Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Прн более мелком рззбиеики области на элементы можно ожидать получения более южных значений напряжений. Определение координат узлов и перфорирование исходных данных прк более мелкам разбиении требует больших затрат времени, так что применение элсыснтов вьюоглго порядка больше не усхорвст решение проблемы. Решение, лашюс в гл. 12, видимо, самее простое, в нужно отдать предпочтение именно ему.
Использование больпюго числа малых простых злеменкв также дает воэможность аппроксимировать перемещения вдоль границы выточки с дастатачной степенью тачнсюгп. Главный недостаток в исполшаваиии симплекс-элементов состоит в необходимости решать егце одну систему уравнений дли получения узлоных значений компонент напряжений. 16.3. Нриволммейиые грвиицы Размсшснис узлов при задании формы элемента н опрсдсленве узловых значений ()вг) ие составляют бальаюго труда, когда тра. ннцы элемента прямолинейные. Однако иалячис напряжений или коивективного теплгюбмена кв криволинейных границах резка Злюлгпгв евгьвсьо зпа цпьвлпп» ья 321 (16Л) а х,д Ь Евг.
гал. Лппргксн ьп г крвюа с заюльюввьен чь я!ил Гььсв. Для вычисления приращения длины дуги бЖ можно использовать одномерные функции формы. Рассмотрим кривую р=-)(х) на фнг. !6.6 с шгределевными граничными точками а н Ь. Еапи кривая аппронсимируется кубичиыи поливанов, необходимы два дополнительных узла. Расположим нх тан, чтобы они делили кривую между тачками а н Ь на участки равной ллины.
После того кан значения р в четыре» узлах Уь Уь Уь и Уь определены, аппроксимируюшсе соатионьение длн у ваписыввштл в анде У, й-(Ыь )Уь Ыз )У) у*, . 14 (162) усложиист определенно ()ье) и (ьга). Расирюгелсане поверхностной нагрузни по узлам одинаково ('/ю т/з, 4/ь кпи 24. 414 4)ь 4(ь в случае кпвдрвтнчиого и кубичнаго элементов). на длина границы должна быть исполыоваиа в расчетах. Вычисление длины криволинейной гранины и составляет содержание данного раздела. Матсмгатнчсгли длина дуги определяется интегралом ь -Ь''4 Ю'* где у=((х), а тачки и и Ь согпвегствуют границам луги. В соотношении (!6.1) суммируютсн длины бК, каждая нз гппарых вычнсляегсв па формуле 4)яр -аль+бр».
Игпегрираванке в (16.1) может быль заменено приближенно вычисленном длины бю' лл» каждого малага приращении л с дальнейшим суммированием по всем прираШепням. у глааг Гя Глава 17 Задачи Следуюпгий шаг состоит в делспии сок к ва отдельные отрезки (числом от 50 до 100) н вычислении длин дуг. оютвсгствуюших каждому гирезку осн, по формуле -Ф'Р (1 6.5) Сложение дани всех зтих дуг даег длину дуги кривой в делом. Итак, в сл!час криволинейной границы воэиинаст необходимость опредежния координат одной нлк двух точек, жппрью делит крявую пв дэа или трн участка раиной длины. Расположение пшх точек может быть определено э результате запоминании накапливаемых приращений длины дугп по х. Как только полная длина дуги станет известна, сравнительно просю пройти о~резок в обратном направлении н найти дзе точки на оси х, между которыми должен располагаться узел.
Далее, считая измсисиио функции между этими двумя точками оси л линейным, определнем х-координату узла. После определения х-координаты узла, его 9-нсордината вычисляется по формуле (16.2). 169. Напишите пршрамму длн определения длины кривой, которая аппроксимируетсн кубнгпым гщномерным элементом. !!ро. верьте пршрамму, рассматривап кривую у=й+хэ иа отршне от л=! до х 2. Сравните результаты вычислений по программе с результатами, полученными по формуле (16З). ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ С ПОМОЩИО МЕТОДА ГАЛЕРВИНА Уравнения гшя элементов.
которые нспоэыювались а главах прнкладного характера, бмэк выведены а гл. 5 путем минимизации либо эырпщ деформация, либо функционала, связанного с рас. сматринаемым дифференциальным уравнением. Существуют другке способы получения уравнений для элемевтов. Преимушеством этих способов явлнегся то, что отправной точкой длн ннх служит непссредстаыпю само дифференциальное уравнение и. кроме того, аии искжоппот исобпэдимость вариационной формулировки физкческой задачи. Один из способов, нзеесгиый как метод Галер- кива, был предложен в 1915 г.
