Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 8
Текст из файла (страница 8)
~ [ ~Рьян(ч й) д«(ч, 1) дчьп(ч 51 дг (и, й) ~ дй д'- дч д»»~(Ч' »») (г д»ь»(Ч В дг(я. В д»»~'Ч' В д'(Ч, В (7 1 Применение двухузловой формулы интегрирования [90, 102[ для данного класса задач оправдано [70, 2721 существенным сокращением времени при сохранении достаточной точности по сравнению с аналогичными квадратурными формулами с большим числом узлов. При вычислении правых частей системы разрешающих уравнений интегрирование по границам элементов осуществляется по той же двухточечной квадратурной формуле Гаусса: для вертикальных сторон Ч = т]»(» = д, д + 1) топологической разбивки области на элементы Рфь«(г, 2) г«П = у РЯ>»щ [«(«(», $2), з(т(», $«)[ г(Ч» Б ) ((г»,»-',-1 — г»,») «=З (В.ЗП + (г, »+, — г,,)«]чч для горизонтальных сторон $ = $» (» = р, р + 1) Рф» (г, г)гг[7 = ~ Р«»ь[«(т)„$»), г(Ч2 $»)]г(тн «~)((г», +1 — г» ) + + (г,««1 г»,а) 1 и Значения узлов и весовых коэффициентов здесь те жс, что и в формуле (П.ЗО).
Соотношения (11.31) предполагают постоянство поверхностной нагрузки Р в пределах стороны конечного элемента. Если нагрузка задана в компонентах Р„, Р, местной системы координат,связанной со стороной элемента рд, в зависимостях (П.31) будут фигурировать соответствующие величины проекций сил или длин сторон конечного элемента на направления осей глобальной системы координат гог. Для решения системы линейных алгебраических уравнений в данной реализации используется метод квадратного корня. Составленный алгоритм позволяет оперировать с произвольной шириной симметричной полуленты матрицы и произвольным числом столбцов ее окаймления. При этом процесс решения системы на каждой А' — 1 итерации проходит параллельно с формированием матрицы [В„[~ для последующей итерации.
Прямой ход метода квадратного корня осуществляется после получения очередной порции в оперативной памяти, и лишь тогда происходит ее запись на внешние запоминающие устройства. Решение системы получается на месте формирования правых частей системы уравнений. Массив, где находятся правые части, имеет размерность [(1 + 1. Этот массив предназначен для получения правых частей й(-й итерации по результатам решения для У вЂ” 1-й итерации. С целью экономии оперативной памяти решение 2»' — 1-й итерации смещается в конец массива и по мере его использования очищается, а на свободном месте накапливаются правые части й(-й итерации.
Правые части, порожденные окаймлением, формируются при этом в отдельном массиве. Реализация описанного алгоритма позволила создать эффективную быстродействуюгцую программу «Ротор-К», составленную в кодах ЭВМ БЭСМ-б. В рамках стандартных ресурсов ЭВМ разработанное математическое обеспечение позволяет решать упругопластнческие контактные задачи для областей, содержащих до 1О 000 узлов сетки Рнс. 4 Р(г) = 2на 1 ае — ге (В.32) конечных элементов при ширине полуленты матрицы системы линейных алгебраических уравнений /.„= 50. Время решения линеаризованной задачи с такими параметрами составляет примерно 20 мин.
С уменьшением ширины полуленты порядок системы можно увеличить. Время решения задачи при этом уменьшится. Возможно и увеличении ширины полуленты (без существенных ограничений) при уменьшение порядка разрешающей системы уравнений. 5. Анализ контактного взаимодействия упругопластлчесилх тел с жесткимн штампами Задача о внедрении жесткого кольцевого штампа в упругопластическое полупространство является классическим примером смешанных задач механики деформнруемого твердого тела. Используя математический аппарат функций комплексной переменной, Л.
А. Галину [48! удалось получить в замкнутом виде точное выражение для контактного давления под штампом где а — радиус штампа; Р— суммарное усилие, действующее иа штамп. Рассматриваемая задача решена в осесимметричной постановке в предположении идеального контакта без трения на границе штампа с полупространством. Основание штампа являлось плоским, а глубина внедрения определялась уравнением /(г) = 6'. Штамп вдавливался в упругое тело без наклона при условии равенства нулю главного момента сил относительно начала координат (рис. 3): а ч М„= ~ Р (г) гс[г = — ~ о„[, е ге(г = О.
