Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 10
Текст из файла (страница 10)
3). Граничные условия при сделанных предположениях имеют следующий вид: при гlа = 0 и, = и, = 0; при г/а=О 0„=0; при 0<г<а иЗа<г<со 0„=0; при а~~г(За и, =/'(г) = Ь*. Для проведения дискретизации полубесконечная область клина заменялась областью конечных размеров 5' (О < г ( 24а, 0 < г < 24а), которая обеспечивает необходимую точность результатов в области действия штампа. Глубина внедрения принималась Ь* =- 001. Рассматриваемая область покрывалась сеткой конечных элементов, содержащей 630 узлов (13 из иих — на контактной зоне). Сгущение разбивки проводилось к вершине клина и к границам действия штампа. Значения давления под штампом сравнивались с данными аналитичес- кого решения, полученными в работе (45! асимптотическим методом Результаты сравнения приведены ниже: г/и 1,025 1,100 1,225 1,625 1,875 Аналитическое решение 3,076 1,540 1,029 0,629 0,548 МКЭ 3,332 1,562 1,063 0,657 0,658 Погрешность, % 8,3 1,4 З,З 4,4 3,6 г/о 2,125 2,375 2,600 2,900 2,975 Аналитическое решение 0,5!2 0,513 0,560 0,954 1,838 МКЭ 0,529 0,527 0,574 0,954 2,145 Погрешность, % З,З 2,7 2,5 — !6 На р! с.
15 сплошной линией представлено распределение контактного давления !7 (г) согласно формуле (Н.40) из работы (45), а точками — результаты МКЭ (см. рис. 14): Р г 9(г) = [1+ 2т(т( —, — !пи=1+ пг)Г1п(Зо/г) 1п(г/и) ~ (, 2ь )гзое / 7 ! г г + 4с( ! — — — !п — — !пе — ~!1, (!1АО) '! 8У ~.т )à —. р ~е/ где !(т, с(е — коэффициенты разложения функции, входящей в ядра,интегрального уравнения задачи. Расхождение в значениях суммарного усилия Р, действующего на штамп, для этих решений составило менее 1 %: Р == 1,692, Рмкз =- = 1,681. Три особые точки — в вершине клина 0 (О, 0) и по концам штампа А (а, 0), В (За, 0), наряду с бесконечной протяженностью области по двум направлениям, делают задачу довольно трудоемкой при решении ее МКЭ. Однако, несмотря на это, получены удовлетворительные результаты. На рис.
14 показано развитие зон пластических деформаций по ме- б* о(т ре увеличения параметра внедрения штампа Л* = — —" 10' при о Зпе„ решении упругопластической задачи. Следует отметить, что при этом точка приложения суммарного усилия„действующего на штамп, должна перемещаться, чтобы последний сохранял горизонтальное положение. 4)»анализ контактного взаимодействия унругодеформнруемык тен Возможности предложенной методики решения контактных задач ЛКЭ для двух упругих тел продемонстрируем на задачах, решение которых уже было получено другими авторами.
Вначале рассмотрим сопряжение кусочно-однородных плоских тел с натягом. Возьмем срединную плоскость тонкой упругой изштропной пластинки (рис. 16), ограниченную извне контуром 1.« криволинейного «квадрата» 5« со стороной 2Ь, а изнутри — окружностью 1.» радиуса г. Контур 1.« описывается уравнением )72) з = й )6 + †,, ) при 9 = »', а+ь о — ь = е , где й =- †; и = , ; 2а — диагональ квадрата; г— 2 ' а+Ь' функция, реализующая отображение внешности единичного круга плоскости $ на внешность заданного квадрата.
Боковая поверхность пластинки 1.« свободна от внешних напряжений. Центры квадрата и окружности совпадают. В круговое отверстие пластинки посредством прессовки или термопосадки с постоянным натягом Ьм вставлена шайба Ят. Вследствие малой толщины конструкция рассматривается в условиях плоского напряженного состояния. Ставится задача определения контактного давления на посадочной поверхности, а также поля напряжений внутри областей Э н о, от прессовой посадки при наличии на стыке сопрягаемых детааеа скачка вектора смешения, совпадающего по направлению с радиусом окружности г.
