Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В случае наличия слева и справа граничных условий в перемещениях использование уравнений (1П.55) невозможно, поэтому требуется еще одно дополнительное уравнение. Его можно получить из рассмотрения условия непрерывности деформаций. Учитывая обозначения, приведенные на рис.
19, первый ииварианттензора деформаций имеет вид (Ш.58) Компоненты деформаций е„",к„ек, находятся из характера изменения перемещений вдоль сегментов слева и справа соответственно. Учитывая линейное изменение вектора перемещений, можно записать справа и слева и, = и„(Я) + [и,(А) — и„(Я)[(х, — х,)/1,; иу = иу(Я) + [иу(А) — ир(Я)[(х, — х,)/1,; ик = ик((г) + [и,(В) — и, Я)[(х, — х,)/1,; иу «и у„Я) + [иу(В) — ир («/)[(х, — хи)/1п. Компоненты перемещений вдоль осей х„х„у„у, ил или[или.илипл или и рк к, «и рк! ип =или+ил' и' =ип'+ип'. — к» уу р, к „у.-.
° Тиблипй 2 Ковтаитвое давление под пвтаипов, Мпа Коордииаты Решевие О.отв 0,200 0,400 О,ЕВ О,ВВ 0,000 В работе 1451 2,328 1,904 2,320 1,9!О 2,3!8 1,909 2,322 1,917 2,319 1,916 2,345 2,657 4,292 1,979 2,305 3,853 2,351 2,620 4,254 1,980 2,269 3,800 2,357 2,644 4,405 1,982 2,286 д,960 2,358 2,574 4,378 1,992 2,281 3,923 2,358 2,640 4,409 1,997 2,297 3,957 2,323 1,917 2,315 1,921 2,314 1,912 2,318 1,929 2,3!7 1,930 2,335 11,900 2,321 1,90! 0,316 1,0 2,329 1,917 2,325 1,918 МГЭ-1 МГЭ-2 МГЭ-3 75 Выражения для компонент деформаций е„...
и е"..., ь",, = (и, Я) — и,(А)1 и"„//, +(и„(А) — ир(!4)1 и,"/!;1 е' = (и (В) — иа (Я)1 п /!, — (и„(В) — ир(6)1 ил//в. Усилия справа и слева п и и и п /р, =/аи„+ /„п„= о„,„„. л л л л л /м = /,п„+ /„л„= о„,„,. С другой стороны, из закона Гука следует о„,„, = (а.+ 6) еп -1- (а — 6) еп о„„= (а -1- 6) е" + (а — 6) ел где а = Х + 6 для плоской деформации; а = б (3)а + 26)/(26 + Х)— для плосконапряженного состояния. Тогда /,л, + /„л„= (а — 6) е„"...
+ (а + 6) е„,„,; /лиа' + /иаир = (а — 6) ь'„„,, + (а + 6) е'„,„,, Учитывая зависимость (1П.58), получаем = — 26(ив (6) (л'/!в + ли/!а) иа(В) ил//в и, (А) п~/в + + ир (В) пл//а ир Я) (л',//в + и'/!а) + и„(А) ип/!,1 (П1.59) Использование уравнения (1Н.59) может быть сопряжено с большой погрешностью прн наличии высокого градиента перемещений. Это связано с вычислением деформаций через конечные разности. Такая погрешность снижается с уменьшением сегмента.
В зависимости от граничных условий введение в систему граничнь;х ИУ двух уравнений (П!.55), (Ш.57) или (П1.57), (П1.59) позволяет учесть любую разрывность вектора напряжений в угловой точке. й. Решение задач о внедрении штампов в упругий слой Как известно, возможности того или иного численного метода выясняются иа основе сравнения результатов его применения и решений, полученных аналитическими либо другими уже апробированными методами. Сравнение точности и эффективности проводится на ряде контрольных задач. С этой целью рассмотрим решение задач 1 и П для случая плоской деформации при внедрении плоского штампа)1на глубину 6 и значении параметра относительной толщины полосы Х = = й/а = ! (см.
главу П). Поставленная задача решалась МГЭ с использованием трех видов аппроксимации неизвестных граничных усилий и перемещений в пределах граничного элемента. Они обозначены следующим образом: усилия и перемещения постоянны в пределах ГЭ (МГЭ-1); усилия и пе- П р в и е ч а в и е. Над чертой приведеиы данные длв отличи 1, под чертой — длв вадачв П.
ремещения лннейны (МГЭ-2); усилия постоянны, а перемещения линейны (МГЭ-З). Сравнение решения, приведенного в работе 1451, и результатов, полученных МКЭ [!571 с различными вариантами МГЭ, для контактного давления под штампом приведено в табл. 2. В табл. 3 приведены значения давления для осесимметрнчной задачи о внедрении круглого в плане штампа с плоским основанием в полосу. Геометрические характеристики и граничные условия аналогичны задаче о плоской деформации. При решении задач принималось: 6 = 0,0!а; а = 1 см, р = 0,3; 6 =- 7 МПа. В постановке, приведенной в главе П, решена задача о внедрении гладкого параболического штампа.
