Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 38
Текст из файла (страница 38)
формы для этих элементов приведены только в общем шгде из-за большого числа узловых точек. Используя обозначения ! =5)э. тэ=чш. Г =((з, (1559) запишем следующие соотношения для функций форин. Лигюйимй элемент (В Гмлгж) й(з =+ (1+Гз) (1+Чт) (1+ йг). Для примера рассмотрим апределышс йгг. В этом случае уюты. вац формулы (1539), имеем йз — — Ых=-1. Ч лккм элмюкм ЭЭ тэк как В= — 1, ее= — ц ьз==-5 Использри зтв выувженпж по дучаем для 7уг слелующее сюютношеняег в (! Кэлдрагичньй элемент (29 рыюа) Для угловых узлов Вз —,(1+2~)(!+Чв) (1+(а)(Ге+цк+(а-2) (15Л1) Для узлов иа ребрах Р,=а, ц= 1, (= ВЗ= 4 (1 — Р)(1+Цз)(1+(з).
Соошетсгвующие выражении длв узлов иа лруюш ребрах получаипся перссгзаювной «оордннат, Кубичнмо эхе челт (32 рзелг Для угловых узлОв ВЗ= Г (1+йз)(1+Пь)(1+(з)(9(1 +э) +Г) !9) (15 42) Для узлов па ребрах ,,й=ю), й=щ!. ! — з' йгэ гг (1 — 1)'(1+95 )(1+9 и1+() Припсдснные выше выражения свюдятсн к их двумерному аналогу прн 1= щ1. так «ак при 1==с1 илк ч-щ1 двумерные ф)жкцин Формы сводятся к одкюысрным фующннм формы, рассмотренные трехмерные элементы могут бып объединены в один класс с соответствующими папскими нла одвамсриымн элементами. В случае трехмерных элементов сохранение непрерывности при переходе от одного элемента к другому означает непрерывность по поверхности, общей длн двух соселних элементов. Такам обрамьч функции Формы должны быть такнмп, чтобы неизвестные вс. личины однозначно опредозялнсь их узловыми значеаиямк в точках поперхиосги, общей для двух элементов.
Г!ринеденные вызе Функции формы обладают этим свойспюм. Г!Рспелура составления матрид элемента почти идентична тюй, ггоюрую ьпз юбсуднлк при рассмотрении четырехугольного элемента. Матрица якоби теперь имеет размеры ЗХЗ, «испо точен иптегунроваиик при вычислении величины ГВ)т/В) разно 2з 8, 27 " Сй ыхжщтствелио длн линейного, квадратичного н «убичного з«а Г И Задачи К задаче 799. элементов.
Прн этом прсдполагаета«симметрия е еппроксимнрую- щем позииаме («юрядок гюлинома «ю каждой нз координат одни и тсм же). Общаи форма интегралов записывается как «! 1 1 1 1 Ж й 0)де((У) ( дйтцд(= ««-4 л е е - ~ ~,[т Н,НН,(((. Ч» б,т и«'7«е« Очевидно, что определение матриц элемента в паннам случае Ы..... требует большого обьсма вычислений. Для палучсиип ма ицы уч кубнчного элемента должны быть вычислены ь«атриды каждая размером 3!х32. Для составлсняя матрицы линейного элемента требуется вычислить 1б матр ц раз и мерам у е щедра'"ч"'ю элема«ма июбхаш' " вы "' ь матриц размер«ж 26Х20 Поскольку ЗВИ легко справится с такнмп расчетамн, приведенные цифры ие доюкиы удерживать от использования квадратичных н кубкчных элементов. ° П"'у"кге в««ражепня для функций,уорн,з и, „,„ ратушного четырехугольнага элемента.
161. Получите выражения для функций формы Л«з и Л(«кубич. -нага четырехугольного элемента. 1мь мь Получите выражении дхк фуню«ий формы чсппрехугольнога элемента, изображенного ии«ке. 163. Определите порядок ««««тегрирозання, необходимый длн численного определения интеграла ) [Л«(г[Л«уцу а случае элемента нз задачи (Ы. !64. Вычислите частные пРснзводиые дй«з(дх в дй«г(ду в точке й=«(з, Ч= — 1 элемента вэ задачи !И. Че««еигяге ьчиг ю«ленты зы 166 Вычислите частные производные дй(г(дх н дй«,7др в та,л,е й= — э(«, Ч=«/» элемента нз задачи 169. !66.
Напишите «юдпраграмму, которая будет вычислять частные производные функций формы по х н р. Зависимость х н р от естественных координат считайте лика!но«ь а для «7 используйте выра«кение (1б.!1). коурдинаты (к «!) точки, в которой вычисляются производные. должны вподнты.я в подпрограмму в качестве исходных дааньи. 167. Проивтегрнруйте чнсленно ) [Л«) дб вдаль границы ц 1 . квадратичного элементе н сравните результат со значениек, полученным аизлитически.
!63. Составьте блок-схему программы числеипога интегрирова. ния ( [Лг)г[Л«)дк Зависим«сть х к р аг естественных координат считайте линейной, для «7 используйте выражение (16.11). допслнитульнАя лнтерлтурй СОВКО„С«о«грм~ййррн а«зо!Н и У !97Ь Хйюыеьк«О. С„цп жп!М В!кззп! Мсяпз «и Йщйпекпя выезгц МссгьпНй! Ь«паап, 797!г ест руазый «р ж 3 к«еззч О №тал «ен«ччпх ыекептс» з ыпзпс, кы-зс «Мчт», М, «9Ж:, Глава 16 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА. МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ В гл. 13 — 1б обсужцэлнсь абщне свойства элемсатоа нысокого порядка.
