Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для точек, которые лежат на линии раздела С, контактирующих подобластей, граничные условия формулируются в виде нера- венств (П1.60) й+ и„'"+' — 6(0; о"' е О, (1И.6 !) где й, и„'+', 6 — перемещения точек и начальный зазор (натяг), измеренные в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Неравенство (И1.60) представляет собой условие непроиикновения тел друг в друга и связано с силовым соотношением (И1.61), поскольку закрытие зазора сопровождается возникновением контактного давления. Разъединение подобластей соответствует нолевым контактным напряжениям.
Оба условия могут быть представлены в виде (и'" + и„+' — 6)а„"' = О. (П1.62) Условия фрикционного взаимодействия на ).„принимаются в форме закона Кулона. Компоненты поверхностных напряжений подчинены соотношению (И1.63) ! п„,(( — !о„„, где 1 — коэффициент сухого трения. Таким образом, сформулированная соотношениями краевая задача отличается от основной задачи теории упругости третьего рода при- сутствием граничных условий (И!.60) — (П1.63) в виде неравенств.
Решение поставленной контактной задачи в общем случае нелинейно зависит от ряда факторов, к которым относятся: изменение границ участков соприкосновения в процессе деформирования, взаимное про- скальзывание контактирующих тел в касательном направлении, нали- чие трения. Для каждой из подобластей можно записать граничное интеграль- ное тождество Сп(Р) и~(Р)-!- ) Тн(Р, Я)игф)г(5 = ) К;(Р, Я)Гу(Э~(з+ ) (7й(Р, 9)Ь!(Я)8о. (И164) зи ггл На каждой нз общих границ 1.„в точках взаимодействия тел следует обеспечить условия совместности и выполнить уравнения равновесия. Здесь необходимо выделить три основных случая взаимодействия: жест- кое сцепление, контактирование с проскальзыванием и контактирова- ние с учетом сил трения.
В первом случае на общей границе должны быть выполнены условия и~ (Р) = и™+'(Р) + б; г'; (Р) = — 1;+'(Р) (! = и, т), (Ш,65) где и и т — направление нормали и касательной в точке Р, во втором случае — условие и(Р) = и„"+' (Р) -1-6; г„(р) = !"„'+'(Р); 4'(Р) = 1;+' (Р) = О, 7з в третьем случае — условие й (Р) = и„+' (Р) + б; г. (Р) = — 4'+'(Р): (г, (Р)(= — ! (Р) 1.
(Ш.67) (И1. 68) где (д,) — вектор неизвестных перемещений и усилий, не принадлежащих совместным гРаницам; (4г) — вектоР неизвестных пеРемещений и усилий в точках дискретизации границы контакта Е„. Отметим, что матрица СЛАУ (И1.68) прямоугольная, так как / = 2р. Кроме того, в правую часть каждого неизвестного из системы (! П.68) входят не только заданные граничные условия на граничном элементе. но и граничные условия на всем контуре 3". Запишем систему (И1.68) в виде !К )М + !Кп) (Чю) = (Рс)' (Кги! (Ч~) + [Ки) (Ч!) = (Р ). (1П. 69) В первом уравнении выразим (д,) через (д~) и подставим во второе.
После некоторых преобразований получим !а) !)г) =(Р) (Ш.70) 79 Для численной реализации поставленной задачи контактировании нескольких тел рассмотрим алгоритм, аналогичный суперэлементному подходу, используемому в МКЭ. К каждой нз подобластей У применим алгоритм численной реализации прямого варианта МГЭ. При этом введем в обычную схему формирования матрицы системы линейных уравнений некоторыеотклонения от стандартной процедуры, вызванные наличием граничных условий типа (И!.65) — (1И.67). Предварительно заметим, что при решении задачи с граничными условиями сцепления (1И.65) мы имеем 4 неизвестных в узле контакта, а при проскальзывании — (И1.66)— 2 неизвестных (нормальные перемещения и усилия).
Взаимодействие с учетом сил сухого трения будет рассмотрено ниже. Таким образом, при формировании СЛАУ каждой подобласти мы несколько отходим от обычного алгоритма прямого МГЭ. Во-первых, для текущей зоны контакта (,„уравнения составляются только относительно неизвестных контактйых перемещений, тогда как во все без исключения уравнения входят и неизвестные контактные усилия. Другими словами, формируется количество строк по числу неизвестных контактных перемещений, а количество столбцов — по числу перемещений и усилий. Во-вторых, все строки н столбцы в СЛАУ, относящиеся к общей границе !.„располагаются после уравнений, относящихся к неконтактирующим границам подобласти. Уравнение равновесия подобласти в блочном виде можно представить как где !а! =1КЫ) — 1КоМКи) !Ки): (и1 = 1Ю вЂ” !К 11КиГ (Ю.
(П1.71) (П1. 72) Выражения (И1.71) и (1П.72) по существу являются записью формул прямого хода метода исключения Гаусса для частного случая исключения неконтактирующих неизвестных из уравнений (1П.68). Поэтому получить матрицу жесткости (податливости) (и! и вектор правой части !г"1 можно обычным гауссовым исключением при условии, что уравнения, относящиеся к исключаемым неизвестным, должны располагаться в начале системы уравнений подобласти. Таким образом, после исключения неизвестных неконтактирующих узлов суперэлемент (Ш.70) через параметры в контактирующих узловых точках полностью описывает поведение подобласти и этого достаточно для стыковки подобластей.
