Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда справедлива формула Остроградского — Гаусса ) Юь!2(п = ) Ф,п,г(5 (1, !' = 1, 2, 3). (Ш. 25) Г 5 Если 2р и ф — функции, непрерывные в области г' до вторых частных производных, то имеет место формула Грина [64[ ) (42(»Ф — Фцч!) 2(п = ~ (Ч2Ф,2 — ф2Г „) 2(5, (!П.26) где А — оператор Лапласа; и (по п„п») — внешняя нормаль. Заметим, что использование этих формул предполагает удовлетворение поверхности тела условиям Ляпунова, что в целом принято в МГЭ [!52).
Запишем выражение для интеграла массовых сил в трехмерном случае, подставив в него фундаментальное решение (1П.5): кое представление позволяет избежать интегрирования по объему и связанных с этим вычислительных трудностей. Аналогичная процедура в плоском случае позволяет заменить интегрирование по площади интегрированием по границе. Для этого случая, опуская преобразования, получаем В„(Р) = — (п„п 1 ~ (с[2(1 — т) [Ь,(2 [п)7 — 1)(2',— — (7 (!п Л' — 1) Ь,,п[ ܄— 2 [п А'. КзЬп, + ЬьпД(2 (п Р— 1)/2) 2(5. (П[.31) Обратимся ко второму интегралу по объему (площади) в системе ИУ (П!.24) Будем считать, что температурное поле стационарное, и преобразуем этот интеграл с учетом выражений (П!.6): С, ~2 ~ - —,", „) и „ь, !2, Е т !2 ! ~. =.
—, ~,",- ", ) + 2 !2 > 2. (П1,32) Учитывая, что Л (х,Я) = — 2х;Я», а также полагая, что распределение температуры — функция гармоническая (АТ =- О), можно запи- сать С»(Р) = за(1 — ) ~ [22(»гэ) Т вЂ” (г,» Г»Т) 2(п. 2 )[2л! = (!П.29) Предположим, что выполняются условия АЬ, = О (! = 1, 2, 3). Подставив выражения (П1.28) и (П1.29) в (П1.27), получим В (Р) = ) Ь2[2(1 — т)б»Я,д — Я,»2[2(п !+в ЗяЕ (1 — т) !+т Г( 1 4яЕ )» 2(1 — 2] Ь2)г»!~ 2(п = = — ) ) Ь»М вЂ” МЬ» — [(ЬА») 1 — й»Ьс2[ ) г[п. Воспользуемся формулой Грина (П!.26) и Остроградского — Гаусса (П!.25), тогда интеграл примет вид В» (Р) = [ [ ЬДлп, — ДЬ»з — Я,»Ь,п! — Йп»Ь2л)1 2(5.
1+2 Г[ 4лЕ ) ) ! 2 2(1 в) (Ш.ЗО) По повторяющемуся индексу производится суммирование. Таким образом, если интенсивность массовых сил — функция гармоническая, то объемный интеграл (П1.27) можно преобразовать в граничный, воспользовавшись формулами Грина и Остроградского — Гаусса. Та- Применяя формулу Грина (П1.26), получаем С„(Р) = ((,~ ! ) [Т ((7д) „ — Я „Т „) с(5. (Ш.ЗЗ) 5 Использование аналогичной пропедуры в случае плоской деформации дает С»(Р) = ) ) [)7(21пЯ+1)К,»Т,,— Т[(2!пЯ + 1)п»+ + 2)т,»!г,„!) 2(5.
