Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При этом на всей границе г = — 0 полагаются заданными касательные напряжения о„~ О, на ее участке 0 < г ( ( а — нормальные перемещения и„а на остальной части а ( г ( ( ас — нормальные напряжения а„~ О. В задаче П рассматривается полоса на недеформируемом основании г = Ь без трения, на границе г = 0 сохраняются те же условия, что и в задаче 1. Как и в предыдущем параграфе, считаем, что внедрение штампа осуществляется без переносов, т. е. / (Г) = б* = сопз(, С учетом условия симметрии бесконечно длинный слой (полоса) 5 (О ~( г ( со, 0 «( г ( Ь) при решении задачи МКЭ заменялся областью 5' (0( г(1, 0 ( г Ь). Численным экспериментом установлено, что часть слоя г '- 4п не оказывает влияния на решение в районе действия штампа. В связи с этим достаточно ограничиться полосой размером 1 = 4а.
Проведенная аппроксимация рассматриваемой области позволяет существенно уменьшить число элементов в направлении осей г и г по сравнению с предыдущей задачей и максимально сгустить разбивку в районах особенностей. Лля задач такого типа исследовалось влияние степени дискретизации рассматриваемой области на точность результатов. Приведем решения осесимметричной задачи П для трех вариантов разбивки области на конечные элементы, содержащей 78; 171 и 377 узлов. Схемы дискретизации во втором и третьем случаях показаны на рис.
6. Аналитическое решение для контантного давления под штампом, полученное в раГготе 145), выражается формулой , ( ) -' (1 811 0„718 " + 0,126 †„, ), (П 35) 1' 1 — Р/ар где 0 = 66'/(1 — ч) а; б' — внедрение штампа; 6 — модуль сдвига. Величины 6 и ба подбирались таким образом, чтобы 0 = 1. 35 Р йатаг Ниже приведены данные аналитического решения для контактного давления (11.35) и результатов, полученных МКЭ при трех видах дискретизации.
Для первого случая г/а Решение (!1.35) МКЭ Погрешность, % Для второго случая О,!4 0,39 0,60 0.77 0,88 0,95 0,987 г/а Решение (П.З5) МКЭ Погреш- ность, % 4,05 7,66 3,93 8,48 ,!,! 10,7 1,96 2,24 2,82 1,93 2,20 2,75 1,6 1,8 2,4 1,82 1,85 1,79 1,82 1,3 1,8 Для третьего случая Рис. 7 0,075 0,20 О,ЗО 0,40 0,50 0,60 1,81 1,82 1,83 1,85 1,89 1,96 1,79 1,80 1,8! 1,83 1,86 1,93 1,3 1,5 1,5 0,95 0,98 0,993 1 ! ! 0,70 0,60 0,89 6,21 12,25 6,20 13,46 2,09 2,34 2,90 4,06 2,05 2,30 2,88 4,02 1,5 1,7 0,7 0,75 0.16 9,9 Из сопоставления следует, что даже при относительно грубой сетке согласование результатов удовлетворительное.
Как и в предыдущем примере, ббльшая погрешность наблюдается в элементе, непосредственно примыкающем к особой точке. В дальнейшем все результаты приводятся для наиболее густой разбивки области с сеткой, содержащей 377 узлов. Для задачи 1 (в аналогичной постановке) давление под штампом вычислено по формуле 1451 д(г) = 12,183 — 1,048 —., + 0,181 — 4) (11.36) 17! (,/а)е ( ' ' ае ' а4 н ниже сопоставлено с решением МКЭ: гга 5 гlа Аналитическое решение (П.36) МКЭ Погрешность, % г/а Аналитическое решение (П.ЗО) МКЭ Погрешность, % г/а Рис.
9 г/а Решение (!! .35) МКЭ Погреш. ность, его г/а Решение (11.35) МКЭ Погрешность, % 0,20 0,55 0,788 0,918 0,98 1,82 1,92 2,Ю 3,26 6,22 1,78 1,90 2,29 3, 16 7,! 7 2,25 1 — 3,1 15,3 0,075 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 2, Гв 2,19 2,19 2,20 2,23 2,29 2,19 2,19 2,19 2,20 2,22 2,27 0,32 — — — 0,5 0,9 0,70 0,80 0,89 0,95 0,98 0,995 2,40 2,64 3,21 4,43 6,75 ! 2,11 2,38 2,62 3,22 4,43 6,74 14,73 0,8 ОР 0,9 — 0,15 2! Вт — -и Ьа 47 /)В 45 ВВ 495 4975 /В Рнс.
о Отнесенные к 0 результирующие усилия на штамп, полученные в работе [451 для задач 1 и 11, составили соответственно Р!мкэ = 9,93; Рц мкэ = 8,79. Интегрирование контактного давления, полученное МКЭ с использованием метода Симпсона И02), дает Р!мкэ = 10,2; Рц мкэ =- 8,81, что составляет расхождение с аналитическим решением соответственно 2,7 и 0,2 %.
Рассмотрим решение данных задач в упругопластической постановке при различных внедрениях штампа в слой. Для задачи 11 на рис. 7 показана зависимость между действующим на штамп безразмерным усилием н глубиной внедрения. На рис. 8 показано изменение контактного давления при тех же внедрениях штампа.
