Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда, проинтегрировав по углу О, получим выражения для входящих в 0»уу и 5»уу компонент, которые, как и (Ш.!3), выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. В случае наличия массовых сил и температурного градиента, выражающихся поверхностными интегралами, их вклад в вычисление может быть подсчитан аналогичным образом с использованием закона Гука.
Для задач плоской деформации подынтегральные выражения представляются в виде 6ц = з„(1,1 ~ " [(1 — т) [(2]п Р— 1) [(ЬЯ,„— Ьь.п,й) Р,-]- +Ь,(и — Р й )]+2ЬР Р ]+Р!пй(Ь Я>.+Ь Я )ив — Ь,й,,(й,уп, + й;иу) — 1п РЬ,п,) + (1 — т) [(2!пй — 1) Ий убу, + + Руб у) (Ь~йл — Ььапй)+ Ь, (иДа + и би — бпйуйе — б~уйуйл)] + + 2Ь,Р,,(й,убу. + Рцб,у)) б,у + Р 1п й п,(Ь„Яц -]- Ь, Я,)— — Ь,й,, (Рциу + йцп,) — Ь, 1п р (п,б„+ пуб„)~1 (И[.51) уу — 4 1 — м~ )Т ) Р,щит ~ 1 — 2Р,Я,у ) + пуй,у + пуй,»~в Г Т п Р "РЯ.+ ' (21" +1+ )]! (Н152) ) йз 71 В трехмерном случае бц = ), ), ' [й,„(2(1 — т) Й,,Ь,— РЬ„)+ 2тб,„п,„+ + 2 (1 — ъ) РР,Ь, и„,! + (! — ч) Я „(Я,; Ь; + Р;Ь;) — (псЬ, + п!Ь,) + + Я„Ь,,„п,„+ йлЬь и„,) И! + Ь,.
и„, (бп — )~,, Р,,)— — РЬ,„,„(п,йл + п,фл)!2~; (1И.53) ае [[ ~' 6п — — 3Й,Яг) + и;й, + прад~ Т— — Й Рхги,; — ! "2 ~)Т„„п„,~!. (Ш.54) Рассмотрим подробнее вклад в вычисление деформаций н напряжений от воздействия центробежной нагрузки вида (111.35) для задач с осевой симметрией. Для этого выражения (!!1.52) и (111.35) подставим в зависимости Коши осесимметричиой задачи теории упругости. Проинтегрировав по угловой координате 9 н проведя преобразования, получим выражения для подсчета деформаций в случае воздействия центробежных сил. Подставляя полученные выражения в закон Гука, получаем соотношения, позволяющие подсчитать вклад центробежных сил в напряжения для любой внутренней точки. Эта же процедура полностью применима и при решении задач плоской деформации прн наличии центробежной нагрузки. Таким образом, вычисление напряжений и перемещений во внутренних точках тела на основе имеющегося граничного решения не представляет математической трудности.
Процедура вычисления сводится к интегрированию выражений (П1.39), (111.41), (П! 48) и,если заданы массовые силы н закон распределения температуры, подчиняющиеся однородному уравнению Лапласа, выражений (11!.51) — (П1.54), подстановке их совместно с известным граничным решением в соответствующее уравнение. Одним из наиболее важных вопросов при определении НДС является вычисление граничных значений тензора напряжения, Из практики расчетов известно, что, как правило, экстремальные значения напряжений находятся именно на границе. После решения задачи МГЭ имеется полный набор граничных перемещений и усилий в системе заранее выбранных точек. С помощью принятой при численной реализации МГЭ интерполяции можно определить граничные значения перемещений и усилий в неузловых точках границы. Нормальные о„„и касательные а„, компоненты тензора напряжений вычисляются непосредственно по найденным значениям вектора усилий.
Для определения недостающих компонентов существуют несколько способов. Наиболее простым среди иих является способ вычисления недостающих компонент на поверхности тела путем экстраполяции по значениямвовнутренних точках тела. Однако этот способ имеет большую погрешность вследствие того, что внутренние точки нельзя выбирать близко к гравице. Ядра Зы, на границе обладают особенностью 1/Я"', где и— мерность пространства, и не интегрируются [136!.
При приближении к границе наличие этой особенности начинает проявляться и, начиная с некоторого предельного расстояния, теряется достоверность получаемых результатов. Пороговое значение этого расстояния приблизительно равно величине примыкающих граничных элементов. Кроме того, вычисление напряжений во внутренних точках,связанноесинтегрированием ядер 0~„и З»п, достаточно дорогая процедура с точки зрения машинной реализации. Другим распространенным способом получения недостающих компонент напряжений является их вычисление по найденным перемещениям через конечные разности Н8!. Учитывая, что деформации вы-! ражаются через перемещения, окружная компонента деформации е„ может быть найдена непосредственно по аппроксимирующим перемещения функциям.
Далее, учитывая закон Гука, по найденным значениям е„, о„„и о„можно вычислить компоненту о„напряжения, нормальную е„, и касательную е„, деформации. В работах [111, 192! предложен способ вычисления значений компонент напряжений на поверхности, основанный на том, что если вокруг точки выделить симметричную окрестность, то интеграл от членов, имеющих неинтегрируемую особенность порядка )г по этой окрестности, равен нолю.