Рис. 16 Данная задача рассматривалась ранее в работах Ю. А. Амензаде П2) и И. А. Игнашова )72). Ее решения получены авторами в рамках теории ФКП с использованием метода Шермана (223, 224] различными способами. Для вычисления компонент напряжений принимались следующие исходные данные: гЪ = 0,8; ба„— — 1О ' м. Считалось, что криволинейный квадрат Яа изготовлен из меди с упругими постоянными материала б = 0,3846 1О' МПа; т =- 0,3, а шайба Зг — из стали при б = = 0,8426 . 10» МПа; т = 0,33. Результаты расчетов, приведенные в работах !12 и 72), в виде графиков контактного давления показаны в 1-м квадранте на рнс.
16 и соответственно обозначены 1 и 2. Значения контактных напряжений оа (в МПа) на посадочной поверхности кусочно-однородной комбинированной конструкции приведены ниже: е», град 45 30 15 0 Решение Ю. А. Аменааде 23,0 28,8 40,6 42,7 Решение И. А. Игнашоаа 14,2 2 1,5 27,6 31,5 МКЭ, укрупненная сетка 16,0 19,2 27,8 31,9 МКЭ, мелкан сетка 14,9 18,4 27,6 33,5 Как видно из рис, 16, разность результатов, полученных аналитическими методами, составляет 36 — 60 «Г«, Эта же задача была решена в настоящей работе МКЭ с различной степенью дискретизации рассматриваемых областей. Общий внд укрупненной разбивки представлен во 2-м квадранте (см.
рис. 16), уточненной — в 3-м квадранте. Число узловых параметров для расчетных моделей МКЭ составило 280 и 1200 соответственно. Результаты настоящих расчетов изображены штриховыми линиями на рнс. 16, а для контрольных точек — приведены ниже. Кривые контактного давления получены в результате расчета на укрупненной сетке (кривая 3), кривая 4 обозначает уточненные данные, полученные на мелкой сетке.
Отметим, что, несмотря на существенные различия приведенных схем дискретизации, значения полученных контактных напряжений для обоих случаев разбивки отличаются незначительно. Сопоставление контактных давлений показывает (см. Рис. 16, 1-й квадрант), что по абсолютному значению результаты МКЭ лучше согласуются со значениями напряжений, приведенными в работе (72), а по характеру их распределения — с данными работы П2!. Для сравнения рассматриваемая конструкция была рассчитана в предположении, что обе ее составляющие имели одинаковые упругие постоянные. В 4-м квадранте (см. рис. 16) показано распределение нормальных напряжений на границе раздела криволинейного квадрата и круглой шайбы, изготовленных нз стали.
Значения контактного давления п„(в МПа) для этого случая приведены ниже: е», град 45 30 15 0 Решение Ю. А. Амеиааде 30,1 33,8 57,7 67,0 Решение И. А. Игнашоаа 28,4 43,0 55,2 62,7 МКЭ, укрупненная сетка 28,7 38,3 57,2 65,3 МКЭ, мелкая сетка 28,9 38,4 57,1 65,6 43 Рассмотрим результаты, полученные для медной конструкции! 45 ЗО 15 0 !3,7 !8,! 26,2 29,6 13,0 !9,6 25,2 28,7 12,9 18,! 25,5 29,0 6, град Решеиие Ю.
А. Амеиааде Решение И. А. Игиашова МКЭ, мелкая сетка Рис. !7 Следует отметить, что в последних двух случаях наблюдается удовлетворительное согласование аналитических и численных результатов. Расхождение значений контактного давления не превышает уровня погрешности расчетов, принятого в машиностроении.
