Сегерлинд Л. - Применение метода конечных элементов (1050674), страница 41
Текст из файла (страница 41)
На. преобразуем путем интегрированна по частям, чуо дает „„, дкт „,„'Лр ( Г Г д(ПЬГ(г и„ гш х, хмг гым М» вв»г»ба Г ус — Вр Е д! Гла агу (17.12) Подстзвлян (17.9) в (17.б), получаем в качестве исйодйого уравнения соотвошевве хг Первое слагаемое в интеграле (17.10) представляет'собой матргщу Коэффициентов элемента (йяг) в уравнении [Аяг! [7[=[[я'!. (17.11) После суммирования по элементам второе слагаемое в интеграле (17.10) будет соответствовать вектор-столбцу (Р). Член вие интеграла в (17ЛО) янсснт яклад в вектор-столбец (Р) при уело. внн, что производная бр[да (накчон) определена на каждом конце элемента.
Этот член не учиъъваетгзь если ничего не известно о наклоне в узловых точках. Вычислим интегралы в (17ЛО)г , И'-Н вЂ” = —" =--'"и ла' (Гг[ лз лз гг г л лз р г ~ — 1~ (Уг)йт а з ~ л[д)г лз г [ 1 — 1 ~ ~уз) Верхний индекс (е) отброшен, тзк как рассматривается отдельный элемент. Интегрироаанне вмполюиэса в пределах от нуля до Д так как функции формы в (17.7) выражены в месшой системе координат с центром а [-м узле. А — длина элемента. Для второ- ~[[7[с щ Дх= ~[8[[э[8[[( г ~с[к=-б.[ ~ ~ ). (17.18) а с Применение получениях соотношений иллюстрируется на следую- щем примере.
170. Консоль длиной 150 см жестко закреплена в тачке х=О и подвержеаа дейстпию сосредоточенной силы пелнчнной З800 Н ыа свободном конце. Изгнбная жесткость сечения Е[ ранив 8,5.10' Н/смз. Требуется определить прогиб зонсолн в шеспг узловых точках, расположениях на равном расстоянии друг ог друга. Разбиение области аа элементм. а также эпюра изгибающего момсятя показаны ниже. Значения Зеличины М[Е[ в узлах.даны в следуэвцей таблице: юмян К зльчс Г7С. Щ=аб.[О' Н ся, ювяз ювамя ьяьнюя Зэ «н. Запишем урапнснин, СОответствуквцяе первому злемвату.
Й-' '1Й-Ч'И "1- Последний член в левой части уравнений исчезает. поскольку и тачке х О угол поворота рамн нулю. Впм член ие появляется Я прут уравнениях, потому что нячего ие известно об угле по- ворота ни в одной иэ др)тпх узловых уравнениях для гсэальных элементов остаютси тема же самыми, так изк все элементы имеют одинаковую длину. Рсэуль суммиронании матриц алементон получаем слепуюшую систему уравнснийг -а.этм — а,ыж 5 — 2,67!9 — 2,1929 — 2,9299 2 1 141 1 4! + ! 4 1 141 1 2 1 — 1 0,5Л 65 0,4Ж55 0.28605 " 0.14310 0,(5685 3'„ Уэ У» Уз У вЂ” 1 2 — ! — 1 2 — 1 — 2 — 1 — 1 2 — 1 — 1 1 Последняя система уравценнй может быть решена без обращения матрицы, потому что Уз=О. Из первого уравнения 3' — У, =0,33345 У вЂ” 0,3агэ)5.
