Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Такая ситуация всегда возникнет прн рыпеннн задачи Коши с помощью метода Галеркина; всегда имеется достаточное число уравнений, чтобы можно было вычислить значения У. требуычые длн вроведения вычислений по рекуррентиым формулам. 1ХЗ. Система дифференциальных уравнений первого порядка Система дифференциальных уравнений первого порядка авда [С)-~,- [Ф)+[7[1 [Ф)+ [у[-О (1 7.37) обсуждалась в гл. П, где было дано коначно-ревностное решепае этих уравнений.
Теперь решим эту систему методом Галеркииа. В результате длн вычисления внзчений (Ф) полу ~нм матричное уравнение, которое несколько отличается от уравнения (!1.23). Иснользуя дли интегрировании неизвестной величины а линейную модель, можно записать ФУ!=Невйм 1 Нэкд, О(а Нгхйм 1 Л'иФэг, (17.38) Фю =Л"г"Ф г+ Н~ыгдл где индексы г и ! испыьзуются для обозначении двух узловых значений, рззлеленньи но времени иа величиау шаге длины 7 а г обозначает обгцее чисэо узлов.
Соотношение (!7.38) в матричном внле имеет внд двэ д г ад ммг ю ад*сдан г жлзым лж Здесь (Ф)-'т-матрица размера лХ[, з №а и Н['г — функции фор- мы. Подствис[вка выражения (17.39) в (17.!) дает два матричных ураввенннг ') т Нг [[С[ — + [Д[ [Ф! + (У) ) А[= О е' 1Нз(" ~+ ' !"[+[")) = (!™~ фференцврун пп времени соотношение (17.39), получаем — = [Ф[, — г [Ф1, +-л- (Ф)п (17.4!» Полагэиляя (1ТА!) и (!738) в (!74ба) и выполняя нгпегриро. ванне, имеем [С[([Ф)Г [Ф)т)+ й [К)[9[ЦЭЬ+ [Ф)Г)+ В (! )Э=О. (174зд Преобразуя точно так же уравнение (!7АОО). получаем — э [С)((Ф)г — (Ф)г)+ а' [К)([Ф)г+3(Ф[г)+ э [Р)т О.
(17АЗ» Последние два уравнения могут быть объединены в аудио: Это уравнение для элемента, состветствуюгцее одному шагу по времени. Для получения системы уравнений, определяющей значения (Ф)ь (Ф)э н (Ф)э..... онс должно бьнь объединено с аналогичными уравнениями для соседних временных шагов Пусть всем элементам соотестагнуют одни и те же приращигия времени; объединяя уравнении лля первых двух швнж по времени, по. д"лаза 17 лучим l ! 6 я (С)+ э (К)) ( — 2!С)+ е' (К!) (+(С)+-',ц(К!) к (й- !С)++ (К!) Ц (С)+ ус(К!) ( — ",' (К!) ( 2 !С)+ в (Е)) ,В юд э э эгаддмз лгммиавмвгедэмдвмэшь 17.6. Заключение Сочетание метода Галбркина с кусочной вппроьтимацкей метода конечных элементов ввлнетсн чрезвычайно эффективным способом решения многих дифферешгвальных уравнений. Несколько примеров, связанных с технических~к расчетами, была обсуждены в этой главе. Мкгод Галеркнна, безугловно, получит широкое распространение благодаря тому„что он позволяет обходиться без варнацигвшой формулировки задачи.
(!7.46) Так квк (Ф), иэвестю. то первое уравнение в (17.45) можно использовать длв вычисления (Ф)ь Все остальные уравнения, начиная со второго, идентичны между собой н могут быть записаны в общей Форме: ( — 2 !С)+8- [К)) [Ф! -т+ э' !К! [Ф[„+ +('-(С)+ уэ (Е))[Ф).,= — [Р) я~й. (17.46) Вто соотношснне позволяет вычислить все требуемые вивчеивя (Ф) „для любого л больше лвук Прн использовании формулы (17А6) следует иметь в вину две особенности, которые отличают ее от результатов, полученных разнсстным методом.
Для вычисления (Ф) .м необходимо знать два гвктор-стслбца [Ф) г н (Ф), а кроме того, трсбуетсн помнить три матрицы размера [С[. Пгкледнее требование праводит к значителыюму загружению мвшнинпй памятв н представляет опредсленмый нелостаток прк решении свстем болыпого гюрндка. Для реализация метода Гвзсркина во времсвнбй области можно прнмсннть другую процедуру- рассматривая шаг ио времена как отдельный элемент, вычислить [Ф)ь аспольчуя [Ф)г. Прн этом вентер-столбец [Ф)г может быть найден либо из уравнения (17.42), либо иэ (17.43). Уравнение (!7.43), видимо, более широко применяется, хотя (17.42) будет давать лля (Ф)г зиачеви», почщ идентичные тгм, что цолучаютсн с помощью (17.43).
Как гюказано в рабате [!), использование уравнения (17АЗ) данг длн (Ф)г значения, которые мснмпе ссциллнрук т, чем в случае решения исходной системы (17.37) рааносткым методом. рассмотренным н гл. 11. Вектор (д) в (17.37) можпг юмешпьсн со временем. В этом случае его нужно вычислять для каждого временного .шага н уравнения (17.42) н (17.43) должны быть вндоюменены. Задачи 172 П н соевом нагружеаин некоторого влемента конструкции его персмшцевня описываются сшцующим дифферевциальны р ным уравнением; где и — перемещение. см; Р— гкееая нагрузка, Н; А — площадь сечевкя, сьд; Е--модуль упругости, Н)смз.
