интегрирования выполнит ЭВЫ. Процедура численного ннтырнраваиия аналогична той, нагорая была рассмотрена примещпеэьна к одномерному элементу В рвоте [!) предложена множеспю тачек ннтегрировваия Ллн треальннка, поэваливкпее упростить численные расчетм.
Распслоеиие точек интегрирования и согпветствроп1не весовые каэффицюнты прааедены в табл. 14.!. Использеванве данных табл. 14Л вивалютю замене интеграла (рй!2) суммой: 1 т-Гз б =У~)Р <Еи Е„Е,) <)ВЛЗ> е о г 1 е й[Еь Еь Ее) аключаст [бе)[У[!. Порядок интерполирования ределяетсн суымай покааателей глепеией трех координат в кажам чтгщгп Нипример. если нгпегрируется произведение Е3.тгй мма показателей степеней которого равна кепарем, следует исппль;ювать схему итгыкрнравания четвертого порядка точности из бл. 14Л, ример 148. Требуетсн анри!слить интеграл от проюведення с сомножителями д)тч)бк и дйГттдр по площади элемента, рассмотренного в задаче 144.
Проверить стает. применив для вычислений игпегрэльную форму (3.43). Часты,м производные и матрица Якоби были определены в задаче 144. Онн имеют внд И ~Э 1с) а [ 1 1[)) [ — )п Вадщцем пРаююденае С„+ 1 ! — Еи Юа щ~ь Э ° !а ч т В„ф) В 8 8 В этом выражении каждый член предглавляет собой произведение второго порядка, поэтому прн интегрировании можно Ограиичить- те ч пбт Ееавхим мввмвме мимпиввмвм вла таетге щве в схемоб второго порядка точности. Кюординатм точек иитегрирги ванин г у„=У,= —.
1,=6, 1 я ' 4,=1,=1. 4.-О 1 =Ь = —, Ох=О. ! з я Каждая тажа интегрирования имеет весовой коаффнпиегп тгвИятегрол в (14,13) преабраауется к выду г г — ге г=~ ~ ( — ', у.;++1.1„--36 бф)~бс41щду.,бу.,'= 6 т т =~~~Огас Ря У уеЬ ~1 где дггУв Ум Ует=( ге 4'+ й У бт 16 гфбе1111г нли г Зги 4 ~в) — ОУ,*,+2ОУе1 — ОС так как ~беЦУД=Ж Для первой точки интегрированна уе=Уе='тт. 1е О в в а = — бх4= —. г и Для крупп точек нитегрвроввяия 8 К=' Подставляя втн результаты в формулу (14.13)т получаем х+6 ~+ б~е 61, % Я+ / б б д.м«ааы «э«овна ««деди« а тыраздр Зда В рассматриваемом случае имеем где 2!44« — длина стороны У«=0. толщина элемента предполагаетси едпничиай.
Окончательный реаультат получается такай же, кан а случае адаомернога квадратичного элемента: величина 4 распреЛмяется па трем уэлен элемента в атнапыанн т)е, э)4, 7». Формулы, аналогичные (14.15), могут быль аыаедены и для другах счороп элемента. Интеграл ~ д[)У)гд8 равен (!4.!6) для стороны Ег=О кубичноп~ элемента. йчэвг — длина стороны, спдержащей узлы 4, 6, б н 7. Соатпошения (14.15) н (14.16) не пршэшшмы к осесимыетрнческнм задачам, если рассыатрнзаеыая шарона параллельна оси симметрии (ноем уалам, распаложеипыи на этой старане, саатветстзуег одвп н то же значение радиуса), Поверхностный интегРал ~й[)У)г[)4[42 вычисляется таяны же абрщом, как (14.!6) и (14.16). Запишем окончательные выражения длн стороны Ег-0 в случае квадратичного н кубячнаго.элементов: )й(ЛГ) 1)у)ЛЗ н )и~й)гдд. (14.14) ) й(йг) ()У) дз= 2[щ[щ- Чнт Интеграл пт праиззсденяя (ОЖ«)дхд)у«/др) мажет быть вычислен также с помощью интегральных формул, приведенных в гл.