Второе уравнение геперь можне быть решено отиоснтелы2о Уз, третье — относительно К; и т. д. Таины образом, для 3' мо~ут быть запасены рекуррситлые соотиашсиня. Опрсдичия и как глобаль- иую степень свободы, будем иметь — 3' э+2ӄ— 3' =Ры в~ 2, П7.16) 1 — 1 — ! 2 — 1 — 1 2 — 1 — ! 2 — 1 — 1 2 — 1 — ! 1 У 1' Уэ И' И' — 0,000794 — 0,000535 — 0,000476 — 0,000318 — 0,000159 О,О О 0 0 О 0 0 Вазед юма длэ еэюэ ллсдомда дээиаа 229 Окончательные аначеивя гграгнбоа в узловых тачках даны ниже Эти значения гмень хорошо согласуются с теоретическими резуль- татамн.
В рассмотренной выше задаче были получены рекуррентные ураниюп1я благодаря наличию граничных условий Р(0) О н Р'(0)=-0 того же типа„гга к в задаче Коши. Гели граничные условия состоят в задании прогиба в двух ипи более тачках, то линейнаи система уравнений должна быть решена с помопгью процедуры, описанной в гл. 7. Послюшяи компонента сектора Р) ие сушествсниа для данного примера, пшому гго значение э может быть определено из пятого уравнения. Шестсе уравнени» системы не будет выполняться, если в него подставить найденные числовые значения Уэ и Уэ- Это объясняется тем, что, решая задачу Коши, мы произвольно урсэали область задания исходного дифференциального уравнении. 17.3.
Двумерные уравнения теории поля Ряд задач ймзики и техники может быть списан уравнением вида 6(е)- дч- р —,+2)=-0. (17.14) В предыдуших глазех это уравнение было аспользоввно при ревенин задач о течении жидкости. переносе тепла и о нручения упругого стержня. ЗдЕсь уместно сбсудять применение методе Галеркииа к решеиига уравнении (17.14). Подстановка (17.14) в (17.1) дает Преяаж ж.ега необхолимо преобрзжжать (1у,)5) н лгржашсе только первые производные по х и р Замечая что — (07)г — )=!)9) .йр-+ —— 7 д 3 дг д(л)г дг да~в дг дэ' можно записать !)У) ар- — Л» ~(ДГ)~ Ш ) —,и [йг[г-~-.
(17.1б) Теверь перное слагаемое в объемном интеграле преобразуется н нилу — — + -' '"= (йг) '~' бу=( — '(!Л[ лт) И вЂ” ['а!и)' фбу. (17.!7) г По теореме ОсФоградского — Гаусса имеем 1+ '-- ='- — '[[В)г — ат-~а =[ !дг[' ~ !.аб. (17.!0) Точно так жв можно преобразовать интеграл !)у!г —;р-бр. Объединяя соотношения (!7.!7) и (!7.19) с аналогичными соотношениями дня принеденяого выше интеграла н учитывая, что Иу=!г)А и Ия=!г!ь.
уравнение (17.10) можно переписать в анде ~ру!'( а„у„++1„)ж— -[!'[ — "'~ — 'ф+ — "~ ф — !Л)'Е)бй-а (17!9) Здесь предполагается, что толщина злемента ! равна единице. Поверхггосшый интеграл в (17.19) может быть выражен че- Г величину йфдц где н — внешиня нормаль к поверхности. результате имеем л й "— + — -' — )-. /л(я)г лр л[я)г Ф)бд ~ !У)гО(д аг Лг+ Ф да ! л — (!Л)г фа=о. (!720) 17 Пгрный интеграл е (17.20) внопзт вклад в матрицу (Ан!), второй — в вектор ([нг) яз уравнения [аге)(р)=-[ре). трншй инатрал ! шствует а образовании обеих еелишш (Аы) и ()ьг).
Оченидио, если ВФФп обращаетсн в нуль па граигше, то тресни интеграл исчезает. Неич ная функция р и уравнении (17.20) определяется соотношев р =!йг! [Ф[, твк что ф Л !!У) [Ф) н ф -ш- (йг! [Ф)., Подставлвя получеввые Формулы в первый интеграл (1720). имеем что соответствует выраженим 1В1г !В!ИА(Ф) (17В!) Лля аадач теории поня. Третий интеграл в уравнении (17.20) заслужввает более детального рассмотрения, поскольку образует конаектнвную матрицу в задаче о перевесе теала.