(1Н 34) Остановимся подробнее на частном случае воздействия центробежных сил и стационарного температурного поля для тела вращения осевой симметрии. Покажем, что в цилиндрической системе координат центробежные силы представляют собой вариант массовых сил, к которым применима приведенная выше процедура понижения порядка интегрирования. Пусть тело г' с плотностью р вращается вокруг оси г с угловой скоростью в». Рассмотрение ведется в цилиндрической системе координат (г, О, г). Интенсивность распределения центробежных сил можно представить в виде (П1. 35) Ь„= р»в»г1 Ьв = Ь, = О З 2 222$ Подставляя выражение (П1.30) в (П!.24), учитывая (! П.35), а так- же криволинейность системы координат, для которой Лф = о(в „+ ф,/г + ф„/г' + фвв, используем тот фант, что А (г соз О) = О. Применяя формулы Грина и Остроградского — Гаусса, получаем — /!п,созО+ (, ) [2Гхп,созΠ— и,( 'ов " фсЬ Далее, интегрируя по угловой координате О, получаем выражения, отражающие вклад инерционных сил, причем в граничное ИУ этот вклад входит в виде интеграла по меридиоиальному сечению: 1 (~ ~ ~о)~+г ! (П1.37) в,= — """+' ~! '"-" 4( + ) "'-'к- 2ЯЕ(( — о) ) !У(~4 о)в 4 го 4 + ~, Е')+волг[( д, 1 К-4- ~, ( ь, 1Е'+! —,1(, Е'+ + з !Е (! ~')К!)44+ 'з,".,~ ((2 — /г)Š— 2(1 — Ь-) К)) (.
+г„) -~ го , [ — „: Е + (го + г — ) К1[ гг(го(г. Если обратиться к задаче плоской деформации и рассмотреть тело, вращающееся, например, вокруг оси х с угловой скоростью оо, то, используя выражение (11!.31), а также Ь, = О, Ь„= рвову, после соответствующих преобразований можно получить (П1.38) в,--,„ов — „, )вд(1- )св(в~ в-1>в,— — /~пв (!и /~ — 1)) — 2 (п йпвР, „у + /~пв (2 1п /! — 1)/2) оЬ. Здесь следует заметить следующее.
В работе (2391 с использованием представления фундаментального решения через тензор Галеркина (147) получены соотношения, позволяющие переводить объемное интегрирование в поверхностное. Однако они немного отличаются от выражений (П!.30) и (П1.31). Зто связано с тем, что переход от объемного интегрирования к поверхностному для массовых сил не едннствен- 4. Определение напряженно-деформированного состояния во внутренних точках тела и на его поверхности Одним из достоинств МГЭ является то, что он позволяет сразу определить известные усилия и перемещения на границе, не вычисляя их во всей области, как это требуешься в других методах.
Во многих задачах этим можно ограничиться. Если необходимо найти решение в произвольной внутренней точке области, то для этого достаточно выполнить интегрирование. Перемещения в л)обой внутренней точке могут быть найдены непосредственным интегрированием тождества Сомилиано с подстановкой соответствующего фундаментального решения: и; (Р) + ~ Т,/(Р, (г) и, Я) сЬ = ~ (/п(Р, (',)) 0 Я) о(з + 5 5 + ~ Н, (Р, Г/) аЪ + )Г С; (Р, 9) гЬ (П1.39) 3 5 где /, / = 1; 2; 3 — в трехмерном случае; /, /' = 1; 2 — для плоской задачи; й / = г, г — для осесимметричной задачи.
Последние два интеграла представляют собой сведенные к поверхностным (граничным) объемные (по площади) интегралы массовых снл н температурного поля. Эти интегралы рассмотрены в предыдущем параграфе. Чтобы получить деформации в любой внутренней точке тела, воспользуемся зависимостями Коши еп = (ио) + иь;)/2. (1П. 40) Тогда тождество для вычисления деформаций примет вид и,/в (Р) = ~ Все (Р, (г) (в (Я) гЬ вЂ” ) Епо (Р, (')) ио (О) (Ь + + ~ А;/(Р, (;))ьЬ+ ~ Рц(Р, (',))о(з, (П1. 41) ный в силу неоднозначности последовательности интегрирования.
Иначе говоря, если мы имеем выражение /!„и его можно записать как (/1, () л или (/! /)и, то, применяя к нему формулу Гаусса — Остроградского, получаем разные конечные результаты. Причем использование их в процессе численной реализации МГЗ приводит к одинаковому решению. Таким образом, в рамках МГЭ учет массовых сил и температурного поля реализуется путем интегрирования по объему (поверхности). Зто приводит к усложнению алгоритма, связанному с интегрированием по конечным элементам, на которые дискретизируется объем (поверхность) рассматриваемого тела. Однако в ряде частных случаев удается учесть объемные силы в системе ИУ в виде граничных интегралов.