3. Используем рпщистзо (а+а+«+%2 л — Е,АА — — 2А э Э 2 зл е я н в(е) — 1 (чЛА — 2А та 1а 1щ иы в е 4! Ю41 з Е~ЛА йд' Пжш!адь элемента может быть вычислеяа с помощью формулы (3.9). что дает А=О. Окончательно получаем [ — 4- — ) ЛА- — 1 — + — — )- —. Я ) ( Гдд ддэ ъ З г Э ае Зъ 1 [ъ Ф) в~ е щ в) е- Зтат Результат а то«гаити совпадает со значением, которое было получено числениии методом. В ФОРмулы для матриц элементов входят дэа ткпв поверхностных интегралов: где а — ксиффициент энда ЬТ, д или р .
Эти интегралы могут быть ачсиь просто определены с паь|ощью соотнпшений, представленных э гл. 3. Наиболее просто вычнслнетсп второй интеграл е (14.14), поэтому мы начнем с него. Допустим, чта требуема вычислить шпеграл )4[йг)гдб вдаль стороны Е, =О квадратичного элеьтыпз. иэсбраженаага на фиг. 142, б. Запшпем функции формы ЛГ;О. )Ь«=4Еэйи И~=О, Нв Еэ(2Š— 1). йГ,=Е„(2(,— 1), й',=а Теперь можно записать интеграл в виде О 0 ! (2Е,— ) 4Еэ(ч Ез(2Е« — 1) О 0 0 0 0 0 4 0 2 0 — 1 О О 00 0 (14.!6) 1 0 0 0 0 0 0 2 — 1 0 (14 1у) 1620' 2 4 0 0 О 0 ~'й(й)Р. 1Л163= зх 1ИО Сгютншпенви, пслобные (14.!7) и (14.18), дли друцш сторон ва- пиыванцси аналогично.
Значения ненулевых коэффициентов не юмгшцотсв, меняется ии положение внутри матрицы. ! 4А. Тмгривд)зигжньги здиьтинты Еетштиенная система координат для тетрээдралыого алемента вводится почти так же. как в случае плжких ! координат Четыре безразмерных рассгояння Сь !о, Ез и Е» определяются как отношения расстояний от выбрангюй произвольной точки эаемеига до одной нз его сторон к высоте, опущенной иа эту сторону из противолежащей вершины Такие ).-координаты называнися объемными. они связаны между собой соотношением (14.19) Функции формы для линейтюго тетраэдра представляют собой обьемные ! иоордвватьс й)ь=у» Р)э=бе Ма=ба и Ие=(ч. (14.Щ Функции формы для элементов высокого порядна ьюгут быть получены иэ формулы (!4.4) с учетом того, что Го теперь опрглелякися уравнеинями плоскостей, проходящих через еоагвежчвующие узлы а Пе уравнениями прямых.
как в слу*же треугольника. Ниже приводятся типвчные функции формы для элементов различного порялиз) элементы изображены иа фиг. 14.4. Длн )сложно уэлл (9821) Лг =(97 — 1) 1: оо о оо о ао о О О !98 Оа 99 ао — ж оа !9 о о а об о ао а о о о о о о 99 — 36 648 — 81 — 81 648 — 36 99 о а о а о о аоо оооо оооо 19 а о о — 36 О О О 99 а о а. (!4.18) )98 О О О оооо оооо оооо З,из ьтн омытою эорэдяо: гржюхиии а ыгрырр ия . 14.4.
раяяеонемв ржоо э л эеэеои !л). ееезрэиияон (б) н осечео !е) теграэдрьчмии зэеиезтах. рози 1т — зо рэсеоомхеян яе цееш цежрь Каодрьтичиый тегрозд)ь (йр !илов) Г И В этом случае плоскость, определяемая уравнением ьг='О, содержит узлы 2, 3, 4, 8, 9 н 1Ю. Плоскость. определяемая уравнением /ч='й, озватывает узлы б, 7 п й Для узла на ребре й/з =4йг/ е ((422) В этом слутае. плоскость аз=О содержит узлы 1, 3, 4. 7.
