Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 12
Текст из файла (страница 12)
МКЭ, и зачастую экономия времени при решении системы линейных уравнений отсутствует. Можно с уверенностью утверждать, что на настоящий момент явное преимущество МГЭ перед МКЭ будет иметь в задачах теории упругости для бесконечных и полубесконечных областей. Поскольку МГЭ еще сравнительно мало изучен, есть надежда, что у него имеются резервы по дальнейшему снижению вычислительной трудоемкости.
По своей сути граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, которая приводит к точному решению. Погрешность окончательного решения определяется погрешностью решения интегрального уравнения на границе, что в общем эквивалентно внесению погрешностей в граничные условия. Сравнивая МГЭ с другими методами, можно сказать, что потенциально он более точен, чем, например, МКЭ. Это объясняется тем, что в МГЭ используется аналитическое решение, которое справедливо всюду в области, а в МКЭ аппроксимации производятся в каждой отдельной подобласги.
Однако неясно, как связаны погрешности внутри области с погрешностями на границе прн реализации МГЭ. Как правило, большинство численных методов, в частности МКЭ, обладает сходимостью в среднем — по энергетической норме. При этом ожидается, что разыскиваемые интегральные характеристики будут сходиться к точным, если приближение сходится к точному в среднем. Методы, связанные с приведением краевой задачи к эквивалентной системе ИУ, обеспечивают сходимость к точному решению в раномерной метрике. Причем некоторые виды ИУ могут быть решены итерационным путем в рамках метода последовательных приближений. С точки зрения некоторых исследователей это обстоятельство можно считать более важным преимуществом, чем снижение на единицу размерности задачи (2021. Для решения полученного эквивалентного граничного интегрального уравнения используются, как правило, два основных метода решения — метод механических квадратур и метод последовательных приближений. В теории интегральных уравнений для случая одномерных уравнений доказано, что приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма (не расположенных на спектре), получаемое методом механических квадратур, сходится к точному решению при уменьшении размеров элементарных областей (!521.
Вопрос о сходнмости метода механических квадратур для сингулярных уравнений в двух измерениях остается открытым, в то врсмя как сходнмость последовательных приближений для уравнений теории упругости доназана. Наконец, многие исследователи и инженеры с трудом воспринимают МГЭ из-за сложностей используемого математического аппарата. Однако усложнение классов решаемых задач, связанное с увеличением мерности, рассмотрением тел сложной формы, составных объектов, а также усложнение условий взаимодействия на соприкасающихся гра- ап ницах выдвигают проблемы, практически неразрешимые другими методами, в то время как МГЭ со свойственными ему преимуществами и недостатками является, по-видимому, наиболее перспективным, а в ряде случаен единственным средством, гарантирующим успех.
К основным преимушествам МГЭ можно отнести следующие: — уменьшение на единицу геометрической размерности задачи и вытекающее как следствие уменьшение в ряде случаев объема вычислений, упрощение дискретизации рассматриваемых объектов и сокращение времени на подготовку исходной информации; — простота решений для задач с границей на бесконечности; — возможность вычисления величин различного характера с одинаковой степенью точности, что особенно важно при решении задач с высокими градиентамн; — быстрое определение неизвестных величин на границе и вычисление значения искомых величин в любой внутренней точке области, не прибегая к аппроксимациям.
Следует отметить, что разумным в направлении развития обоих методов, по всей видимости, является не противопоставление их друг другу, а оптимальное использование достоинств каждого нз них. 1. Основное интегральное соотношение. Фундаментальное решение Рассмотрим НДС произвольного трехмерного тела У, ограниченного поверхностью 5. Для описания геометрии будем использовать общую декартову систему координат х„х„х, илн цилиндрические координаты г, О, г. В каждой точке 9 поверхности 5 зафиксируем единичную внешнюю нормаль п (и,, и„и,). Пусть материал тела У нзотропный и линейно деформиуемый с коэффициентом Пуассона т н модулем упругости Е. В общем случае объект подвержен воздействию массовых сил В,, поверхностных нагрузок й н температурного поля Т.
Напряженно-деформированное состояние тела У характеризуется полем перемещений ио относительными деформацнямн и внутренними напряжениями оц ((, ) = 1, 2, 3). Состояние тела описывается системой трех уравнений эллиптического типа в частных производных второго порядка (уравнение Ламе), представляемых в виде (651 бби, + бl(! — 2т) и; „+ В, = О, (111. 1) где 6 = Е (2 (1 + т)1 '; Л вЂ” оператор Лапласа; здесь и далее запятая означает дифференцирование по повторяющему индексу суммирования В обшем случае закрепление и нагруженне поверхности 5 = 5„ + + Я, характеризуется смешанными граничными условиями.
