Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 21
Текст из файла (страница 21)
67 д. Леев = — + —, (Ли'и, + Ли'ие); Ли ! даив 2Л7 в=в дг ддие д'ин дг -1- Ли,— дг ие — — + — и Лп д'); дви, — 'ин —— дг ПЧ.Е) эй точки в состояниях о, пг и п, соответственно. Цилиндрические координаты 7, г и 0 являются ее лагранжевыми, «вмороженными» координатами; "и, (а = = 1, 2; г = 1, 2, 3) — компоненты полного смещения соответственно в конфигурациях о, и о,. Используя определение Лагранжа, запишем тензор деформации С= ' (С вЂ” Е), (1Ч,4) где а = 1, 2 и означает принад- лежность конфигурации о„; в 'С вЂ” теизор меры деформации Коши — Грина; Š— единичный (метрический) тензор.
Тензоры С и Е выражены с помощью взаимного базиса конфигурации о: причем "С,» = 'Е, Е, представляют собой ковариантные компоненты тензора меры деформации Коши — Грина; Е, — основной базис конфигурации о . Очевидно, тензор приращения деформаций между состояниями о, и о, определяется разностью тензоров меры деформации Коши— Грина в этих состояниях и состоит из линейной н нелинейной частей относительного вектора приращения смещений Ли = 'и — 'и.
Опуская несложные преобразования и учитывая осесимметричность рассматриваемой задачи, выпишем значения физических компонент линейной и нелинейной частей тензора приращения деформаций. Линейные части даиг дьи, дги, дди, Уиг 1 даин д'ин Ле„= — *+ — ' — '+ — ' — '+ — —; дг дг дг дг дг дг дг ддив ! / даие д'и 2Лен= + — (»и, +Ли,—— дг Г ' дг д7 даи, дги, ! — ие — — Лин — ); дг дг дЛи„дди д'иг даи, д ие 2Ле„= —" + — *+ — ' — '+— дг дг дг дг дг д»иг дЛи, дЛи, дги, ддив д'ие + — * — *+ ' — '+ дг дг дг дг дг дг + 2ЛП77=( д, ) +( д, ) +( д, ) 2Л»)!м = — (Лпг + Ли'); ! 2Ль.=( д ) +('дие) +( ..) .
! / ддие дЛи, 2ЛЧю = — (Ли д. Лин д, ); ! / дЛин дди, 2Л71»е = — (Ли, — — Лив — ); 7 д7 дг ! / дЛи, даи, дЛин ддин дди дди дг дг ' дг дг дг дг ! где 'ие и Лие — компоненты перемещений, измеренные в направлении„ определяемом базисным вектором г„в отличие от углового смещения ие. Для нахождения НДС в конце шага используем вариационное уравнение Лагранжа в приращениях. Все параметры начала шага считаются известными. Запишем выражение вариационного принципа влинеаризованной форме (381: Д (Лпг/ЬЛеп + го!/ЬЛ«П; — ЛР»ЬЛи,) 77/5 — ~ ЛР ЬЛи»77// + 57 + Ц (»ооЬЛеп — 'Р'ЬЛит) МŠ— ) 'Р»ЬЛи»77И = О, (1Ч,8). где Зв и /.и — площадь и граница меридионального сечения тела в исходном состоянии о; »от!, Лпт! — компоненты полного тензора и компоненты тензора приращений Пиола, взятые в направлениях сдеформированных координат, но отнесенные к размерам объемного элемента до деформации; 'Рг и ЛР' — компоненты объемной нагрузки в конфигурации о, н компоненты приращении этой нагрузки на шаге, также выраженные с помощью координат исходного о-состояния; 'Р и ЛР— 7 компоненты поверхностной нагрузки в конфигурации о, и компоненты приращения этой нагрузки на шаге.
з -1- — ~ — — — !( о — о ), 2'щ~Е» »8~ В ! (1Ч.!2) Лее ! Лет ! Лер ! Лес (1Ч.9) 99 7 д" дддд В программе реализовано несколько видов поверхностной и объемной нагрузки в отношении задания их компонент и в зависимости от их природы. Поверхностная нагрузка может быть задана в виде компонент, направленных по оси г и г, и в местной системе координат т» и ч по нормали и касательной к сдеформированной поверхности. Причем в последнем случае она учитывает изменение размеров поверхности при деформации. Такой следящей нагрузкой может быть давление. В качестве объемных нагрузок учитываются центробежные силы от вращения конструкции вокруг своей оси и инерционные силы, вызванные осевым ускорением.
Это могут быть силы веса в случае вертикального расположения оси конструкции. Предусмотрено задание и так называемых мертвых нагрузок, не меняющих своих величин и направлений в пространстве. В случае особых видов нагружений конструкции, не предусмотренных в программе, эти нагрузки могут быть реализованы с помощью специально составленной подпрограммы, которая можег быть подсоединена к программному комплексу. Сумма двух последних интегралов, в предположении о том, что НДС начала шага является равновесным, в точном математическом смысле равна нолю. Однако сохранение этих членов в соотношениях (!Ч.8) не только не приводит к нарушению равновесия в данном выражении, а наоборот, позволяет учесть это отклонение от равновесия, которое всегда имеет место в силу линеаризации исходной задачи н использования численного метода ее решения (219).