Был рассыатрсн только аднн нрнмер нспальзозання этих элементов. а нменна в задаче о переносе тепла а стернгне был прнмснен одномерный кдадратнчный элемент. Вопрос о том. как выполнить надлежвщнс расчесы с помощью ЭВМ, не обсуждался. Настоящая глаза завершает рассмотреняе элементов высокого парижа.
Здесь будет опнсана машннная реалнзапнн указанных элементов, пркнедены трн конкретных прнмсра, а также будет показано, как определить июрдннаты узжм, расположенных на крнмрлнксйяых граннцах. ° ВЛ. АЕавннная раалмкацмц Вычисление матриц элемента в сдуие нспальзонаная элементов зысакпга порндка требует выполнения большого чнслв арифмепмсскнх операций, которые проще аоста проноднть с помощью быстродействующей щгфравай вычнслнтельнай машнны. Последовательность аыполнення опсрацнй не зазнснт от тяпа элычснта.
Общая блок-схема вычисления матрнц элемента представлена на фнг. 1Гд1. Тдассматркм основные этапы вычислений по этой схеме. Отправной точкой в раомтах является выбор точек ннтегрнрдхганяя н весовых коэффнцнентов для шсленного ннтеграрозаняя. Чнсло тачек ннтегрнргмання зависит ат порядка ннтерполяцнонного полнаома, «отарый в свою очередь опрсделяетсн тем, какой элемент попользуется прн пастроеннн днскретзой модели.
Инфюрмацня о тяпе н порнлкс Тлкнейный, кзадратнчный, кублчный н т. д.) элемента должна быть введена в ЭВМ да гсзо, ках начнется вычнсленне метрнц элемента. Эта ннформацня обычно вводится вместе с номсрамн уэлсе элемелта. Порядок элемента должен быть определен прн зедвннн геомегрнк элемента н орн ннтерполнроааннн искомой зслнчяны по се узловым значснням. Значсння кгюрдннэт точек ннтсгрнрозання н зесгмых ипффнцнентов нычнсляются в отдельной подщюграмме.
Праанльные значения зтнх зелнчка дла рассмвтрнааемаго элемента получаются прн ныюльзааання рцча условных аператоргм 1Р, определяю- 1 гцнх тнп элемента (треугольный, четырехугольный н т. д.) н его адг. га.г. ядм с н чдсдрддага ащеыыдгм намек ииигь «- ...р, дд-,, д, .рч~, ррдрп м — рдд р д д д Е ° р гд-мэчг г 3 р рд ~р«» о Глава >б порядок. Необходимо также сохранить для основной программы величину, с!ответствующую числу точек ннтегриронаиия, так нак эта величина потребуется в качестве параметра цинла, в котором вьшолннстся численное интегрирование. Составление матрицы Якоби, обратной к вей матрицы м вычисление се определителя ыютавляют первый зтап работы цикла, в котором вычисляются коэффициенты матриц элемеим>в. Несбхолимые для составлении матрицы Якоби частные производные вычислнкчея в подпрограмме.
ко>оран определяет кан функции формы )(ь так н их произнодиые д)б)дй н ВВ>/дг> Выбор соотытствующего множества функций формы осущесц>ляется с помощью условных операторов 1Г, усгананливвю>цих тнп и порндок элемента. После того нак вычисление матрпцы Якоби завершено, нужно решить, какими функциями формы будем пользоваться лдн интерполирования величины ц Будут ли это те жс самые функции формы, которые испольаовалнсь для полученяя матрицы Якоби, или ови будут другимну Если это те же самые функции формы, т. е. элемент изопараметрнческий, то Дгг, дй>г/дь дВ>/дц н т.
д. совпадают с !2„6)7>>г>б п т. >ь. использованными для получения матрицы Якоби, и можно приступить непосредственно к вычислению частных производных дй>г/дх, дй>г/др и дй>г/дв. Если интерполяшко>вгый полипом для р отличается от позинома, нпторый применялся для задания формы элемента (субпараметриюскнй или суперпараметрпческий элемент), то необходимо вычислить й>г, дйгг/г б, дйудц и т. д., прежде чем приступить к следующему юагу. Частныс проиэаодныс по жюрдинатам х, р н в определяются в подпреграммс, которан выполняет умножение вектор-сголбца, содержащего дй>>/6$ и т. д„нв матрицу Якоби.
Зная частныс производные, можно построять матрицу градиентов [В)! и вычислить все поды>пегральиые выражения, такие. как [В] [Р] [В), [В]т[Р)(ее). Элементы матуиц [АЮ] и ([Ю) тспеРь Получаютсн умно>кеппен соответсгвующпх значений подыьтегральных выра. женнй ив весовые коэффициенты и сложением полученных величии с результатами аналогичных операций, уже выполисннь>ь длн других точек интсхрнронвг>ия. Поскольку [Ип) п ([и>) получаются путем суммирования, элементы этих матрац должны быть приравнены нулю перед началом работы внешнего цикла. Для определения рюультавтов элемента необжвшмы частные проижюдиые д>У>/дх н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
