Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В работах Ю. А. Амензаде П2] н И. А, Игнашова [72] решение получено с помощью теорнн функций комплексного переменного методом Шермана. В работе (82] эта задача решена МКЭ. Решение [12] назовем ФКП-1, решение [72] — ФКП-2, решение [82] — МКЭ. Для численной реализации задачи выбраны следующие походные данные: г!Ь = 0,8; б = 10 г. Криволинейный «квадрат» изготовлен нз меди с упругими характеристиками: 0 = 0,3846 !0» МПа т = 0,3; шайба изготовлена из стали: 0 = 0,8425- 10» МПа; т = 0,33. Значения контактных давлений п„(в МПа) на посадочной поверхности кусочно-однородной «комбинированной» конструкции сведены в табл. 5.
Для решения МГЭ использовался вариант метода с линейной аппроксимацией перемещений н кусочно-постоянной для усилий в неконтактирующих элементах н линейной — для перемещений и усилий в зоне сопряжения тел. При этом на границе контакта выбирали 6 элементов (МГЭ-6) н 12 элементов (МГЭ-12), вне зоны сопряжения — 37 элементов.
МКЭ задача решалась с 1200 узловыми параметрамн. При этом точность полученная МГЭ соизмерима с точностью решения МКЭ. 9. »«нализ азаимодейстаня упругнх теп с учетом тренка в зоне контакта Рассмотрим двумерное граничное ИУ теории упругости и запишем его, раскрыв по индексам: С (Р) и„(Р) + ~ Т„„(Р, Е и„((~) а]» + Сд«(Р) и«(Р) + + 1 Т„(Р, а)и,(9)Ж = 1(7„„(Р, 9)(,((;1)((с+ + ~(7.,(Р, Е)(,(Е) (3; С,. (Р) и„(Р) + ~ Т,„(Р, ()) и„((~) + С„(Р) и, (Р) -]- — ']Т,(Р. (])"(Ебз=) (7..(Р, ())7.(аб + 3 с +,](7„(Р, Е(,(Е з, с (111.76) (П!.77) С„„(Р) и„(Р) + ~ Т„„( Р, Я) и„Я) а(з + С„(Р) и, (Р) + +7)Т (Р, (]).,(())б =~[(l..(Р, ЮЮ$(7" (Р.
ОН(.%)п ° (1П.80) 5 6» где и и т — направление нормали и касательной в точке. Как известно, специфика контактной задачи заключается в характерной для нее нелинейности, связанной с априорной неизвестностью площадок контакта н усилий, действующих по ннм.
Дополнительную трудность вносит наличие трения, так как очевидно, что для его учета необходимо рассмотреть проскальзывание, т. е. несовместное движение контактирующих поверхностей. В рамках обычных численных подходов это вызывает огромные трудности. Необходимо принимать во внимание также тот факт, что у границ зон взаимодействия градиенты контактных напряжений, как правило, больше. Поэтому применение МГЭ, который основывается на использовании ИУ, связывающего естественные граничные условия, для решения контактных задач с трением является обоснованным. Для определения неизвестных заранее зон отрыва, проскальзывания н сцеплення в МГЭ так же, как н в других численных методах, применяют итерационные процедуры. На первом этапе решения контактной задачи предполагается полное сцепление по всей предполагаемой области контакта.
В результате решения (П1.76) и (111.77) получаем значения граничных усилий („и (, в некоторых заранее выбранных точках Р границы 8. Далее проверяем для каждой точки контактной области выполнение условия ](, ] ( — („7, (111.78) Если оно выполняется, то в данных точках действительно соблюдается условие полного сцепления В случае нарушения этого условия имеем проскальзывание. Тогда в точках, где не соблюдается условие (111.78), принимаем (Ш.79) и считаем, что смещение и, неизвестно. Уравнення (П!.76) н (Ш.77) преобразуются для точек зоны контакта, где допускаем проскальзывание, к виду С„,(Р)и„(Р) + ~ Т«(Р, Д)и„(())сЬ+ С„(Р)и (Р)+ + ) Т„(Р, Я) и,(»~) сЬ = ~ [(7~„(Р, Я) ~ Я«(Р, (г)]г„ф) Ж. (1П 8!) В уравнениях (П1.80) и (П!.81) неизвестными для зоны контакта а проскальзыванием будут и„1„н и„.
Далее решение повторяется, проверяется условие (1П.78) и процедура повторяется вновь, если это необходимо. Таким образом, зоны отрыва, контактнрования и проскальзывания определяются с точностью до граничного элемента. В случае, когда контактируют два и более упругих тела, считаем, что сила трения приложена к обоим телам поровну, т. е. (П1.82) ]г, ! = — 1„!'/2. г„= Ф,„и„+ й„ин Ь = й,„и«+ й„и,. (П!.83) Подставив выражение (П1.83) в (! П.76) н (П!.77), получим С„„(Р) и„(Р) + Г»\[Т„„(Р, 9) — й„„(7„„(Р, !«) — й,„(7 (Р, Я)] и„((г)»(з -»- + С„,(Р)и, (Р) + ~ [Т„,(Р, Я) — Й„У„„(Р, ()) — й 0„(Р, »Э)! Х х и,Я)«Ь= 0; (11!.84) С,„(Р) и„(Р)+ г) [Т,„(Р, Š— й„„и,„(Р, ()) — й,„(7„(Р а .(а Ь-[- + С„(Р) и, (Р) + [ ~ [Т, (р ()) й„,у,„(Р, ()) й„С/„(Р, Я)]и,Я)гЬ= О. в4 П е ложенный алгоритм итерационного нахождения зоны контакта успешно применяется при решении задач МКЭ [82], Существенным отличием и преимуществом использования его в МГЭ является тот факт, что в МКЭ введение условия (П1.79) осуществляется по значениям, полученным на предыдущем шаге, в то время как для МГЭ условье (П1.79) вводится на аналитическом уровне для данного шага итерации [163].