Использование выражений (П1.30) и (П1.31) позволяет сохранить одно из основных преимуществ МГЭ вЂ” снижение размерности задачи на единицу. 7, Ви. = В»м соз О + В,м зуп О; В, = В„,соз9+ В„,яп8; Ваа = В созО+ В япО. В гг Ззз в„, = в»ы в„, =. в„, Вым = Вша (11!. 48) Вц,=(иу,у+(7ук.)У2; Ец, = (Т„я+ Т...)У2, (П!.42) Ац = (Нгц + Нц,)У2; Рц —— - (С,, + Су,)У2. (!П.43) Дифференцируя соответствующие фундаментальные решения и подставляя их в выражение (П1.42), для плоской задачи получаем Вуу» в — ](1 2т) (6'Я у + бпйх) бцр' + 2Р,Р уй»] (П1.
44) Ец» = 4 1 р» ](1 — 2т)](лабу»+ пубу» — пАу) + +2п»РЯ;]+ 2т[й,,(6»уй 1+ 6 яц) + й,(й!и, + р,п)] + + 2Ьцй,. й,» — 8 р „й, р;й, ). Аналогичные преобразования в трехмерном случае дают Вуц» = (1 Н] — 2т) (бмр у + Б Яц) — Ьцйл+ Зйцйцр»], (1П. 45) Ец» = в 1 ) у]а ](! — 2т) [(пубу»+пубу» — п»Ьц) + Зп»Р,Я.у] + + Збцй„й» вЂ” !5ЄРЯ;Р»+ Зт [й„(6»Я;+ 6»цй;) + + й»(йуиу+ Рцп,)]). В цилиндрической системе координат при решении осесимметричной задачи выражения для Вц, и Ец» можно получить из соотношений (1П.45) для трехмерного случая преобразованием следующего вида: Аналогичное преобразование используется и для Еум. Подставив соответствующие компоненты, проинтегрируем (П1.42) по угловой координате О и после некоторых математических преобразований получим выражения для ядер В„» и Е,м в осесимметричном случае.
Для нахождения напряжений в любой внутренней точке воспользуемся законом Гука оц (Р) =- бабце»» (Р) -]- 26ец (Р), (! П.47) где Х вЂ” постоянная Ламе, Х = 26У(1 — 2т). Подставив выражение (П1.41) в ([П.47) и проделав преобразования, получим оц = ~ 0»уу (Р, У~) У» (6) У(з — ~ Б»ц (Р, 6) и» (У~) У(з + + ~ 6,у (Р, 6) у]з + ~ йгуу (Р, Я) у(з — — Тбц, (!1!.48) где в двумерном случае [19) Р»уу = 4 1 ) у1 ](1 — 2ч) (6»у3 у+ 6»уй у — бцй») + 2Р Я;й»); 1 С 3»уу = 4 11 ~1»п [2йи И[ 2~) Ь'Я»+ (Ьу»йу'+ (1!! 48) + 6;Я,) — 4Р уй,уй,»] + 2т (п,й,;Р,» + пЯ,Ял) + (1 — 2т) (2иЯ,Яц + + ибу» + п;Ьм) — (1 — 4у) и»буу). В пространственной задаче ядра-функции !)»уу и 5»уу запишутся в виде ГУ»ц= „11,) „[(1 — 2т)(бмй,у+ Ьмйц — бцй,») + ЗР,Я,Ял); С 3»ц = 4и]1 — ) уу, (Зй,~ [(1 — 2т) Ь,Я,»+ (!В 50) -]- т(б;Яц + Ьу»й у) — 5й,,уйуй»]-+ Зт(й,,й»пу+ Р,уй,»иу) + -'; (1 — 2т) (ЗР,Яцп» + Ьмпу + Ьу»п;) — (1 — 4т) бцп»). В цилиндрической системе координат г, О, г для случая осевой симметрии выражения для 0»уу и Ю»уу можно получить из соотношений (П!.50) преобразованием, аналогичным тому, которое использовалось для Вц» и Ец».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