На рис. 16 во 2-м и 3-м квадрантах показаны линии равного уровня интенсивности напряжений а! 10 ' (в МПа) соответственно для комбинированной и стальной конструкции. Рассмотрим взаимодействие упругих тел с учетом трения в зоне контакта и сравним его с решением, приведенным в работе [262!. Исследуемая конструкция (рис.
1?) состояла из двух однородных изотропных подобластей 5„8а, контактирующих по границе г = 1,3 м, и находилась под действием сосредоточенной силы Р = 1200 Н, приложенной в центре. На участках контактного взаимодействия принимались условия проскальзывания либо сухого Кулонового трения с коэффициентом ~ш — — 0,3 †: 0,4. На отрезке (г = 0; 0 ( г ( 2) подобласть жестко защемлена в иедеформируемом основании: и, = 0; и, = О, а на границе (О ~= г ( ( 2,10; г = О) ставились условия симметрии: и, = — О, и„=- О.
Остальные участии контура полагались свободными. Поскольку компоненты вектора жесткого смещения не исключались, из процедуры решения задачи в работе [2621, условия идеального проскальзывания и„[ =1,з = 0 моделировались приближенно — у дт путем введения малого коэффи- — — у еб г †-- ! - я циента трения [,р — — 0,002. — — г, б Дискретизация рассматрива- б емой конструкции проводилась в работе [262! с использованием б квадратичных нзопараметричес- г кнх элементов, имеющих по два узла Гаусса в каждом направленин.
Область 5, была представлена совокупностью 44 элемен- /, тов с 346 степенями свободы, а область За аппрокснмировалась ее[ б г l 48 элементами с числом узловых параметров 366. Общий вид раз- Рис. 18 бивкн [2621 приведен на рис. 1? слева от осн и. Для обеих составляющих нонструкции принималось: Е = 95 МПа; т = 0,3. В настоящей работе решение поставленной залачи получено дли трех вариантов дискретизации конструкции с общим числом узловых параметров, равным 488; 948 и 1288. При этом по длине контантной площади размещалось 9; 1? и 20узловсоответственно.
На рис. 1? справа от оси г показана разбивка второго варианта. Ориентируясь на результаты работы!2621, дискретизацию области в районе зоны контактного взаимодействия проводили со сгущением узлов сетки элементов в местах возможного частичного отрыва тел друг от друга. Решения задачи, полученные авторамн работы 12621, представлены графикамн приведенного контактного давления (па рис. 18 они отмечены треугольниками). Коэффициентом приведения являлась величина номинального давления Р„, которая имеет место при условии равномерного распределения общен нагрузки Р по опорным площадкам. Кривые приведенного контактного давления, полученные в настоящей работе, отмечены на рис.
18 точками. В отличие от данных работы [2621, давления, отмеченные нружками па рнс. 18, при подходе к угловой точке неограниченно возрастают, что начественно согласуется с поведением решений в задачах о внедрении штампов в упругие тела [45, 481. Отметим танже, что значения суммарных усилий на площадках взаимодействия, полученные по результатам настоящих расчетов интегрированием контактного давления, в обоих случаях точнее, чем в работе [2621, соответствуют исходному значению нагрузки.
Имеющиеся расхождения значений и характера распределения контактных напряжений, на наш взгляд, объясняются недостаточной степенью дискретизации зоны нонтакта, проведенной в работе [2621, где взаимодействие тел на участке малой протяженности анализируется лишь в 9 узлах, ббльшая часть из которых попадает в зону раскрытия. Однако, несмотря на существующие отличия, получено достаточно хорошее согласование размеров участков контакта и отрыва при решении задачи с учетом трения. Для случая идеального проскальзывания на взаимодействующих площадках контактное давление показано иа рис. 18 штрихпунктирной кривой, а деформированное состояние конструкции — штриховой линией в левой части рис. 17. Там же указан масштаб перемещений Аналогичные результаты в работе 12621 не приводятся. Отметим, что в расчетах, проведенных с различной степенью дискретизации рассматриваемой конструкции, зафиксированы близкие результаты, что свидетельствуето правильности и устойчивости полученных решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
