Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Ключевым моментом при реализации МГЭ является интегрирование фундаментального решения. Для того чтобы сформировать СЛАУ, необходимо вычислить интегралы, входящие в дискретизованные граничные интегральные уравнения (!П.10). В выражении (П1.10) в осесимметричном случае величины ядер Т, и [(г) представляют собой первообразные от интегрирования фундаментального решения (П1.8) по О в пределах от — л до л. После ингегрврования фундаментальное решение примет вид Ле 2 + — '(К вЂ” Е')[ — (1 — 2ъ) [г ~ л, Е' + г» "' к~» '"" * " ~» — ае)[ )еа / (г — г„)а + аа ' 2 Т В (3 [ела+ (г — ге) лг [ Ег (! — Й ) (к+ге) — а (г — ге)'+ аа [ (еа (г — гер+ ае + ае е (г ге) + а + 2 ~ ~, (ЗК вЂ” Е)+=,(ЗЕ' — (1 — Фа)К)ф, где А = [4лб(1 — т))г (г+ г,)'+ га [ — ', г,, ге — кооРдинаты точки Р; К и Е' — полные эллиптические интегралы первого и второго рода; л, и л, — косинусы нормали с осями г и г, г — величина вида г — га; В = [2л(1 — т) )г (г+ г,)е -(- га[ Для задач плоской деформации или плоского напряженного состояния в случае дискретизации границы Е отрезками прямых интегралы от фундаментального решения могут быть вычислены аналитически [133!.

Это достигается подстановкой вида [) =агсз(п( " ~" л,— — "' ла), (!11.! 4) где х„ у, — координаты параметрической граничной точки Р; л, и ле — косинусы осей с внешней нормалью. При рассмотрении осесимметричных задач аналитически проинтегрировать выражения для фундаментального решения не удается. Это связано с вычислением эллиптических интегралов, входящих в выражения (П[.13). Численные эксперименты на точность и время счета в целом не выявили преимуществ использования аналитичесного интегрирования по сравнению с численным. К тому же прн использовании криволинейных ГЭ (например, дуг окружностей) проинтегрировать аналитически не удается. Поэтому, как правило, для вычисления интегралов испольь зуются квадратурные формулы Гаусса [29[. Это позволяет упростит- алгоритм и реализацию поставленной задачи интегрирования фундаментального решения.

Рассмотрим вопрос о численном интегрировании для случая, когда подынтегральная фуннция терпит разрыв. Представим границу рассматриваемой области отрезками прямых, а в пределах наждого 59 ГЭ будем использовать кусочно-постоянную линейную аппроксимацию перемещений и усилий. Тогда дискретизированное граничное уравнение (П1.10) для постоянной или линейной аппроксимации будет иметь сле- дующий вид (принято, что объемные силы отсутствуют): огг,,,!т!.т ч ( Лу! ! т„!т Еут) — Г (~ !у!! у„(т Егл~; л=! \ ! (П!.15) Си(Р)и;(Р) + ~ ~и/(Я)~~ 7 !(Р, Я)С,(з)с/ь + л ! ! и т„)т у!у у!гл~])= ч (~ !у![! уп!у у!г ! !гту л=!( '«+! !т ,- ! у„!т.у!с.!уг~~ ~).

ю„,+, (111.! 6) где С, (у) = ! — з/!; С, (з) — веса линейной интерполяции неизвестных; С, (з) = з//,. Обозначим черезов„(/, и (/, — концевые и среднюк~ точки отрезка (сегмента) интегрирования, а длину отрезка— через / . Для случая Р = (;) параметрическая точка Р (индекс тп означает, что точка Р принадлежит сегменту интегрирования /„) расположена иа отрезке интегрирования, а интегралы, содержащие фундаментальное решение, имеют особенности. Отметим, что наличие особенностей влияет на значения вычисляемых интегралов в соседних граничных элементах, а это требует более точного интегрирования.