Для определения размера этой области, в которой старшие члены ядер, входящих в ИУ, вносят наименьшую погрешность, предлагается использовать итерационную процедуру. Суть ее заключается в том, что, уменьшая размеры области и численно вычисляя интегралы по оставшейся разнице площадей, сравнивают полученные результаты. Другой способ основан на оценке допускаемых погрешностей. Таким образом, МГЭ позволяет получить полное решение на границе области. Прн этом рассматриваемый класс задач может включать внутренние и внешние вырезы, угловые точки, разрывы приложенных снл, составные элементы конструкций и сложные граничные условия. а. Использование метода граничных элементов лрк наличии угловых точек В большинстве практических задач граница не является гладкой, а содержит ребра и углы. Зачастую исследователей и инженеров интересует решение задачи именно в окрестности этих точек или линий.
С другой стороны, без детального рассмотрения разрывов в геометрии или граничных условиях невозможна корректная постановка задачи при решении МГЭ. Различные методы, разработанные в настоящее время для' моделирования указанных особенностей, достаточно полно изложены в монографии [19!. Здесь мы ограничимся кратким обсуждением различных процедур, применяемых в МГЭ, и подробно рассмотрим концепцию дополнительных соотношений, получившую наибольшее распространение прн создании вычислительных программ, реализующих прямой вариант МГЭ. В задаче теории упругости в угловом узле смещения определены однозначно, но усилия многозначны, что приводит к появлению допол- нительных столбцов в матрице СЛАУ (П1.12).
Для преодоления этих трудностей существует несколько способов. Наиболее очевидным является способ скруглення угла. Однако эта процедура приводит к искажению результатов в некоторой окрестности ребер и углов, полностью некорректно описывает класс задач с входящими углами и фактически не может служить удовлетворительным способом решения задачи.
Другим подходом является концепция независимых кратных узлов. Суть его заключается в том, что уравнения записываются для введенных рядом с угловой точкой кратных узлов. Основной недостаток этой процедуры заключается в неопределенности размера зазора между угловыми узлами. Большой зазор ведет к искажению решения в угловой точке, малый — служит источником численной неустойчивости при решении. Наиболее приемлемой для задач теории упругости при реализации прямого варианта МГЭ является концепция кратных узлов с дополнительными соотношениями, предложенная М.
Шодонре [237[. Как уже отмечалось, для решения системы сингулярных ИУ (111.9) граница тела представляется набором сегментов (в двумерном случае это могут быть отрезки прямых, дуги окружности и т, д,), на каждом из которых перемещения и усилия аппроксимируются каким-либо образом, например полиномиально. Для полиномов первой степени аппроксимация производится между величинами граничных перемещений и граничных усилий, расположенных в точках дискретизации.
Вследствие этого вектор напряжений может быть не определен для случаев, когда существует разрыв в геометрических характеристиках или граничных условиях (разрывность внешней нормали, сосредоточенная сила, трещина и т. д.). Пусть Я вЂ” точка, где напряжения терпят разрыв в силу разрыв- ности внешней нормали (см. рис. 19). Рассмотрим эту точку как двойную — Я" и «1", принадлежащую одновременно двум сегментам: слева (индекс «лл) и справа (индекс «пл). Тогда имеют место две внешние нормали и' и и" и соответственно два вектора усилий: 1', связанный с п', и 1", связанный с п". Совершенно очевидно, что граничные уравнения из системы для «1" и Я" идентичны в силу их двойственности. Это приводит к вырожденной системе разрешающих линейных алгебраических уравнений.
Поэтому необходимо введение добавочных уравнений, по два на каждую двойную точку в плоской задаче. Учитывая требование неразрывности перемещений в теории упругости, добавляем уравнения, связывающие перемещения, т. е. (Ш.55) Однако введение таких соотношений возможно не для всех видов граничных условий, заданных слева и справа от точки разрыва. Если условие (1П.55) не устраняет некорректность, необходимо введение других уравнений (одного илн двух в зависимости ет вида граничных условий).
Добавим в систему уравнений условие симметрии тензора напряжений (т. е. равенства касательных напряжений) в точке разрыва. Для граничных усилий слева и справа запишем л Л л, и п и. 1, = о„п, -[- о„уп„; 1, =о»,п, + окпп„; л л. п п п Гр = и уп, +арупу; 1у = о„,и«+ пуупу. Рассмотрим эти соотношения как систему четырех уравнений относительно четырех неизвестных компонент тензора напряжений. Определитель системы 0 = — (пип;" — и" пл)'. (Ш.56) Симметрия тензора напряжений следует из выполнения соотношения пл/п [ пл/п пп/л „[ пп/л (Д!,57) к» ур к«у«' Отдельно выделим два случая обращения в ноль определителя (111.56).
Первый — пи = п'„и пи = и„', т. е. разрыва у нормали нет, а реализуется разрывность внешней нагрузки, которая легко учитывается введением уравнения (1И.55). Второй случай, когда п",' = — п," и п', = — и„", соответствует наличию трещин, и тензор напряжений допускает бесконечную компоненту. Использование уравнения (11!.57)— справедливое требование теории упругости, хотя иногда (если с одной стороны сегмент защемлен, а с другой — свободный край) с физической точки зрения это условие неприемлемо. В подобных случаях использование условия (11!.57) приведет к заведомо неверным результатам в этой точке. Таким образом, введение в систему (!1!.!О) уравнения (1!1.57) и одного уравнения из (1!1.55) позволяет учесть более широкий класс граничных условий для разрывной точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