Достаточно цасто в приложениях встречаются граничные условия, моделирующие упругое опирание. Их учет в рамках МГЭ не вызывает больших затруднений. Пусть условия упругого опирания описываются законом следующего вида: Уравнение (П! .84) относится к участкам границы, где задано упругое опирание. Формируя систему уравнений в соответствии с обычным алгоритмом МГЭ, находим неизвестные перемещения точек границы, где задано упругое опирание. Далее с помощью выражений (П1.83) определяем усилия. 40. Использование методов граничных элементов с снмметрнчнымн матрицами [А]»и! = [С]»Г! + (Ь[, (1П.85) где»и) и»г] — соответственно вектор узловых перемещений и усилий; »Ь] — вектор, учитывающий воздействие объемных сил; матрицы !А] и [С] получаются интегрированием фундаментального решения совместно с функциями формы, описывающими распределение граничных неизвестных. Уравнение (П!.85) можно представить в виде [С] ' ([А]»и! — »Ь!) = »«!.
(! П.86) Исходя из соотношений обобщенного метода невязкн (30], можно полагать, что всегда существует некоторая матрица распределения (А'], такая, что узловые значения сил, соответствующие поверхностным воздействиям»1] на границе, даются выражением [Р! = ~ [А ]' »г! сЬ или [Р1 = [Аг! (г!. (1И 87) Умножив левую и правую части уравнения (П!.86) на матрицу распределения (! П.88) [Ф! [С! ' (]А!»и] — »Ь)) = [А'!»г), нли введя обозначения [К]=»Ж][С]-'[А]; (Р! =[Аг](г]; (В] =[У][С]-'»Ь), Описанный выше алгоритм прямого МГЭ приводит к несимметричн.й полнозаполненной матрице СЛАУ.
Естественно, возникает вопрос о возможности модификации системы уравнений МГЭ, приводящей к симметричной матрице СЛАУ. Способов построения уравнений МГЭ с симметричными матрицами в настоящее время существует достаточно. Подробно они рассмотрены в работах [19, 29]. Их можно в основном классифицировать на три вида: приведение матрицы к симметричному виду с помощью оценки «погрешности» недиагональных членов; переход от точечной схемы к вариационной, основанной на минимизации функционала энергии, и рассмотрение парных интегральных уравнений.
Граничное интегральное уравнение (П1.10) можно представить в матричной форме окончательно запишем [К! [и] = [Р]+ [х»!. (И! 89) ьч = [("ч — Л») + (д — дяН +) ич(В. ~)Ь,(~)дш (И! 92) Матрица [К], входящая в выражение (И1.89), является несимметричной вследствие использования фундаментального решения, Для симметризацин либо используют энергетические подходы, либо идут путем отбрасывания несимметричной части введением среднего арифметического самой матрицы и транспоннрованной к ней [29]: [К»! = ([К]+ [К! )/2 (И[ 90) Как указано в работе [29], применение теоремы взаимности для доказательства симметричности конечной матрицы [К,) является некорректным. Один из способов приведения матрицы к симметричному виду состоит в оценке «погрешности» недиагональных членов матрицй [29]. Согласно этому способу погрешность произвольного члена йп может быть представлена в виде Минимизируя квадрат функции погрешности з„по й„, приходим к уравнению, из которого получаем новые коэффициенты: йч — — (йо + я„)12.
(И! 91) »Применение энергетического подхода к симметризации матрицы МГЭ подробно изложено в работе [19]. Заметим, что в работе [29] указана ошибочность такого подхода, так как там используются энергетические принципы, основанные на рассмотрении симметрии, но распространение их иа интегральные операторы не является обоснованным. Иной подход к снмметризации матрицы в МГЭ основан на парных ИУ [2!6!. Прямая формулировка МГЭ может быгь записана в виде интегрального соотношения Со (Ц»0 ($) + ) Т„($, Ч) и» (т!) «Ь = ) Еl „($, Ч) Е, (Ч) Нз + Парное к нему ИУ [216! получается при формальном использовании оператора напряжений Г ($) к перемещениям, определяемым выражением (И1 92): С» (к)Г(к)и,(к)+ ~[Г(й)то[й, )] (»1)»(з= = ~[ГФ(~ой, Ч)]Г,(Ч)з[з+) [Г(8)и„(й, О]Ь,(р о, (ГИ98) 3 где й («) * Г © и, ($). После преобразований и подстановки фундаментального решения получим интегральное соотношение вида Сои) Г(и и» %) = у П»» («ь Ч)Г»(Ч) Дав ~ '»»ы Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
