Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Посредством введения контактных слоев Вы взаимодействующие подобласти рассматриваемой конструкции объединяются в единую систему, и в зависимости от вида нх напряженного состояния вариационное уравнение (П.8) формируется из соотношений (П.9) — (П.12), (П.14). Одним из узловых моментов при решении задачи МКЭ является выбор типа конечного элемента.
В данной реализации в качестве базового используется изопараметрический косоугольный четырехуголь- 2! (И.17) л+т»+1 т лт 23 ннк с узлами в вершинах (рис. 1) и билинейной аппроксимацией перемещений внутри элемента. Использование четырехугольных элементов в сочетании с топологически регулярными сетками дискретизации не требует построения матрицы индексов и значительно сокращает объем входной информации о геометрии объекта. Нумерация элементов и узловых неизвестных естественным образом проводится по рядам топологнчески регулярной сетки в направлении меньшего числа узлов. В произвольном элементе рт! (рис. 1), рассмотренном под р-м номером в т1-м ряду, целесообразно ввести местную косоугольную систему координат Чс$, в которой он будет представлен в виде единичного квадрата.
Связь между глобальной и местной системами координат осуществляется по формулам г(Ч, 5) = г,(т1 — 0,5)(~ — 0,5) — г,(т!+ 0,5)($ — 0,5)— — г, (т! — 0,5) (с + 0,5) + г, (т! + 0,5) ($ + 0,5); г(т1, $) = г,(Ч вЂ” 0,5)($ — 0,5) — г,(Ч + 0,5)($ — 0,5)— — г„(т! — 0,5) (~ + 0,5) -)- г, (т! -+ 0,5) (5 -)- 0,5) Закон распределения перемещений внутри единичного квадрата имеет внд (Ч, ~) =Ьт',гЬ» Ч+Ьз $+Ь4 Чс. (И.16) Выражая (11.16) через узловые значения перемещений и,„, и,», получаем л+тл+~ и)ч(т1, $) = ~.
",т и.ь ф» (Ч, $); ».— л Р3=» л+т л+~ и" (Ч, $) = ~ Х иы. фь- (Ч 5) »г Люг Ч где ф» (Ч, $) — координатные функции конечного элемента, трь„(Ч, ~) =- (с + и — т! — 0,5)(Ч+ й — р — 0,5). (И.18) Представляя интегралы по рассматриваемой области и ее границе в выражениях (И.9) — (И.11), (11.14) в виде суммы интегралов по конечным элементам и их сторонам и производя варьирование после подстановки (И.!7) по всем неопределенным параметрам, получаем систему разрешаю:цих уравнений МКЭ (Ви) )ит) = (Ь;), т, ! = 1, Лг. (И.!9) Здесь Вт; — матрица жесткости системы; иь Ь; — векторы-столбцы узловых перемещений и правых частей соответственно. Система уравнений для произвольного конечного элемента определяется формулами + АЬв(Т) — — л+ А»с(Т)! дг дг + дг дг )+ Фьл Фтл в 1 дфьл дфтл дфтл дф»щ 1 дг дг Б х иилгт!5 + ~ ~ (А, + В,г + С,г) (Алв (Т) —" + с»лаз та Ая (Т) Фм т(5 ~ ~ [(А,",(Т) в„+ А„(Т)г,", + А"в(Т) ввв+ Рл -)- А,"с(Т)у,',) — '" + (А„"г(Т)г,", + А~~(Т)г',, + А1~(Т)ввв+ + 6»(Т)7'„) — + (А."в(Т) г г+ Айт(Т)г' + Авв(Т)евв+ + А~ес(Т) у',») — "" + р.