Штриховая линия на рис. 8 и аналогичных рисунках обозначает границу штампа и гга 5 В случае, если (11.38) /(г) = (1,354 — г'/а') к, 1 г (15и ~ т Рассмотрим покоящийся без трения на жестком основании слой с внедренным гладким параболическим штампом, уравнение которого в общем случае имеет вид /(г) = б* — Кгв, (1! 37) округления (крнвая /), радиусы скрчглення йв = 0,2, йв = 0,5 соответственно. При осевых деформациях слоя под штампом, примерно равных 1 %, ширина тороидальной поверхности штампа, находящейся в контакте со слоем, составляет примерно 1/20 радиуса округления.
Очевидно, что при меньших глубинах внедрения влияние округления будет еще более локализованным. Аналогичные результаты были получены в работе 12261 для полупространства. сге рнс. !! г7а !та< И является асимптотой упругого решения (кривая /), полученного для безразмерного внедрения А, = 0,0025. На рис. 9 и 10 показано развитие зон пластичности для осесимметричных задач и для плоской деформации. Левые части рисунков соответствуют задаче 1, правые — задаче 11. Кривые 2 †на рис 8 — 10 соответствуют значениям Ат — Ав, приведенным на рис. 7.
Сопоставление результатов позволяет сделать вывод, что конфигурация зон пластичности и их значение существенно зависят от типа напряженного состояния и граничных условий опирания слоя по границе. Рассмотрим влияние скругления кромки штампа на уровень контактных напряжений. Расчеты проводились для осесимметричной задачи с проскальзыванием слоя по основанию при радиусах скруглеиия штампа /7 = 0,2 и /7 = 0,5. В обоих случаях размеры штампа подбирались таким образом, чтобы радиус зоны контакта оставался равным толщине слоя Ошибка в определении радиуса зоны контакта не превышала 1 %.
На рис. 11 приведены графики давлений под штампом со скругленными кромками (кривые 2, 3) и беч длина зоны контакта для осесимметричной задачи равна толщине слоя, а контактное давление определяется по формуле д (г) = 0) 1 — «т/ат (3,074 — 0,09! г'/ае), (11 39) С где В= —,, Ка Для проведения расчетов принимались следующие значения параметров: Ка' = 0,1; ч = 0,3, = !00. С ' а(1 — ч) 0 Дискретизация области на конечные элементы аналогична той, которая применялась в задачах о внедрении плоского в плане штампа в слой (полосу). Отметим, что для задач, где зона контактного взаимодействия не фиксирована и определяется в процессе решения задачи, использовался следующий прием.
Вначале проводилось грубое решение с относительно равномерной разбивкой предполагаемой зоны контакта на конечные элементы. После того как искомая зона взаимодействия определялась с точностью до одного элемента, производилась новая дискретизация области с учетом полученного решения и повторный, уточненный расчет. Зона контакта и общее решение в этом случае определялись значительно точнее. Ниже приведены значения давлений под параболическим штампом (11.39), полученные р(КЭ и асимптотическим методом 145): 0,075 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 г/а Аивлитическое ре- шение (11.39) МКЭ Погрешность, % г/а Аивлнтическое ре.
шелке (П.39) МКЭ Погрешность, в4 3,065 3,008 2,925 3,00 3,02 2,92 2,12 0,39 0,17 0.70 0,60 0,89 2,804 2,643 2,433 2,79 2,63 2,41 0,49 0,49 0,94 0,95 0,98 0,995 0,594 0,298 0,570 0,214 4,04 28,18 2,163 1,809 1,369 0,934 2, 14 1,78 1,34 0,898 1,06 1,60 2,12 3,85 39 Анализ результатов показывает, что наибольшие абсолютные погрешности наблюдаются в зоне максимальных градиентов напряжений, однако, если погрешность отнести к максимальному уровню контактных давлений, она уменьшится на порядок. На рнс. 12 приведены зависимости осевых напряжений от радиуса в различных сечениях слоя.
На рнс. 13 слева от оси г/а показаны линии равных уровней интенсивности напряжений о,/О, а справа — компонентов напряжений ом/О и перемещения и, и и, на поверхности слоя. Следует отметить, что максимальный уровень интенсивности напряжений примерно в полтора 1,400 0,778 0,81! 4,5 2,775 0,629 0,696 2,4 ог 4! 44 44 г/г /г „ 14 Рис. !2 б,/Р Л Рис. 13 Рис. !4 Рис. 1о 40 раза меньше осевых напря- жений, что объясняется харак- 3 тером напряженного состояния, которое близко под штампом к г всестороннему сжатию. Максимальное значение инг тенсивности напряжений, как и в задаче Герца, достигается на некоторой глубине под штампом.
Еще одним примерам, иллюстрирующим возможности разработанной методики и математического обеспечения, может служить задача о вдавливании плоского штампа в клин с прямым углом при вершине. Одна грань клина г/а = 0 защемлена, а в другую г/а = 0 на отрезке а < г < За внедряется без наклона плоский штамп так, что / (г) = Ь* (рис. 14). Трение между штампом и клином отсутствует. Вне штампа поверхность клина не нагружена. Задача решается в рамках плоской деформации (кривые / — 4 соответствуют аналогичным кривым иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