Получите матрицы элемента для этого диффермщиального уравнения, считая величину Р)А Е постоянной. 173. С помощью матриц элемента, псаученных в задаче 1Ж, вычислите узловые перемещении для детали конструкции, взображенной ниже. Используйте двв элемента рваной длины. Е=даыт Н)йм л-зсаз К зээачс 172. 174. Определите матрюты элемеата для дифференциального уравнения в задаче !72, если величина Р(АЕ меняется линейно от одного узла до друпко. Используйте рсэуишаты решении задачи 108, рассмотренной в гл. 12.
176. Выведатг уравнения длн элемента, соответствующие лифферевшшльному ураннению (17.28). Используйте элемент с тремя укламн (квадратичный). С помощью выведенных уравнений рсглите исходную зццачу Кеши лля интервала Оц.:1ц;1. Глава 17 / !76. Испальзуи линейный интерполяшэшзный палицам, получите урааиення дэи элемента, соотнетстаующне диффсрснцнальаому урааненшо первою поридиаг — +ад+6=О, др тде а и Ь вЂ” заданные константы, а д(0) изаестио. 177. Используя результаты, полученные н задаче 176, решите адно из следующих дифференциальных ураннеиий.
Сравните результаты с теми, что дает анзлити !еское решение. а) д+ЗР=О, д(0)=4, 0<!< 1: б) д' — 4д+2=0, д(0)=1, О<!<!! ) д'+йд — 1=-0, д(0)=Б, 0<дй 1)В г) д' — бд — 6=0, д(О)=О, О <с< 1. 176. Решите задачу 176 применял слелующие злемыаы: а) каадратнчный интерполяционный полинам; б) кубичный интерншэщионный полинам. Решите одно из урапненнй а задаче 177. 179, Выведите уразпения для элемента, пютлегсткующне дифференциальному уравнению второгО порядка: — +а д +БР+с=О, где а, Ь и с — заданные нонстанты. Для д используйте линейный интерполяциониый гюлнаом. 160. Используя результаты„полученные и задаче 170, решите следующие урапиении! з) д" — БР +Бр=О.
д(О)=д(О)=1, 0~1< 1)2! б) д" — 2д+1=О, д(0)=2, д'(0) О, 0<дщ 1/2: з) д'+д' — 6=(Ь д(0)=О, д'(0) Б. 0<1< 172. ЛНТЕРАТУРЛ 1. Окпкк 1., Ол Ше Аккы ку аг Нкпс Невеж Бейьиапь Ю Шь Тгкпквп! Нек1- Сквькаг Езкаиак, !лй.т. 1. )кг Ююп г!ад М М гь 1л Елдйккглю Б, !ОЗ— На [1974). Т Мкгпк Н. С„бк'кг б.
Р., Д7Ь кдксзкп !о Шгке Ейвеп) Аэа1)ч!Ь Мсбгкн-НК1, Н. Т., 197Х Б. Но пс О. н., деуив б тьс Рка!к ннк ! м пюд, Агкдквгг Ргьки и. у 1973. д.ждюкйш)ЬБ.ЗМБ П ИТЬ ТМЕ!шщ!Гу.кки Ю.МО -НШ.ИШ, 1919. Б; Б*кЬ Б. Л. Ьм б. С., О Нкиак М БПИ км Мэ!г!ккк !аг РгкЬМвк гл-Рыле Еык!юиу ЬУ бк)егшп'к М Ик:д, йк гл. А )к Юшгмйы Мышки В Екдгтнмвю 1. Бо! ч19 Оиз).
6; Х!мышьяке О. С„ТЬе Нпнг Еквкк! Меюсд Ь Е я! зык Бвккск, Мкбгк НЖ Ькпдс, 1971: есть русский пме эл. "Зеьллкгм б„Метал мквккьв клише т шшике, иэд-кк «М р», М., 1ШБ. Глава (8 Х4ЕБНЫЕ ПРОП'АММЫ Ва всех предыдущих глзнах подчеркипалась необходимость шинной реализации метода конечных члементоа. Очешщно, что стад конечнык элементов не пригоден для прозедення расчетов пручную. В этой глазе булут расгмотрыгы некоторые прогрзььмы, ксторымн следует пользозаться при изучении машрнала, представленного э гл.
2, 6 и 6 — 12. Настоящая глана не долгина рассматриэатъся кзк паслелння глава этой книги. Изложенный здесь материал нужно использоэать и кэчсстпе приложения прн обсужнии конкретных применений метода каьняиых элементаа. Программы, цриэедеииые е этой главе, далеки ст тех сложных ограмм, которью могут решать самые различные задачи Они предназначены лля топ!, чтобы ксикурнроиать с имеющимися андартными программами. Эти программы преследуют талька ебные цели.
Такие несложные программы весьма гкеллтельны с ебной точки арения, так как ани саирюцают до минимума классное зреыи, требуемое для объяснения ее работы. Перечислим негорыс харакырные особенности, которые приводят к упрощений прогрэммеь 1. Используются элементы толью одного типа — гшнейные еугольн или. 2. При разбиении области на элементы карзктеркстики мате. зла каждого знемента предполапастся Одинзковыыи 3, Глааные оси инерции параллельны координатным асям д. 4. Каждая программа решает только однотипные задачи, наПример задачу о кручении уаругога стержни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