(Т)(Ргфь„1г,(5+ а( Р,ф»л,гсП.;, (И.20) »+т л+т ! . дфьл дфм я Дфьл Дфтл дф»и дфтл ля +6" Й д," д,»1~»~л~ +[ гл( ) д, д, + дфьл дф!л дг дг + )) (Ат+ Втг+ С,г)(А~в(Т) — "" + Авлс(Т) — '~гт(5 = зг аз»в ) ) [(А'„' (Т) е'„+ А" (Т) в~* -+ А ив (Т) ввв + А",с (Т) у.,) — ,""' + злт дф»„ -1-(А"с(Т)ев + А7с(Т)ав + Авва(Т)ввв+ 6«(Т)У„) — '— — рс(Т) фь.1г(5+ 1 Р, Ц-;, (И 21) сг [~Авв(Т) — ,'" + Ато(Т) д'л ~и,тл+ тг л л=д з сзтв + ~А»е(Т) ~" + А55(Т) ~'" )пас»+ А»ва(Т)(Ас+В,с+Ссг)~гс?5 = Ц (А»е(Т) е,»+ А»ге(Т) е„+ А»ее(Т) езе+ А»еа(Т) у~„) гс?5 ' йсс, зс»сазсе (?1.22) ++ гс„ар,„ с»гс» Ц с((А~~е(Т) — + Ае»е(Т) с )и с С=»»=а 5 »аа се + сА»е (Т) ~" + Аео(Т) — ") и м + А5е(Т) (А, + Всг + Ссг)~ гас?5 = Ц (А»е(Т)е»»+ А»ае(Т)еса+ Ае»е(Т)в~я+А~о(Т)уа)гас?5+М 5»аазСЕ (11.23) Ц [(А~сс(Т) — '" + А~а(Т) — '" )и,м+ с=»»=а 5 се + (А~в (Т) + Аеее (Т) — „" ) и*с + Ае»е (Т) (Ас + В,г + Ссг)1 ггс?5 = ) ) (А»е(Т) еа, -1- А»е(Т) ~ь + Атее(Т) ееев+ Аее(Т)уса) ггс?5 + Мсо 5»аазсе сс = р, р + 1; и = с?, с? + 1.
(!1. 24) В случае задания механических характеристик, внешних сил и перемещений узлов отдельных элементов рс? в локальной системе координат а?о$, отличной от глобальной системы гог, левые и правые части уравнений (П.20) — (П.24) подвергаются дополнительным контрградиентным преобразованиям вида 1701 (в„) = (5)г (в'„1 (Ц; (51= (? 1'(5'1. где (?.1 — матрица направляющих косинусов; (Всс!, (Ьс) — матрица жесткости и вектор-столбец правых частей элемента соответственно.
Полная система разрешающих уравнений МКЭ получается суммированием соответствующих коэффициентов систем уравнений отдельных элементов. Матрица жесткости системы является симметричной и в общем случае имеет ленточную структуру с окаймлеиием. Число столбцов окаймления равно количеству неопределенных коэффициентов А,, Во Сс.
В выражениях (11.20) — (П.24) индекс р означает принадлежность конечного элемента определенному набору механических свойств материала. Как и выше, если НДС подобласти 5, является плоским, в подынтегральных выражениях (П.20) — (11.24) исчезают множители г и слагаемые двойных интегралов, содержащие координатную функцию срь в качестве множителя. Если элемент не принадлежит области 5се, где.
имеет место дополнительная деформация вида (П.7), а также в случае осесимметричного и плоского напряженного состояния в выражениях (11.20 — И.24) исчезают интегралы по области 5,сь входящие в окаймление матрицы жесткости. Для плоского напряженного состояния константы упругости подвергаются дополнительному преобразованию 4 едсч 6 =6; Асс =Апв ее (И.25У АВ=Ас; — — (с,1=г,г, 6) ° А;еАе Аее с последующим исключением членов с индексом 0. Это позволяет в дальнейшем пользоваться одинаковыми соотношениями для рассматриваемых видов НДС. Сформулировав и решив систему (11.19), определим значения узловых перемещений и,с, пас и, в случае необходимости, значения коэффициентов А;, Вь С;. С помощью уравнений (11.17) вычислим перемещения любой точки тела.
