Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Функции формы для квадратичного н кубнчного элементов при- псдевы на фнг. !5.7 и 15.3. Просп!и сложением можно убедвться, что втн фуннции формы удовлегворясуг критерию Х)УЕ 1 длн ее ззаждого элемента, Представленную здесь процедуру можно применить и к эле- ментам более высокого порндка. Однако необходимость нспользо. нанна таких элементов весьма сомнительна. Трех представленвьш здесь элемыпов вместе с элементзмн, описанными в гл. 13 и 14, достаточно для решения едва ли ие любых задач.
Можне посгро. ить четырехугольные элементы и других типов, вапрнмер сков- Фаг. 1а.у. Фувхззв Феувв длэ кэаээапязею ззевевта. « — Š— Ва — ФФ+ч+О «з — Е ЕВВ Ф ! 1 1 «з —,Е-Ега+ВЬ 1 «з — е-мыл+ е. 1 з за-чеа+Фе-Фц-ч — рь ! «з — а + ь!1 + Ы Ф+ч- в 1 « — — а-ив+мы-в+п:.
Вь — е-зче-зь 1 1 э «! — и ! ез. е « -ге - Фи — Вч а + згь «а В з! «з- щи+Вы!- ма+ми з згз М Е+ЫЕ Зеа+ВВЬ В « -ые-изз+ыь — м+мы+аеь 1 нм Ьу а — ФŠ— чин — ВФ В +ппхчва-эвь лз — П 1 м +Ма+юг-М+ВФЗ+ын, Зз — а+Фа-Ю!а-эи, В и «В а п — пзз чае+ее. ы Фвг. 1ЗЯ1 Фуымзв рееве лзэ хузвчзсго эзевзатэ! В -Пн-ззг — 1ззизз+зггз «;-ца-еза-Ыза — зе. 1 « - ц.а+ Фа —.Фз — м+Виз+Фж Глаш ГЗ (15.15) (15.Ю) =/7 Х +й Хх+/7 Х +/(чХ; сГрун роватг элементы иптерполяниониые фупкпли которых будут предо а р т шшнх полнномамн раююй степени по ждой Нз у пном, лиординат. асс Р мирим.
например, иитерполяпнонный полн тог й элемеит вейный по и и квадратичный по ф Состветству щп ему будет соде .ать шесть уэ есть узлов, как показано в задаче !62 (в конце этой главы). Полипом вида Ч =ох+ пэ1 + оэй + Пчйч+ Оэйч+ п,цйч сводится н Ч=сэ+Оэй+Оюэ, есле ц посюзнна. Ч Ьх+/Чц. если 1 постоянна.
Ь н Ьэ — константы. Область применения этого Здесь Оь ль О», э элемента. вероятна, очень ограниченна! ссотаетстнующие фу — цап ф мо — гг быть получены шкмдователем, использующим ыефОрмы мо — гг мент. 15З. Вычмсппнно производных функций формы чака непосредственно ва реэуаьтатса, приведенных в предыдущих тленах.
Матрица Якоби спрсделяетсн соотношением. которое можно обратать, чтобы получить частные производные лохи по у. е сйМатрнпа Якоба является функцией 1 п ц даже дчя прост ших чегырсхупш гольных элементов. Зга зависимость лыка сбнаружавается при рассмотрении преобразования координат: ' где функции формы те же, что даны в (15.4), а Хь Хь Хэ, ջ— л-координаты четырех всрпшн.
йз нсшэльэуегсз здесь для обозначения функций, Опредсляющнк форму элемента. Дифференцируя х по 1, получаем — — — - — ")-х/ дй Ж 41 — = — Х,+ — Х,+-кХ,»- .и ! +ч Й 4 После полстановкп и перемножения имеем да — р-ч)м+ и- )х,+!!+п)д — (1+ч)х, д1 Отсюда звяка что коэффнциенты матрацы [/) являются функцняма $ и ч!. гвй. ТосбретсЯ найти частные пРоеэводные д/Уч/дх и дд/ьсдр в точке $=- /ь и='/э злемента, изображенного ниже, в предположении, что скалярнан величина Ч аппроьснмируется квадратичным полиномом.