Структура матрицы суперэлемента (П1.70) прямоугольная — р строк и 2р столбцов. Если, например, контактируют два тела, то су. перэлемент второй подобласти выразится через матрицу также из р строк и 2р столбцов. Решая эти две системы совместно, находим 2 неизвестных контактных перемещения и усилия. Увеличение числа контактирующих тел приводит к некоторому усложнению процедуры совместного решения уравнений типа (П1.70), полученных для отдельных подобластей.
Естественным ограничением на применимость предложенного подхода является тот факт, что для реализации процедуры стыковки подобластей необходимо, чтобы порядок аппроксимации граничных усилий и перемещений совпадал (линейные перемещения — линейные чсилия, квадратичные перемещения — квадратичные усилия и т. д.) В противном случае стыковочная матрица подобластей-суперэлементов будет переопределена или недоопределена. Сборка суперэлементов, описывающих поведение подобластей, производится на основе удовлетворения условий (1П.65) — (П1.67).
Фактически процедура поиска по границе контакта (сопряжения) есть не что иное, как совместное решение уравнений равновесия супер- элементов для контактирующих (сопрягающихся) подобластей. В дальнейшем определение не контактирующих неизвестных и определение НДС производятся отдельно для каждой подобласти. Заметим, что для случая сопряжения (контактирования) нескольких кусочно-однородных тел или для искусственного расчленения конструкции по тем или иным признакам сборка суперэлементов проводится один раз, после чего находятся остальные неизвестные подобластей.
По-видимому, основным преимуществом такого подхода по сравнению собычным формированием блочно-диагональной матрицы в МГЭ является сокращение информационных объемов. Нет необходимости хранения полной системы уравнений, отдельные части — блоки системы обрабатываются сразу по мере их формирования. Каждый блок представляет собой матрицу жесткости (податливости) определенной подструктуры-подобласти, части конструкции. Это дает возможность соединить поэтапное формирование расчетной модели с поблочным решением системы уравнений.
Резюмируя изложенное, необходимо отметить основные преимущества предложенного подхода: во-первых, использование суперэлементного подхода позволяет построить очень экономичный алгоритм даже в отношении учета более сложного поведения контактирующих (сопрягающихся) объектов; во-вторых, возможность последовательно рассматривать каждую подобласть представляется особенно важной в случае оценки местных напряжений, когда малые участки приложении нагрузки могут быть выделены в отдельные суперэлементы; в-третьих, использование предложенной методики определения НДС тел, протяженных в одном направлении, представляется более рациональным, чем рассмотрение одной области, вследствие малого взаимного влияния удаленных участков поверхности; представление подобласти суперэлементом позволит сочетать МГЭ с другими численными методами. Собственно алгоритм решения задачи контактирующих между собой тел включает в себя три этапа: формирование матриц жесткости и правых частей отдельных подобластей-суперэлементов; стыковку и нахождение узловых неизвестных на границах контакта (сопряжения) г'.„; вычисление остальных граничных неизвестных и, если необходимо, определение НДС внутри тела.
8. Определение напряженно-деформированного состояния кусочно-однородных тел, соедниеииых посредством натяга Известно, что соединение деталей и механизмов с натягом имеет широкое распространение в машиностроении и в технике. Определение НДС тел, посаженных с натягом, всегда интересовало исследователей. Для решения этой задачи применялись всевозможные аналитические и численные методы. Рассмотрим проблему контактироваиия тел, посаженных друг в друга с натягом, в рамках МГЭ.
Пусть для каждого тела можно записать интегральное уравнение (П1.64). Считаем, что тела контактируют с натягом 6 по некоторой границе 7 „. Тогда уравнение (П1.64) можно переписать в виде СК (Р) и~ (Р) + ~ тТ, (Р, ()) и, (1)) о(з + ~ 7 0(Р а и~ Я) (з = с'" к зо - ) ип(р, ())1,(а (з+ ~ (7ц(Р, ())1,(®Ь, (ПЕ78) зо где 3 = Яо + 7.„". Для простоты считаем, что объемные силы отсутствуют. Для выполнения условия неразрывности требуем, чтобы и'„' (Р) = и„'+' (Р) + Ь (Р), (1П.74) 81 В о оооо 80 Подставим условие (1 !1.74) в (1П.73), тогда Си (Р) и, (Р) + + )То(Р, Фи(й)а(з+ Табанна 5 а„, мпа О, град М»а»а о н эо л» 42,7 40,6 28,3 23,0 31,5 27,6 21,5 !4,2 33,5 27,6 18,4 14,9 35,0 29,3 18,1 !1,8 34,6 28,7 !8,2 13,4 + ~ Т„(Р, Я) б (Ц) а!3 = а ~ (7г((Рг Я)7(Я)((з. (П!.75) ага Интеграл по границе (,„всегда попадает в правую часть суперэлемента [Р].
Далее, реализуя обычную процедуру МГЭ для контактирующих тел, находим й н и„+, которые в сумме со значением натяга б дадут истинные значения перемещений на границе контакта. Аналогично формулируется задача прн наличии зазора. Разница состоит в том, что натяг — всегда отрицательная величина перемещения, а зазор — положительная. В качестве примера рассмотрим задачу о сопряжении кусочно-однородных тел, посаженных с натягом (см. главу П). Поставленная задача решалась различными методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
