Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вместо компонент поверхностной нагрузки Р, и Р„на- правленных вдоль осей г н г, можно задать компоненты Р„и Р„ направленные по нормали и и касательной т к нагруженной поверхнос- ти, расположенной в плоскости гг, что удобно при нагружении давле- нием некоординатных поверхностей. Местная система лт может быть г в-»»»« использована при задании перемещений нли смешанных граничных условий. Температурное поле Т (г, г) считается заданным в узлах прямоугольной сетки.
Температура в промежуточных точках определяется с помощью линейной или квадратичной интерполяции. Для точек, лежащих на линии раздела Е„контактирующих подобластей 5» ь 5,+и граничные условия не могут быть заранее заданы однознзч о и формулируются в виде неравенств ит — ' + и„'-Р' — 6' ( О; о'„( О; (и' — ' -,'- и,',ь' — 6'„) с' = О, (1!.2) где и„' ', и,',+', 6„— перемещения точек подобластей 5» ь 5,+, и начальный зазор (натяг) в направлении положительных нормалей контактирующих участков, наклон которых совпадает с направлением общей нормали и; а„' — напряжение взаимодействия тел в направлении нормали и.
Поскольку задача рассматривается в геометрически линейной постановке, считаем, что контактируют между собой одни и те же точки подобластей 5; 1, 5иы через специальный упругий контактный слой 5ь свойства которого обеспечивают заданные условия взаимодействия. Условия фрикционного взаимодействия на 1 „принимаются в форме закона Кулона. При этом нормальные о,', и касательные т„' напряжения подчинены соотношению [ т„' [ ( !гро„', (П.3) где 1„— коэффициент сухого трения. Последнее соотношение выполняется за счет проскальзывания контактирующих поверхностей друг относительно друга, сдерживаемых фрикционными касательными напряжениями.
Свойства материалов кусочно-однородных подобластей 5ь составляющих конструкцию, предполагаются различными и могут быть изотропными, ортотропными или обладающими в плоскости гг анизотропией общего вида. Связь между упругими напряжениями и деформациями определяется соотношениями о„= А„(е„— е"„) [- А„(е„— е'„) + А,е (еее — ер ) + А,с (у„— ур ); огт~'~ Агг (егг — ер„) + Агг (егг е~,) + Аге (еес — ерт„) + Агс (угг — у~,); сее Аег (ег е~ ) + Ае' (егг е» ) + Асс (еее ес ) +' Аес (Угг Уо )' сгг = Ас (е„— е,",) + Ас (е„— ее) + Асс(есс — е' ) + Аас(у„— у'), (П.
4) где сиь ен, у„— компоненты тензоров напряжения и деформации; о о ен, у„— деформации, обусловленные температурным расширением, пластическими деформациями, наличием начальных зазоров (натягов) и т. п.; Ан — упругие постоянные материала, зависящие от температуры, выражения для которых через технические постоянные определяются формулами [1751 Ап = е, [1 — т»ттн — т[»а(тт»т[ат+ т[а») — т[гс(т»ла»+ тщ))е» ' ~ 18 А ~ = Ат = Е [т1(1 — т[с»т[»а)-'-т»(т»у+т[»гт[с,)+ + Чм(тю т[а»+ т[ат)[0 Атс = Е; [т[та(тт»т»т — !) — т т(т;»т!»с+ т!та)— — тт»(т»тт[,а+ т[»а)!О ', Асс = О.г(1 — ъбтн — -р;»ты — тпчм — 2тпчмт»т) 0 ', (П.б) !7 = 1 — тытп (1 — т[»ат[а») — титы (1 — т[гст[сг)— — тт»т»т(1 — т!сст[ст) — 2т[а»т[тс (т»! + тттч»т)— — 2т)атт[»а(ты + чызй») — 2тйат[ст (то + тмтм) — 2тптмт»!в -- й.~с — ~;.~.,— ц,с~- (т,[,й=-г,г, Е), т Е; — модули Юнга; т»; — коэффициенты ! 1уассона в соответствую- щих направлениях; 0„— модуль сдвига в плоскости гг; т[໠— коэф- фициенты взаимною влияния первого рода [1181, характеризующие удлинения в направлении й-й оси координат, вызванные касательны- ми напРЯжениими в плоскости гг; т1»с — коэффициенты взаимного влияния второго рода, выражающие сдвиги в плоскости гг от нормаль- ных напряжений, действующих вдоль й-й оси координат; с„— каса- тельное напряжение т„, Будем считать, что за пределами упругости НДС контактирую- щих тел описывается соотношениями теории малых упругопласти- ческих деформаций [126, 159[.
Связь между перемещениями и деформациями определяется следую- щими линейными соотношениями [13[; ди, ди, ди, ди, и, г . „г ! г ., (Пб) дт ' 'гг дг ' '* = дг дт ' = г где последнее равенство используется для решения осеснмметричной задачи. Для расширения класса решаемых задач плоского деформирован- ного состояния полагается, что на части подобластей 5,е в направле- нии, перпендикулярном к плоскости гг, имеет место дополнительная деформация еаи эь О следующего вида: езет = Ат+ В,г + С;г, (1!.7) где Ап В,, С, — неопределенные коэффициенты, подлежащие опреде- лению в процессе решения задачи.