(11. 33) -а — ч Граничные условия задачи г7 ИМЕЛИ СЛЕДуЮЩИй ВИД: г о,е = 0 при 0<г/а<ос; 5 и, = йн при О ( г/а ( 1; и =0 при 1(г/а(~ос. Вследствие осевой симметрии и,=О, 0„=0 при г/а=О. 4 При решении данной задачи МКЭ полубесконечная областьЮ аппроксимировалась областью конечных размеров Ю' (О ( г/а ( ( 300, О (г/а ~ (150), на границе которой формулировались ус- Х ловия опирания г/а и, = О,о„= 0 при г/а = 150; Рис. 3 и, = О, о„= 0 при г/а = 300. Влияние бесконечной протяженности полупространства в данном с ~учае можно полностью исключить, сформулировав граничные условия на некотором расстоянии от штампа с использованием точного решения Буссинеска [206] Такой прием использован в работе [421. Однако в данном случае и в дальнейшем ставилась цель получить удовлетворигельиые по точности результаты без каких-либо уточнений расчетной схемы, опираясь исключительно на возможности и средства М КЭ.
Меридиональное сечение рассматриваемой области разбивалось на конечные элементы со сгущением узлов к границе действия штампа. Общее число узлов сетки составило 1230, в том числе на отрезке контакта — 15. Для данной н последующих задач о штампах модуль упругости принимался равным !8,2 МПа, а коэффициент Пуассона — 0,3. Ниже приведены результаты сравнения контактных давлений, полученных в центрах контактных конечных элементов, с точным решением (П.32): с1о 0,083 0,250 0,417 0,580 0,725 0,838 0,914 0,960 0,99 Точное решение 1,00 1,03 1,1О 1,230 1,452 1,835 2,458 3,571 7,089 МКЭ 1,ОО 1,03 1,!О 1,230 1,446 1,847 2,398 3,509 7,969 % погрешности — — — — 0,4 0,6 2,4 1,7 12,4 Сопоставление значений напряжений показывает, что значительная погрешность наблюдается только в ближайшем элементе, примыкающем к особой точке.
В этом районе НДС имеет довольно сложный характер и не может быть удовлетворительно аппроксимировано билинейными координатными функциями конечного элемента. Однако уже в следующих элементах решение существенно уточняется. На'рпс. 4 слева от осн г/а показаны линии равного уровня интен2на сивности напряжений о, — „, справа от осн г/а — линии равно- 3 33 Р Щ,а' Зависимость усилия, действующего на штамп, от величины его внедрения показана на рис. 5. Рассмотрим ряд задач о взаимодействии жесткого штампа с плоской полосой и осесимме? Ряс. ь тричным слоем, решения которых в упругой постановке а «аа Рис. 5 го в гас-' о уровня напряжений о„—.
Там же приведено распределение перемещений и, и и, для границы г/а = 0 полупространства. Сплошными линиями показано решение МКЭ для случая идеально гладкого штампа н полупространства (/, = 0), штриховыми — для полного сцепления штампа с полупространством Д р — — ос), В последнем случае значительно возрастает интенсивность напряжений под штампом, так как материал не выдавливается из-под него вследствие условия и, = 0 при 0 ( г/а < 1. По мере удаления от штампа результаты обоих расчетов сближаются друг с другом. Очевидно, что учет трения на отрезке взаимодействия тел даст промежуточный результат, находящийся между двумя ранее полученными решениями. Задача о действии гладкого осесимметричного штампа на полупространство рассмотрена и в упругопластической постановке.
Точное рею шение такой задачи неизвестно. Для определенности в этой и последщих задачах о штампах была использована диаграмма деформиро- У вания материала идеальнопластического тела. На рис. 3 кривыми! — 5 показано развитие зон пластичности по мере увеличения параметра бе а. дрения л = = за штампа в полупространство нан иа си ка центров конечных элементов. Значения А~ — Лз, соответствующие кривым / — 5, приведены на рис. 5. Усилие, действующее на штамп, определялось численным интегрированием контактного давления: (Н,34) Р = 2я ~ о;, (г) л(г. о Вычисления интеграла методом Симпсона и методом средних прямоугольников (длина участка интегрирования равнялась размеру элемента) дают близкие результаты.
34 Г>ез учета трения асимптотическим методом получены в работе 1451. Отличительной особенностью областей, рассматриваемых в данном параграфе, является их малая относительная толщина Х = Ь/а (рис. 6), где Ь вЂ” толщина слоя, а — расстояние от центра штампа до границы зоны контакта. Лля определенности проведем сравнение с аналитическими решениями осесимметричиых и плоских задач со значением параметра )с = 1. Следуя терминологии, принятой в работе 1451, будем называть случай жесткого сцепления слоя (полосы) с основанием по границе г = —.= Ь (см. рис. 6) задачей 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