Запишем формулы пресбрачсвания ююрдинатг )7 Х +)Ч Хэ+/7 Х +!7чх„ р=й,У +К У,+Р.У +Я,Уч, где /)э — линейная функция формы. Для скаляра ч имеем соот- ношение Ч=/Ухфэ+ЛгФ +Л'Фа+Мчф +//Ф +/УФч+/У,Ф -1-/УФ' где /Ув — функцпн формы, представленные на фиг. 157. прежде всего составим матрасы Якоби. производнан ЬЮз/дй приведена а (1521]. Вычислим дйа/дпг дй, 1 — Ь дйч 1+З ж,=4'дч4 дй г+й дл„. 1 — 1 4 ' Ш! 4 Матрица Якобы теперь записывается а паде -Х, У, Ф (' — ц) (!+ц) — 01+ц)) Х, у, '!1 — П вЂ” 1) (1+5) (1+Ы У лн, ю лм, !в — = п — '- о лвв ет ые- К зтаюе!вв.
в Г 00 — 201 ~ 1 — !3 а.г (!3.202 Подстамовпа поорлинатвых вначеиий $ и 0 вместе с узловыми ииаченнями л в р дает -!0 1 ! à — Ц2 Ц2 3!2 — 3!21 20 !Б е ~ — 1 — 3!2 3!2 Ц21 ~ — Ц2 3 23~ Исиемые величинм х и дндд и д!т4дв можно вычислить, если ие вествы производные дн,!д$ и д!Уддп: !! — В (! - «Р б +ч +В !у» ч диффертнпирун 3!ь получаем вн~ 0 0— тр Ф св —,. -1' — ) После перемножеаия матриц получаем 15 б. Соотношении, определяющие эпементы Чтобы получить соотношения, опрелсляощне элемент, необходима вычислить объемныс н поверхностные инте!рапи: 13"1- 113!с!Ю11В1ду+131 1.! дЯ Уе'!=~КГ 021тд3 !13221 ры! ~РУ1трв! ду Замену перемеюых интегрировании можно сделать с памопыт2 дт'=~ бс! 1Щ эйдж !!3.231 тле ! — толщина элемента, Объемные интегралм и [13.22) приво.
пятов я виту 1 с Г Д ДДдр-1~ ~ 131т1ВПВЦБЫБЩбел. -ч -3 $1 ~1!у! 1!2!бр у~ ~130 1!21!Ба!!ад ВВ 'Г Переход к переменным интегрирования 5 и !! )вршцаер прслелы интегрирования, что пгпволяет избежать трудностей, вокаикщогцих прй рассмотреаии злемевтов с криволинсйиыми граияплмк. Объемные иитыралы в (15.24) записываются в/обп!ем аиде следующим образом: 1 1 2=~ ~ )(), ц)бфЛ. 1 — 1 (15.25) Этот интеграл может быть определен чяслепяо!' сяачала вычисляетса впутрепиий интеграл, в юмором 5 считйсгся посгояииой, а затем вычисляется виешпий иптеграл. Вычисление внутреннего интеграла дает ! ~ /((.З)бц=Е)Ч( 1)=а()) (1525) -1 1 ч рде й(й) — фуикция от В Виепгпий интеграл теперь записывается в виде (15.21) 2 ~ й(Вг)1= ХУ)гайт) — 1 1 1 Поп!юрисе аырвигевие после гяастаиовки К(5) по формуле (1525) прививает вид 1 2= ~ а(2)Ж=~ Х) ~ХН!)()» чу 1 ! 1 Х= ~ ,'~„НР~) (йг.
'3). (1323) Ьч 2,2 й. ч 1,! 5,2 в,з 1-1»Г П ратурных формул, требуемый для точиого вычисления объемных яитегрзлое, даи в табл. 1эг.1. Для определеиип Таапмш 15./ ипрщпп и ппратрр Гарт!а-люпщхрп Д! ДПУМСРПМХ П ЕМППгэв матриц элемента в случае лиясйнко чепгрехугольиика псобхгь димы четыре тожв квтегрпроэзиия, для кубичпаго четырехугольника требуется уже 16 точен иитсгрпровакня. Зпг точки иптсгрировэипя располагаютси по злемюггу симметрично в соответствии Ф ! з.
пю, аю э, Ф3п'. !бэ. Тпппп з гюрярпю пп, с пгппгс птююм! ююлюпюмр нпюгмвюпюпю рппюппя щ (Гр) гю к пп- Рмтмтлппг Ппгп!Пгт. со зиачсипями кооррппат, прсдставлеаиыми в табл. 13.2. Расположение точек для квадратичного четырехугольиика показано ва фиг. 15.9. Примспевие формул (15.23) требуег большого объема вычислений и пе иллкютрируетси здесь. Пропсдура расчстов по бюрмуле (1блб) совпадает с той, которая пропплюсгрировава в гл. 13.