Физические соотношения, устанавливающие связь между компонентами тензора приращений деформаций Лагранжа и компонентами тензора приращений напряжений Пиола, выводятся в предположении о возможности представления тензора приращений деформаций в виде суммы упругой, температурной, пластической и ползучей компонент: Приращения упругих деформаций можно определить, воспользовавшись законом Гука Леп = 'Ап» Ло» + ЛАп»»о»'", (1Ч. 10) где »А»! — тензор упругой податливости материала при температуре 'Т; ЛАВ» = 'Ап» вЂ” 'Апь , ''Ац» — тензор упругой податливости материала при температуре 'Т; 'Т, 'Т вЂ” температуры в начале и в конце шага приращения. Выражения для компонент тензора упругой податливости через технические постоянные материала представлены формуламн (11.8).
Для нзотропного материала е(! — ч) А Еч (! -1- ч! (! — 2ч) ' ттп (! -1- ч) (! — 2ч) Е А»В! З(!+ ) ! А»та Ацьр= 0! »чь!! йчьтт»! Е Е(Т); ч =ч(Т). Приращения температурных деформаций определяются соотноше- ниями Лет = да»»Т вЂ” »а',Т; Лет = О. (!ЧА!) где "а, — коэффициент линейного температурного расширения при температуре "Т, а = 1, 2. Выражения для вычисления приращений компонент тензора пластической деформации Ле»0 зависят от используемой теории пластичности. Для изотропного материала при использовании теории типа течения с изотропным упрочнением приращения компонент пластической деформации могут быть вычислены по формуле (204! где 'Š— модуль Юнга при температуре конца шага 'Т; Š— касательный модуль, определяемый по диаграмме деформирования материала при температуре 'Т; 50 — девиаторная часть тензора напряжений, 5о = оо — опб;;/3; б„— символы Кроннекера; 'о; — интен- 2 сивность напряжений в начале шага; од» вЂ” — — 5п5;;; 'о, — предел текучести, соответствующий началу шага.
Эта теория пластичности удовлетворительно описывает поведение материала при умеренных деформациях в случае активного нагружения и упругой разгрузки. В случае возникновения повторных пластических деформаций обратного знака после разгрузки лучше использовать теорию пластичности с трансляционным или комбинированным упрочнением !83, 911 либо учитывающую вид траектории деформирования П73, 220). Если рассматривается циклическое деформирование при малых пластических деформациях, можно воспользоваться уравнениями состояния, предложенными в работе !138).
Использование других уравнений состояния потребует незначительных изменений в программном обеспечении. Приращение компонент деформаций ползучести в программе осу* ществляется по теории ползучести, учитывающей начальную и деформационную анизотропию, а также разноползучесть материала, подробно изложенную в параграфе 4 настоящей главы. С учетом соотношений (1Ч.10) — (1Ч.12) и определяющих приращения деформаций ползучести приведе!~ выражение (1Ч.9) к виду Леп = Вп» Лоы'+ Сп. (!ЧА3) Решая уравнение (!Ч.(3) относительно Ло», получаем Ло" = В"» Ле» -1- С".
(1Ч.! 4) Подставляя выражение (!Ч.!4) в уравнение ((Ч.8) с учетом зависимостей деформаций от перемещений (!Ч.б), (1Ч.7) и применяя обычную процедуру МКЭ П501, приходим к системе алгебраических уравнений А»биу Ьо 1 1,2,...,У, (1Ч. !5) где )Ч вЂ” число узловых параметров задачи. Решая систему алгебраических уравнений (!Ч.!5), получаем значение вектора приращений смещений «зи, на шаге по времени или нагрузке.
Формирование системы осуществляется в порядке обхода конечных элементов, численное интегрирование по каждому из которых на итерации с использованием двухточечных квадратур Гаусса осуществляется один раз. Причем количество перемещений в каждом узле может быть равно двум или трем в зависимости от исходной информации задачи. По мере накопления части матрицы А» с учетом ее структуры в отведенную порцию оперативной памяти ЭВМ осуществляется прямой ход по методу квадратного корня и затем записывается во внешнюю память. Такой порядок решения системы экономит число обменов с внешней памятью, Ширина ленты матрицы коэффициентов может изменяться от строки к строке.
Результирующее решение получается накоплением Ьи» Ла», ЛеГ, Ье,'; от шага к шагу. Перемещения вычисляются в узлах конечных элементов, а деформации и напряжения— в центрах конечных элементов, где они имеют наибольшую точность 1531. Вначале зона контакта назначается по всей предполагаемой зоне либо тела принимаются свободными от контактирования.
Материал всей конструкции предполагается упругим. После каждой итерации производится анализ возникновения пластических деформаций и меры упрочнения материала и разгрузки, а также условий контактных взаимодействий в предполагаемой зоне контактирования. Если по всей предполагаемой зоне контактирования происходит взаимодействие тел, то в случае гладких поверхностей имеется вероятность, что контактное взаимодействие выходит за рамки предполагаемой зоны контакта и ее следует расширить. Это легко усганавливается из анализа условия непроникания (1!.2) взаимодействующих тел за пределами зоны контакта. Другим признаком выхода зоны контакта за рамки предполагаемой может служить резкое возрастание контактных давлений при подходе к границе контактной зоны. Назначать предполагаемую зону контакта слишком большой также нецелесообразно. В случае превышения напряжениями предела текучести материала фиксируется возникновение пластической зоны в этом элементе, что требует численного обращения матрицы В»ь в выражении (1Ч.13) и вычисления касательного модуля из диаграммы деформнрования материала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