Для удаленного от параметрической точки Р„сегмента интегрирования характер подынтегральной функции более гладкий н можно использовать менее точные, но более дешевые способы вычисления. Остановимся на случае, когда параметрическая точка Р совпадает с сегментом интегрирования. Таких случаев три: Р„совпадает с одной из концевых точек сегмента и находится посредине. Подынтегральные выражения, входящие в интегралы из системы уравнений (П1.!5), (П1.16), обладают особенностями типа 1И и !и Я. В выражениях (П1.5) и (П1.6) это явно видно. В осесимметричном случае логарифмическая особенность появляется при рассмотрении полного эллиптического интеграла первого рода. Для случая Й -у- 1, который имеет место при г -г.

г, и г -~ г„величину К можно представить в виде ряда К = 1п — + — (!и — — !~Р + 4 1 ( 4 р 4 (, р где р = )'т — йг, откуда ясен логарифмический характер особенности у полного эллиптического интеграла первого рода. Для вычисления интегралов выражения (П1.10), обладающих указанными особенностями, предлагается использовать следующую процедуру. Сегмент интегрирования разбивается на Ж подынтервалов со ! — 2ч /, = — ЯПП, — /Глп). 4л (! — ч) (2 (1П.!7) Для осесимметричного случая ! — 2ч / ° ') лг(т — тй — гл, Е 4л(! — ч) (, )Г( ! „„)г ! гг) (т — т„)'+г' /, т ! — 2ч )л (т — т) — гл [Лг — 2 4гг (! — ч) (, ! ~(т -(- т,) г -(- гг / (т — те)'+ гг ~ /гг (!!!.!8) 2(! — Аг) К~ Заметим, что члены, содержащие /1 „, тождественно обращаются в нуль в силу ортогональности и и /; под г понимается величина г — г .

От- сюда можно заключить, что при интегрировании для особенного сег- мента (Я = Р) в плоской задаче ! — 2ч 7;г = 7у — — 0; 7у„— — 7,у —— — (/7,/и, — Я тп ), у ' 4л(! — ч)/т а для осеснмметричной задачи все члены, содержащие величину /„= =- (г — г,) п, + гп„в качестве множителя, обращаются в ноль. Остальные члены, кроме (Ш.18), содержат особенности, которые вычисляются с помощью численного интегрирования. Таким образом, задача свелась к интегрированию для подынтервала, примыкающего к параметрической точке.

Попутно заметим, что если Р„принадлежит концевой точке сегмента, то будут особениымн два интервала — по отрезку интегрирования перед Р и следующий за ним. Причем в первом случае особенность на верхнем пределе, а во втором — на нижнем. Для вычисления интегралов от разрывной функции используется метод Канторовича выделения особенностей. Идея этого метода состоит в том, что из подынтегральной функции / (х) выделяют функцию степенью неравномерности Ь, т. е. если /, — длина первого подынтервала, то /, = /г/). В зависимости от значения /) можно варьировать неравномерностью разбиения сегмента на подынтервалы.

В частном случае /г = ! соответствует равномерному разбиению. Если параметрическая точка расположена в середине, то сегмент разбивается надвое и для каждой нз половинок используется процедура дробления на подыитервалы. К каждому из полученных подынтервалов применяется численная процедура интегрирования, сумма вычисленных интегралов дает искол мое значение несобственного интеграла 7 = У /,. Однако приведенная т=! процедура хорошо вычисляет интегралы с особенностью 1п Я. В случае наличия особенности !Ж необходимо более корректное рассмотрение интегрирования. Для этого выделим из интегралов члены, ответственные за особенность вида !/Я. В плоской задаче я (х), имеющую те же особенности, что и функция г (х), которая интегрируется на данном интервале, а разность у (х) — д (х) является достаточно гладкой на этом же отрезке.

Если обратиться к выражению (1П.17), то оно само интегрируемо на сегменте с помощью подстановки (П!.14). Если проведем интегрирование с учетом функций С„(з) и С„(з) и перейдем к пределу при х— хв и у-~ ув, т. е. [) — п/2, то для случая особенности на нижнем пределе получим На верхнем пределе 7, =; Т'„ц —— Т'„, !п 1; Тав = — Т . (П1.20) 4л у) — т) ' Для случая, если Р„, лежит в середине отрезка, величины (П1.19), (П1,20) складываются н взаимно уничтожаются. В осесимметричном случае в качестве функции а (г, г) выберем функцию следующего вида: ! — вв [ лв р — гв) — тлв) 1 4л у) — т) [ и ~в) (П!.2!) на верхнем пределе Ув = з ) [п~Мгв 2(!п у„,— 1)1.