Различно заключается тыько в болыпсм числе точек иптсгряроэаяпв. Для составлеиня матриц злемеата в (15.22) меобходяма апре. делить лва повсрхиоспгых иптегркчж ~й)РР) РР)53 п ~РГГ ()Р)гб3. (15.29) !' ж Вычислепие этих пвтегрвгюв является опюситсльио простой операцией, если элемепт ограяячсп прямолинейными сгороиамя, ао стапоыгтся бгшсе сложным о случае «рпеолииейиых стороп.
Если стороиы элемента прямолпяейиыс, проще всего иитегралы в (15.29) вычисляются аналитически. После вычисления юззффициевтов матрид опи могут быть сохранены в машинкой памяти для дальисйшсго использоваиия. Рассмотрим линейный четырехугольный элемепт.
ва второй стороне которого (узлы 2 и 3) наблюдается «оивентввпый теолообмеи. Вычисление интегралов иачпем с вычяслсщж функций формы при 5=1, что с!ютвпгсщуст Рассматриваемой егорове. Вспомпмая фуякщ!и' формы (15.4)! имеем )51 = !! — В !1 — Р а =О, если 2=1, Чепэлмтвэмюм элмиь㻠— о+о!! — ч! т-ч йг = !у, — — — =о. !! — О«+ч) 4 Запишем произведение [!2] г [)у]: - о ()У)'РЧ вЂ” —.(О Д-О 1 — ц Я 1+и и о (1+ц) 0) (О О 0 О,Ь „„,.1 4 ~ 0 (1 *) (1+ ) О .
(15.30) о о о о~ 83= (бе!1,/1(бп, (16.31) в котором [бе([У] ( определяется эавиопактыо 2 (+~ (15.32) сдаю — длина егоровы между узлами 2 н 3. Матрица Якоби [У] для дюпюй Одномерной эависнмгхтн имеет внд -~ — — — ж-(у). ил 1 т (15.33) Тихим образом. выест место равенство (бе От пула отличны тельно те члевьц которые сняэаиы с рпссмат.
риваемымн уэламн. Далее необходимо связать дифференциал длины 33 с дифференциалом переменной интегрированна г(ц. Преимущество яиты рировщпш по т! эахлючвпгсн в том, что прн атом просто энписываются пределы интегрировании. Дифференциалы 83 н бц свнааны соотношением навив выражений (16.30) в (15.34) в (15.29) дает ° -о о о о ' о (! — ф* (1 — и*) о1 1 "16) ((У)~= 4 ] О (1 — и') (1+т)* О и -'о о о о~ -о о о о аж ог(о1 31нр)т)!2183= — в — О ! 2 О оооо~ — г(п. (15.35) (15.35) Отметим, что ненулевые коэффициенты оженхе в эавяснмоста от того ~а сторшю элемювв . Д ойин и н этом всегда остаются иа главно единицы располагюогся вие ее.
Чтобы у едн лссматрнщется. в прн бе ться в диагонали, а единя этом. читатель сам может псиавать, что й ~ РУ( (((163- — "~ (15.37) длх стороны, содержащей первый н четвертый увлы. 1! е прин'деи "о рассмтре' я в "жл ' ро й ислевие второго интеграла в (15.29) не составляет труда„Испслыуя матрицу чуници (юрмы [йг]т иа (!530) н птотношсиие (!534), находим 0 0 лты (1 — ц) ь эегт — -й-бц- —,—,' . - ° ! 0 Зиачення ненулевых коэффициентов в ыатрюш», получаемых результате вычислевип шпсгралов (15 ), ид .29, идентичны виачени- ольиых влемснтов. Соотношения 1 . ям, полученным для треуг рехугольиым элементам.
н (14.!8) могут быть применены и к четырехуг факт непосредстыыно следует иэ соотношения, в длина дуги р выражается через 5 (нли ч) с гюмощью ссответствуюгцэх фуниций формы. Г ГР (15.44) 15.5. Прямоугольные призмы расемотрим трехмерные элементы, нотюрыс прнвадлежат тому же семейству, что н четырехугольник Семейспю трахмерных прнзм в координатах 5, т). ! изображено иа фиг. 15.10. Функцвн Куйлмй 4 эн !Б.Ю. Пээзззги э мгле гххззг юм гзехгпрхьж мюхелеэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