Галеркиным как приближенный метод решения «равных задач. В сочетание с интерполяцнониымн ыхпиошепнимн метода конечных элемемгсв метод Галеркина весьма эффективен при решении квк красных задач, тзк и задачи Коши. В этой главе обсуждается применение метода Галеркииа и решению диффере~щиальных уравнений первого н второго порядка. Жм области вриложсния достаточно хорошо иллюстрируют реализацию мспжа Галеркииз, а также показывают жпма>киость гяо приэммення в других прикладных облистях. 17.1. Метод Галеркииа Метод Галеркниа обсуждался многамн авторамк. Применении этого метода в сочетании с коисчио-элементгюй моделью рассиаю рнвались в работах (2.
3, 6)) Г!одробнсс изэожсипе его содериэпсн также а работе (4). С помощью метода Галеркииа получается прибэиженное решение дифференциального уравнения. При этоы лоюлтю выполняться следующее условие: разность между приближенным и точным решениями домина быть ортогональна фуниКиям, иотользусмым прн аппроксимации. Если нсэошпь из дифференциального уравнения Еи — )=0 (5 — дифференциальный оператор) н приближенное решение ис«атъ в виде п=ХУг! 6 то для пете будем иметь бп — Т-а, где э— остаток пл» ошибка, поскольку зто решение только пряближен»ое. Ыы хотим сделвть з малой величиной, наскгшько зто возможна Прв использовании с!пюго нз спосткюв сделать е как можа! т=(У», )Ур )Уь...1(Ф], (17.2) а уеу — диффсренцналыюе уравнение, определнюшсе ме Пусть Е(р)= — „„, +3 — т +4=0.
4(О)=1, О*(О)=0, тогда формула (173) яриннмает вщг з ~ )Ур ( л„—, +3 — д — + 4 )дх=О. (17.3) Верзнвй предел интегрирования равен длине одномерной области, в которой Пшегсн решение. Высший порядок прокзаодных, которые могут содержатьсн а Ефр), не ограннчен, оп определяется фнзнческнм смыслом задача. Однако высший порядок пргкыводньгг, который допустим в (17.1), на единицу больше порядка непрерывности интерполвцпоняых соотношеннй. Так как все интерполяцнонные соотношения в этой княге нулевого порядка непрерывнсстп (непрерывна Ч.
но ие ее первая производная), в уравнення (17.1) могут бань включеаы производные порядка нс выше перес»о. Это ограничение может вызвать некоторые сложности, но большинство нз ннх можно преодолеть сокращением порядка е(ч), пспсльзуя интегряроаанне по часпгм. но меньшей величиной требуется вьнюлиеняе рааенства ~!Уеебйг- 0 длн кзжщ>й нз базисных функций йге, Это равенство математически означает, что базисные функция должны быль ортогсншчькы ошибке но областн )г. Првмскенке метода Галеркнна в сочатанкн с методом конечных элементов приводят к ураенмгвям )ур(ЩЯ=О, (1=1, 1, й, (1 7.
1) где м — исхоман нелкчнна. которая аппрокснмнруется сготноше- ннсм Вме»д драв»ем»я двв»мемнве» мегедвм Г мр и пю помним, что М вЂ” изгибающий момент в произвольной тамге к балин, Н см, Š— модуль упругости, Н/см, 1 — момент ннерцям сечения, сме, к д — прогиб балки, см. Будем прелполагать, что М вЂ” пзчаестнан функцця координаты х, тем самым Мгбу будем сватать заданной величиной. Применение метода Галйркшш к уравпенвю (17.4) пркводнт к сгхчпошенню ( (171' ф- — МГ)и о.
а (17.ву Интерполяяновпая функция для у опрюгелсна нз отдельном эле- менте, поэтому уравнение (17.5) должно быть перепнсано в виде суммы ~ ~ (й г)"Я вЂ” "~)Э. г гьч (17.б) где )г — число элементов, а (.Ю вЂ” длина от!тельного элемента. Прежде чем начинать вычисления. необходимо выбрать функцнн формы (Гбш) н преобразовать ннтшрал (!7.6) таким образом, чтобы он содержал производные порядка не выше пержзо.
Ограничимся лнпейпой моделью длн ГЛ У е)'е Р)7!Уз ~( — й -Е1 %=(й! г) (У) (17-7) м „~М,(Е(~ (17.37 Интеграл Момент М вЂ” функцня длины злемигга, велнчкна М/ЕРг может быть аппроксямнровака также с помопюю линейной модели! 17.2. Иягмб балки Уравиеине упругой лапин балан д*р М дм* ЕГ (17.4) служит удобной отправной точкой для данного сбсуждення; оно описываЕт одюмерную аадачу, в, проне тшо, это одно вз уравце. пнй, ииорые наиболее часто рассмвтрнвавпся няженерамя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