Результаты расчетов контактного давления под штампом для плоской и осесимметричной задачи представлены соответственно в табл. 4. В задачах о внедрении параболического штампа, как в большинстве контактных задач, зона контакта заранее не известна и находится итерационным путем в процессе решения задачи. При этом на каждом шаге (итерации) решается задача с фиксированной заранее зоной контактироаания и условиями взаимодействия на ней.
Лля более точного отыскания площадки (зоны) контакта может быть использован следующий прием. Вначале задача решается приближенно, с достаточно равномерной дискретизацией предполагаемой зоны контакта на граничные (нли конечные) элементы. После того как площадка взаимодействия найдена с точностью до элемента, производится новая дискретизация с учетом имеющегося решения и повторный уточненный расчет. Зона контактирования и распределение контактного давления уточняются. Таблнца 3 Кентвнтнпе двввенне под штампом, Мпв Кпардннвты Решение 0,079 0,900 0,40. О,ООО 0,900 0.9ЬО 0,99з М1чЭ П р н м е ч е н н е.
Нвд чертей прнведены денные двн ввдвчн 1, ппд чертой — двн звдвчн П. Таблица 4 В работе 1451 2,184 1,812 2,190 1,790 МГЭ 2,194 1,802 2,185 1,819 2,190 1,800 2,190 1,808 2,204 1,845 2,200 1,830 2,207 1,840 1,961 2,270 1,930 2,282 1,942 2,643 4,432 12,!! 2,340 4,054 12,25 2,620 4,430 14,'73 2,290 4,020 13,46 2,638 4,600 17, П '2.3!7 4,169 15„52 Анализ значений, приведенных в табл. 2 — 4, позволяет сделать вывод о высокой точности МГЭ для любой из представленных типов аппроксимации неизвестной граничной величины. Необходимо заметить, что во всех приведенных задачах дискретизация на ГЭ и их количество под штампом совпадало с дискретизацией и числом конечных элементов, представленными в работе (137Е При таком подходе затраты на решение в любом варианте МГЭ значительно меньше, чем при решении МКЭ.
Так, для задачи о внедрении плоского штампа в слой дискретизация в МГЭ проводилась с использованием 41 узла (12 под штампом), тогда как сетка конечных элементов содержит 377 узлов. Анализируя результаты табл. 3„4 можно сделать вывод, что в задаче плоской деформации, как и в осесимметричном случае, МГЭ показывает большую точность и работоспособность в зонах высоких градиентов напряжений (в конечных точках штампов, где решение теории упругости стремится в бесконечность) даже при использовании вариантов метода. Следует отметить, что замена полубесконечных областей в приведенных задачах конечными проведена лишь с целью корректного сравнения с МКЭ.
МГЭ позволяет легко решать задачи с бесконечно удаленными границами, аэто является его преимуществом по сравнению с другими методами. Среди представленных вариантов МГЭ наиболее естествен по физическому смыслу вариант МГЭ-3. Кроме того, ои позволяет проводить стыковку отдельных сегментов без использования специальных процедур (только по перемещениям), обладает простотой машинной реализации, не уступает остальным вариантам в точности и эффективности. Для плоской задачи В работе 1451 МКЭ МГЭ-1 МГЭ-2 МГЭ-3 Лля осеснмметрнчной задачи В работе [451 3,296 3,605 3,324 3,008 1,935 1.810 2,609 2,433 0,997 0,934 3,000 3,299 3,036 3,020 З,П9 3,024 2,410 1,585 2,410 .
1,780 1,892 1,765 0,898 0,980 0,886 П р в м е ч в н н е. Нвд чертей прнведены денные двн ввдвчн 1, ппд чертей — дан вв двчв 1! 3,208м 2,866 3,190 2,860 3,258 2,930 3,226 2,881 3,178 2,850 3,135 2,879 2,806 2,592 3,130 2,870 2,810 2,590 3,188 2,909 2,888 2,622 3,133 '2,883 2;819 — Хи32 3,146 2,877 2,831 2,598 3,0! 2 2,804 2,790 3,024 2,796 2,442 2,218 2,440 2,210 2,460 2,219 2,449 2,224 2,441 2,218 1,766 1,622 1,764 1,604 1,758 1,577 1,775 1,630 1,752 1,597 0,893 0,827 0,867 0,759 0,828 0,704 0,890 0,778 0,863 0,756 7. Решение задач контактного взаимодействия методом граничных элементов Рассмотрим систему взаимодействующих тел р' (лт == 1, 2, ...), каждое из которых ограничено поверхностью 3 . Будем называть каждое из тел подобластью, а их совокупность — областью.
Считаем подобласть упругой, однородной с характеристиками Е, р . В любом случае область (7, занимаемая контактирующими телами, представима как объединение подобластей в системе декартовых координат. НДС полагается осесиммегричным либо плоским и описывается соответствующими дифференциальными уравнениями.
Будем считать, что граница области Я включает совокупность участков контура й'.О, а также границы взаимодействующих подобластей Ь„, которые рассматриваются в качестве предполагаемых зон ко нтакта. На контуре с.е предполагаются известными компоненты перемещений или напряжений либо формулируются смешанные граничные условия. Кроме поверхностной нагрузки рассматриваемая конструкция в общем случае может быть подвержена воздействию объемных сил (например, центробежных сил от вращения) н температурного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