Предположим, что мы имеем ряд треугольных злемснтов вдоль вертикальной границы, как покззаво на фнг. 172 (зтз граница выбрана только кч соображений простоты), и хотим вычислить интеграл (1)у)г — ат уж (17.22! й вдоль этой границы. Поток тепла вдоль границы соответствует тепловым потерям, вмазанным нонвектпвиым теплообммшм, н представляется величиной (17,аУ) где еь — тазпсратура гравнцм тела, а й — температура окру жашщей среды Температура внутри влемепта дается соотношением Р=)У!Фа+ ДгзФг+)УзФ», (!У.УД) откуда. имеем для точек поверхности ! (17.2цг Ч,=ОФг+1 Фг+УчФ, Гшш Гг так кап влоль рассматриваемой границы А,=О. Теперь рйга теплового потока получаем азы!ующее выражение: (Огг) — '~-= — й(йз — р «=й!О ! Г )[Ф ) — йр .
ап р — (В-н-) Паг. 17.!. Потек тепла ва пиваап зааиннв Подстановка (17.26) в (17,22) дает ~!3Вг-3-ж=й ~!)УТ !й) [Ф) бж — ~!)утбр ж. (1737) М Рб Ж где !У=-[О !л Ьз). Вынолняя интегрирование в (1727) с помощью плоских Е-ксордиивт, приходим к результатам, идентичным тем, что получены в гл. 8. Использование метода Галеркина непссрелственко прнвслкг к слагаемым, которые в вариационной форыуларовке должны быть добаалекы к функпиоиалу, побы учесть граничные условии. Метов Галеркина применяется такзке прн рыпсиин двумерных и трехмерных задач теории упругости [5).
В результате получается шютема уравнений, подобнан той, ветеран соответствует вариацнанной формулировке втих задач. р-Вуш)[Т)-[[1 ' г) г 1[уз) (17.31) чи Коши, а гешке прн решыпш переходной задачи, обсуждавшейся в гл. 11. В зтом разделе будет рассмотрена задача Коши дпн одного диффереациальиого уравнения. а затем провепено обобщение па глучай системы дифференциальных уравнений первого поряпка.
Рассмстриы дифференциальное урапнснне ф+ 49= 8 (17.28) начальнымн усзоинямв р(О) =О и р'(О)-4. Зто уравненяе иыеочевидиое решение 9=4 мийь Првближенпое решение втого уравнения можно получить численно. Чтобы проиллюстрировать применение пеппи Галеринна, используем именно зтог спскоб.
Подставляя (1728) в (17.1), получаем 1 ) !Лг)г (-йк+4р) 47=0. (17,29) Мы уже указывали иа необходимость разбиения интеграла на сумму и преобразования интеграла, содержащего производную высокого порядка, в интеграл от первой производной. Подобное преобразование уже рассматривалссь по опгопюнию к бтр(г(за.
Учитывая формулу (17.9), получаем и т, где Т вЂ” шаг по времени (длина) отдельного влемента. Уравнение (!729) может быть записана 'теперь в аиде 3~ тп лх ~ ~' )(и!пг'г!г йг „,„)„ ! тг где Т, и Т! — значения времени, соответствукипие узлам ! н ) зле. ысита. а 17 — число племен:шв. Прныеиение формулы (1739) будет проиллюстрировамо с по- Мощью линейного иитерполяциснною полннома длн р: Соопюшснне (17.31) определено отюсятельно неон!ой снстсмы коордннат с началом в 1-м узле, что соответствует пределам нн.
тегрнрованнн Т»=О н Тт Т,. Подстаноеяа выражения (17.31) в (17.30) лает / з (67в!)т — ~ — ~„'~ ( — 46 — — ж — [У[ — [ 4» 8йт!.!)т 46»О!1 тб ~ руа
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