Такой прием позволяет учесть сме- щение свободных торцов призматического тела из плоскости их се- чения (в направлении О) под действием нагрузок или температурных деформаций. 2. решение упругоппастической контактной задачи методом конечных элементов Сформулированная соотношениями (П.1) — (П.7) краевая задача механики деформируемого тела отличается от традиционной постановки наличием контактных граничных условий (П.2) — (П,З) в виде неравенств. В связи с этим возникает ряд дополнительных иелинейностей, связанных с определением в процессе решения задачи зои взаимодействия контактирующих тел, зависящих от нагрузки, и условий взаимодействия на контактных площадках, а также зон про- скальзывания при наличии трения.
Таким образом, нелинейные контактные краевые условия не могут быть сформулированы заранее, так как зависят от получаемого решения и определяются в ходе итерационного процесса по специальному алгоритму. Следует отметить, что в случае некорректных контактных задач, когда незначительные изменения в исходных данных ведут к значительному изменению результатов, возможны различные решения упруго- пластических задач в зависимости от алгоритма поиска контактных зон и последовательности вычислений во вложенных итерационных процессах. Обычно в этих случаях задача чувствительна к степени дискретизации на конечные элементы, диаграммам деформирования, уровням нагрузок и легко обнаруживается потребность дополнительных исследований, в результате которых обычно вскрывается пРичина ее некорректности. На практике такие задачи встречаются редко, поэтому оставим их без внимания.
В задачах с трением возможны случаи, когда фрикционные свлы не могут уравновесить действующую нагрузку и решение в статической постановке отсутствует, что легко обнаруживается в ходе расходящегося итерационного процесса. Будем считать, что корректность постановки задачи должна обеспечиваться надлежащими входными данными. В данной реализации решение поставленной задачи получено путем последовательного решения ряда смешанных задач в итерационном процессе, на каждом шаге которого границы контактных площадок, условия взаимодействия на них полагаются фиксированнымн и изменяются в соответствии с выполнением условий (П .2) — (П .3).
При этом материальные константы упругой системы выбираются исходя нз удовлетворения определяющих уравнений задачи. Между взаимодействующими подобластями Я; и 5;+1 в пределах возможной области контакта вводится специальный контактный слой Вм, наделенный особыми свойствами. Такой прием позволяет внешнюю нелинейность, обусловленную граничными условиями (П.2, П.З), свести к внутренней нелинейности контактного слоя и осуществить переход к рассмотрению задачи взаимодействия упругих или упруго- пластических тел, связанных нелинейным упругим слоем.
Решение краевой задачи проводится МКЭ в перемещениях с использованием вариационного уравнения Лагранжа 6(П вЂ” Ао — А,) = О, (1!.8) где П, Аш А, — соответственно потенциальная энергия деформации упругой системы, работа объемных и поверхностных сил, которые для осесимметричной задачи запишутся следующим образом: П = и Д ) [о„(е„, — е', ) + о„(е„— и" ) -+ поо (еоо — е" о) + ч + п.*(у- — у,',)] г (Вб (П.9) Аа = 2п ) ) (р,и,()ог + ши,) гс(В;, (П.10) 5, А„= 2п) Р,и,гсИ., +2п ) Р,и,Ы.,+ 2п'~"„(Уоиг~+Р„и„)гь (П.!1) Г., 2 г Здесь р, — плотность материала; и„и, — перемещения точки тела в направлении осей г и г. Для подобластей Вь рассматриваемых в рамках плоского напряженного состояния, в силу равенства ооо = О опускается третье слагаемое в выражении (П.9), а также множители г и и в подынтегральных выражениях (11.9) — (П.11), если система координат не является цилиндрической.
Аналогичные изменения претерпева- гие~ ис. ! ют выражения (П.9) — (П.11), если подобласть 5; рассматривается в условиях плоской деформации при еоо = О. Если имеет место отличная от нуля дополнительная деформация еоо, третий член подынтегрального выражения потенциальной энергии (11.9) заменяется с учетом аппроксимации (П.7) на слагаемое вида (П.12) ооы 1(А~+- В,г+ С,г) — е3е!. Смещение торцового сечения элемента тела единичной толщины в нап авлении оси 9 р иы=А,+Вг+Сг.
(П.13) Тогда в выражении работы поверхностных сил (П.1!) для подобластей Я,о, где реализуется отличная от нуля деформация еоо, появляется слагаемое, учитывающее работу торцовой нагрузки на соответствующих смещениях (П,13), А'„= ~ ~ ооо, (А, + В;г + Сгв) сЮ!о. (П. 14) Я из Такое представление соответствует закону плоских сечений при деформации брусьев малой кривизны под действием заданных на торцах усилий А', н изгибающих моментов Мсь М„, Ж = з(~ оооо(В'о,' Мг~ = ~~ гпоо;сЮ;о, Мм = Ц гооое(В!о. з(о з~о зоо Таким образом, при решении задач плоской деформации в предположении еоо 4= О к искомым компонентам вектора перемещений добавляются 31 дополнительных неизвестных параметра Аь В„С;, определенных на подобластях В;о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