(П!.23) В случае, если особая точка лежит посредине отрезка интегрирования, процедуру выделения особенности можно не производить. Достаточно для вычисления общего интеграла использовать дробление интервала интегрирования. Таким образом, если параметрическая точка Р принадлежит участкам интегрирования, которые представляют собой отрезки прямых, вычисление интегралов Т,у в случае плоской задачи можно не проводить. Достаточно использовать выражения (1П.19) и (П!.20) на аналитическом уровне.

В осесимметричном случае необходимо численное интегрирование. Для подынтервала, принадлежащего непосредственно особой точке, его нужно проводить не для самой функции, а для разности ее н выражения вида (П1.21). Причем все указанное справедливо для интегралов Т и Т„, содержащих особенность 1/!1. Интегралы (Ууу, Т и В процессе интегрирования на особом участке будем вычитать (П1.2!), умножая на соответствующий множитель С, (з) нлн С, (з) в зависимости от того, на верхнем илн на нижнем пределе находится особенность. Если проинтегрн!ювать аналитически выражение (П!.21), используя замену (П!.!4), и перейти к пределу, то для особенности на нижнем пределе получим (П!.22) Т„достаточно точно вычисляются обычной пропедурой с дроблением интервала интегрирования.

Предложенная методика вычисления несобственных интегралов позволяет эффективно применять МГЭ для решения задач теории упругости. Только корректное рассмотрение несобственных интегралов дает верное решение. Этот момент является основополагающим при численной реализации МГЭ От того, как вычисляются интегралы с особенностями, зависит время счета, неравномерность разбиения границы и в конечном итоге достоверность получаемых результатов. Предложенная процедура гарантирует высокую точность решения с небольшим числом узловых точек и при малом времени счета.

3. Учет массовых сип и температурного попа Граничное интегральное уравнение в случае воздействия массовых сил и распределенного температурного поля может быть записано в виде [!9! С»(Р) и;(Р) + ) Т»(Р, ф и;(9) у(з = ~(ууу (Р, у',)) у, (у',)) у(з+ + ~ Ку(Р, Я) Ьу (У,)) 4(П + — ~ (Ууу у (Р, У',)) Т Я) аУП, (П[.24) где а — коэффициент температурного расширения; Т вЂ” теьшература в точке Я. В уравнение (111.24) входят члены, содержащие интегрирование по объему в пространственном случае (по площади для плоской или осеснмметричной задачи).

Безусловно, наличие таких интегралов несколько нарушает общность МГЭ, основанную на оперировании лишь с поверхностью (границей) тела. Однако это приводит только к некоторым техническим трудностям реализации — усложнению алгоритма, увеличению массива входной информации. Для учета массовых сил, представленных в выражении (П1.24) первым интегралом по объему в правой части, н температурного воздействия, представленного вторым интегралом справа, объем (площадь в двумерном случае) дискретизеруют на у!4 конечных элементов. Назначение такой дискретизации заключается во вспомогательной функции интегрирования по этой ячейке и никаких внутренних новых неизвестных в систему ИУ не вносит. Сумма всех интегралов по у)4 н есть значение искомого объемного интеграла.

Однако в' ряде случаев (постоянное гравитационное поле, центробежные силы от врауцения вокруг фиксированной оси, особым образом распределенное температурное поле) удается преобразовать интегралы по области в граничные. Для преобразования интегралов в выражении (П1.24) по области в интегралы по границе воспользуемся формулами Остроградского — Гаусса и Грина. Пусть [[гу — функции декартовых координат точки области, которые непрерывны в замкнутой области [г + 5, а внутри имеют иепрерыв- В„(Р) = ~ )п»(Я)~ — бо+ (2 Я~~' (Н1.27) заметим, что (П1,28) т!ые частные производные относительно координат.

Характеристики

Список файлов книги