8 и Вй /(рбампзд гагроздр (Уд рзлоэ) ганам» Взэ Фаза!ам чэг.ааааа азагжнаапа» азв ыцаэмм цг ! !! г! Ч О вЂ” — з ~ь 6 р' Р 9 а 9 й а !г гй '!а 1! Ззг /)л» углоыво узла йз — —,' (3/~ — 1)(3/,— Я/о (1 4.23) ))лв узла яа )жб)ю /уз=я(а Р/» — Рй (И.24) Сраввеиие формул (14.20) — (1428) с двумерными функциями формы, данными нн фиг.
!4.3, показьыает, что всвоствгошие формулы могут быть лыко полуыны. В табл. 14.2 приведены точки ингегриронажы для теграэдра, используемые при гисленном внтегрироважги. Задачи Иб. Опредежые функцию формы /Уэ для кубвчного жчемевта. !47. Определите функцию формы 6/о длн злемента четвертого жрядкз в задаче ИЗ. !46.
Получите матрацу Якоби для элемента в задаче 1И, вспользуя для задания формы элемента квадратичные функции формы. 149. Получите матрицу Якоба для элемента, показавяого виже. ))Ля уэлл па грана )Ум=27/ /е/». (14.26) а-апяьим ,6-сжав,:э а О,ынз!ОЗО 9=6. !зм6660 /а '! 'й ьй ай «/ь и!э г/а 'й Оэ 'й ~й 1/ г! й ча — «йь э! /э '/э йь . Исполглуя квадратичный интерполяцнонный полипом.
вые частные пронаводные д/Уг/дк н дй/г/др во внутревпей (4, 3) злемента, изображенного ниже. !51. Вычислите дйе/дх я ЬЖегдр длп элемента задачи 155. !бх. Онргделите численно интеграл по объему элемента ю аадачи 150 от произведения величии дйэгбх и Ьйгэгду. Результат сравните с соответствующим значением, полученным пугем точного интегрировании. Глава 15 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЗЛЕЛЭЕЫТЫ 155. Вычислите численно интеграл по объему злемеата из задачи 155 от произведения Величин дй!чгд» н б!Уггдр.
Результат сравните со значениеи, полученным путем точного интегрирования. 154. Покаиштс на иовкрсгном примере, что прн рассмотрения линейного греуголыюго элемента достаточно ордой точка интегрированна для того, чтобы вычислить интеграл от произведения величин дйггдх и ддгггдк. !55. Напишмге подпрограмму, которая сможет вычисыпь все частные производные от фуиьций формм нп к и пс р.
ег чн ИнтеР- поляционная функция квадратична, а геометрия элемента может быть описана линейными функпиямн формы. ЛМТЕРЛТУРЛ !. нэммы Р. с в!ыьчч О. Р., вимм г н. нэзипсм ьгмзча!ип ычт вмеи' И Сми,лып вэкг Г Ы ЛЫ. С Ч, !Ц аΠ— !ЗГ.!!Ыа!. 15Л. Линейный четырехугольный эпеьмигг Интерполяциониый полинам для прнмогтольного элемента с четырьмя узлами имеет вид (!5.1) Вместо членов к* или рэ здюь ос!нэлепп пропзведевие хр, потому что ошг гарантирует линейны измыгсннс Е вдоль каждой линии, где постоянны х или р. Пронумерованные узлы и расположение системы координат поназааы на фиг. 15.1. В узлах должны быть выгюлнены следующие условна: при к= — Ь, пуп прв к=Ь. щж х= —.Ь, Е Фь Е=Фэ е='1Гя Р=Ф, До сих цор применении метода конечных элементов были связаны с использованием одномерных линейных изементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