На части границы 5„ заданы кн~ематкческне условия и~ (Я) = и, Й), О Е 5„, (1!В2) где и, (Я) — известные функции, представляющие распределение перемещений на границе. На части 3, выполняются статические граничные условия /,(Е= »(Е),(Е(;=/ьЮ (1П.З) Как известно, исходное дифференциальное уравнение теории упругости (П1.1) можно заменить интегральным тождеством, сформулированным на основе теоремы взаимности Бетти (651 и носящим в литературе название тождества Сомилиано И471: и, (р) + ~ Т» (р, (~) и! Щ дз = ~ У» (р, Я) /; (9) дз + + ) У» (р, ф Ь! (9) ь/о (ь, / = 1, 2, 3), (П1.
4) У» = — (бь;(3 — 4ъ)!и /7 — ГгиГг,/1 ! Т»= — 4 ! Я,„(6»(1 — 2т) +2К Я!1+ + (1 — 2т) Я !и! — /7ип!)). (П1.5) В случае плосконапряженного состояния следует сделать замену т на м/(1 + о). Лля решения пространственных задач используется фун- даментальное решение вида (301 У»-, „, „, Кз — 4ч)6„+/7и /7л)! ! тц- — „„„, уь,.к1 — ь )ь„.~ьл,,ль— ! — (1 — 2т) Яип! — /с,/и',)).
(П1.6) где и, (р) — перемещения в некоторой внутренней точке р Е 0; и/ Я), /! Я), Ь! Щ) — перемещения, усилия и интенсивность распределения массовых сил в граничной точке !',1; У» (р, Я) — фундаментальное решение — решение Кельвина Н 471, представляющее собой перемещение, которое возникает в бесконечном теле в точке Я в направлении /' от действия единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке р в направлении ь; Т» (р, (/) — напряжения, соответствующие перемещениям У» (р, Я). Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области.
Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука. Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. Фундаментальное решение для плоской задачи теории упругости имеет вид 1301 Для тензора Т» проводятся аналогичные преобразования.
После подстановки выражения (!П.6) в (! П.7) для фундаментал решения в осесимметричном случае получим ! /3 — 4т ьь У вЂ” !0а!! — !(, л + я ) ! / ь — ььсоьв ) ь ' — !0 У ь / ьсоьв — гь! ! щ / )! У„= /(3 — 4т) + (г. + .ь) ! соьв ь соьв !0лб !! — с! Р !+ О! гго оь ! ! Гг(т,+ьо) соьв гль + ьоь с ь0! — г ь оь ггоп ) + ь оь ) + (1 — 2т)~(гл, — пь,) —, + — ~); 0 Т„= — „(, „, (3( — ', К,+ Ь)(гь+гг)+гоги,!— ! ! (соьв — гг,'"'+,'"* — г,— ", (г(ги„+ гпь)+ и,(гь+ гоь)+ ~ ьного (П1.8) В выражениях (П1.5) и (П1.6) /7 — расстояние между параметрической точкой р и текущей точкой границы ф, 6,! — символ Кронекера; /7,д = Я,!ль + /7,ьль + Й,ьпь.
В цилиндрической системе координат, когда поставленная задача удовлетворяет условиям симметрии (осесимметричная задача) и напряженное состояние не зависит от угла О, фундаментальное решение мо. жет быть получено преобразованием решения, соответствующего трехмерному случаю (111,6), к цилиндрической системе координат (841: У, = Уьь; У„= У соз8+ У„з!пО; ьг ьь ьь м (П1.7) У„= У„; У„= У,! соз О+ У,ь гйп О. + гггр, —, ~ + (! — 2т) ~ (гп, + гл,) —, + е05 8 '1 Г сезв г,,а — 2г,п, -~-йз — ~), где г„г, — координаты параметрической точки Р (принято, что 6, =- О); под г понимается величина г — г,.
Заметим, что Т. Круз, Д. Сноу и Р. Уилсон [239! для получения фундаментального решения в осесимметричном случае использовали векторное представление Галеркина действия сосредоточенной силы в цилиндрической системе координат. Таким образом, если нам известны значения перемещений и„ усилий 6 н интенсивности массовых сил Ь, по границе 5, то с помощью выражений (П!.5), (П1.6) или (П1,8) йз соотношения (1ПА) можно найти перемещения, а следовательно, деформации и напряжения в любой внутренней точке р Е К. Следуя Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
