Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Риццо [26!! и Т. Крузу 12381, применим к интегральному уравнению (П1А) следующую процедуру. Устремим точку Р, лежащую внутри тела У, к некоторой граничной точке Р 6 5, т. е. совершим предельный переход от некоторой внутренней точки к граничной. Тогда система интегральных уравнений (П!А) переходит в систему сингулярных интегральных уравнений Со (Р ) и~ (Р) + ~ Т„(Р, Я) и, ((!) дз = )Г К (Р, (~) г', (ф 6з -[- (!!! 9) чем выражения для весовой и аппроксимирующих функций различны. Подобная процедура приведена в работе [30!.
Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первои основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [!52!.
Следовательно [153[, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условиюГельдера — Липшица вместе со своей производной [!53! Таким образом, задачу теории упругости, решаемую МГЭ, можно сформулировать так: необходимо решить систему сингулярных интегральных уравнений (П1.9', удовлетворив при этом условиям (П[.2) и ([П.З). Полученное решение совместно с заданными граничными величинами представляет собой полный набор усилий и смешений иа границе (поверхности) тела. По своей сути уравнение (П1.9), составляющее основу прямого МГЭ. является уравнением, определяющим некоторый потенциал (аереме щение) в любой точке суммированием эффектов от других точек на границе 5 и внутри области У.
Раскрыв по индексам уравнение (П[.9), можно получить систему двух сингулярных интегральных уравнений в двумерном случае и трех — в пространственном. Сингулярность уравнений заключается в разрывности подынтегральных функций (1П.5), (П1.6) и (П1.8) для случая Р— Я. Как будет показано далее, все интегралы в двумерном случае, содержащие функцию У„, обладающую логарифмической особенностью, могут быть вычислены без особых трудностей. Интегралы, содержащие функцию Тсо имеют сильную особенность вида !/)т' и должны быть вычислены в смысле главного значения по Коши.
Коэффициент Со (Р) представляет собой результат применения аналога формулы Гаусса в теории потенциала [153!. В общем случае Сп есть перемещение тела как жесткого целого (т. е. при 1, = 0 н Ь| —— О), для гладкой границы С„ (Р) = 0,56„.. Необходимо заметить, что систему сингулярных интегральных уравнений (П1.9) можно получить исходя из рассмотрения обобщенного метода невязки. При этом используется обратная формулировка, прн- 04 2. Построение системы разрешающих уравнений методом граничных эпементов Численные методы решения интегральных уравнений основываются на возможности вычисления входящих в уравнения интегралов [153!. В основном распространение получили два численных метода решения ИУ вЂ” последовательных приближений [!52! и механических квадратур П9!. В обоих методах всегда приходят к вычислению интегралов от известного выражения.
При реализации прямого варианта МГЭ предпочтение отдается методу механических квадратур, так как метод последовательных приближений обладаетрядом существенных недостатков, а именно [2021; 1. Область гарантированной равномерной сходимости решения ИУ достаточно узна с точки зрения границ и граничных условий краевых задач.
2. Теоретически сходящийся метод последовательных приближений на практике расходится из-за близости параметров ИУ к параметрам, соответствующим границам области сходимости и ошибок численного счета. 3. Использование метода сведения интегрального уравнения к бесконечной системе СЛАУ «смазывает» преимущества, связанные с с !Р);СР)~-Х [ [7 !*М,РЧттщз(ч)й(~)) ° '; т=! =Х [ [ем!*ар!Х е(т~!еаи)[т-! и !Аз ! Ф ! а м ! и + Х ) 6т [ (ь) Р[ Х Р" (ь) ! (ь) Ь (ь) Р ~и=! ат ь=! ([1!.1О) где якобиан Х (т[) = (дхтЯт[) (т[х!)т!т[).
В уравнении (111.10) принято, что координаты х, в произвольной точке, принадлежащей п-му граничному элементу, выражаются через декартовы координаты хл! узлов и базисные функции М" (т!): х, (т[) = М" (т!) х",. Базисные функции могут быть линейными, квадратичными и т. д.
Заметим, что порядок интерполяции функций и, и й может быть различен: ф (т!) и Фт (т[). Учитывая, что усилия й в теории упругости могут быть представлены через производные смещения и„по-видимому, целесообразно выбирать аппроксимацию для усилий на порядок ниже, чем для перемещений (линейные перемещения — постоянные усилия, квадратичные перемещения — линейные усилия и т. д.). 56 понижением размерности задачи на единицу. При этом зачастую возникает плохая обусловленность СЛАУ. 4. Сложность построения СЛАУ, если есть особые точки — угловые точки контура, точки смены граничных условий и т.
д. Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область У в виде М плоских сегментов, а границу 3 разобъем на М отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые днскретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область У, называют ячейками.
Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. В пределах каждого ГЭ предполагается, что известные и неизвестные значения усилий й и перемещений и„а также заданные объемные силы в пределах ячейки меняются каким-либо наперед заданным образом. В подавляющем большинстве случаев применяется полиномиальная аппроксимация (постоянная, линейная, квадратичная и т. д.), хотя известны н другие подходы, например сплайн-аппроксимация, тригонометрические функции, аппроксимация с весовыми коэффициентами [235[ н т.
п. После этого ИУ (П1.9) в дискретизированном виде может быть записано так: Естественным при реализации у является выбор разумного сочетания порядка аппроксимации геометрии границы (поверхности) и порядка аппроксимации искомых и заданных усилий и перемещений.
Как указано в работе [51[, необходимо выбирать порядок представления границы (поверхности) на единицу большим, чем порядок аппроксимации искомых функций. Это утверждение строго не доказывает. ся и является спорным. Как правило, в технике используются конструкции, поверхность которых описывается плоскостями или цилиндрами, поэтому разработка математического обеспечения с высокой степенью аппроксимации геометрии вряд ли является целесообразной. Как уже отмечалось, элементы матрицы [С!т[ для случая гладкой границы имеют значение 0,560. Однако, если параметрическая точка Р совпадает с точкой границы, где нормаль терпит разрыв, элементы матрицы являются функциями угла, с вершиной которого совпадает узловая точка.
Добавим к граничному контуру в окрестности точки Я участок дуги окружности е бесконечно малого радиуса 6 (рис. !9). Если предположим отсутствие внешних воздействий в уравнении (1П.!О) и перейдем к пределу при 6 -т- О, то для компонентов тензора получим С„=, [4(! — т)(ф,— !р„) — з!и 2ф, + з!и 2<р [! ! С =С = — (з[п !р,— з!п фт)' т т 4я (! — т) (1П.1!). С = [4(1 — т) (тр, — <р,) + зтп 2!р, — з1п 2фт[, ! Зи (! — т! где !р, и !р, — полные углы (см.
рис. 19). Для случая гладкой границы !рт — ф! = ц, откуда следует Сц = 0,560. Таким образом, интегрируем фундаментальное решение совместно с функциями формы и подставляем его в уравнение (П1.10) в соответствии с видом используемой аппроксимации. После этого накладываем на полученную систему уравнений условия выполнения граничных условий (П1.2) и (П1.3) и приходим к СЛАУ [А!
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