Далее, использовав зависимости (П.6), (П.7). и (П.4), получим значения деформаций и напряжений и, таким образом, полностью решим линеаризованную задачу. Для решения физически нелинейной контактной задачи в данной реализации используется метод переменных параметров упругости. В точках, где обнаружена пластическая деформация, упругие свойства изотропного материала пересчитываются согласно теории малых упругопластических деформаций 173, 1561 по формулам о» (а,.г) 1 За где ес — интенсивность деформаций; о7 (е„Т) — интенсивность напряжений, определяемая по диаграмме деформирования р-го материала.
Для плоского напряженного состояния переменные упругие параметры определяются методом последовательных приближений, так как для вычисления интенсивности деформаций е, необходимо определить неизвестную заранее деформацию еее. В этом случае новые значения упругих параметров (обозначенные звездочками), вычисленные по формулам (11.26), подвергаются дополнительному преобразованию (П.25). Итерационный процесс решения упругопластической задачи идетдо тех пор, пока накопленные по всем неупругим конечным элементам разности интенсивностей деформаций текущих точек и начала пластич- ности на данной и предыдущей итерации не будут отличаться на задан- ную малую величину.
3. Модель контактного конечного элемента Алгоритмом решения задачи предусмотрено последовательное разбиеяие области 5 конструкции на составляющие ее конечные элементы. Первоначально рассматриваемый объект расчленяется на отдельные подобласти 5;, отличные между собой по группе признаков. К последним относятся механические свойства материалов, различие пластических свойств, вида напряженного состояния, принадлежность подобласти контактному слою с определенным механизмом взаимодействия и т, п.
Каждая из подобластей 5, представляется совокупностью первичных четырехугольников произвольного вида, стороны которых образуют топологически регулярную сетку в пределах всей рассматриваемой области 5. Стороны четырехугольников первичной дискретизации могут быть отрезками прямых или дугами окружностей. Вторичная дискретизация подобластей на конечные элементы производится автоматически по информации о числе дробления сторон начальных четырехугольников и степени неравномерности этого дробления.
При этом дуги окружностей аппроксимируются ломаными. Характерсгущения или разрежения вторичной разбивки определяется законом геометрической прогрессии с заданным ее знаменателем. Между взаимодействующими подобластями 5, ь 5;+, в пределах всех ожидаемых Вбластей контакта вводятся тонкие слои контактных элементов 5ы толщиной в один конечный элемент. Контактные элементы объединяют взаимодействующие подобласти 5; в единую систему 5, выполняют функции регистрации участков контакта и отрыва, а также моделируют различные условия работы соединения (сцепление, проскальзывание, сухое трение и т. и.).
Следует отметить, что при наличии упругого слоя между телами условия непроникания выполняются приближенно, так как все же происходит некоторое сжатие слоя. В то же время при определенной жесткости слоя расчетная схема может быть ближе к реальному объекту, чем сформулированные выше условия, вследствие неидеального контакта тел или наличия тонкой прокладки из другого материала. Контактный слой 5«и вводится независимо от того, отражает он жесткости шероховатостей или реальной мягкой прокладки, или рассматривается контакт идеально гладких тел. В последнем случае влияние слоя может быть сведено к минимуму, если принять его достаточно тонким и жестким.
Рассмотрим контактный слой 5;„, находящийся между подобластями 5~ ь 5с+~ (рис. 2). Будем считать, что контактирующие тела сближаются без взаимодействия иа минимальную толщину слоя б»„, которая может быть равной толщине прокладки нли приведенной высоте шероховатостей. Текущая толщина слоя Л, определяется геометрией контактирующих тел и в случае различной кривизны взаимодействующих поверхностей является переменной.
Отклонение ее от величины бии объявляется зазором (6„~ = =- А — бис ) О) либо натягом (б = А, — бос ( О) и учитывается прп формировании матрицы жесткости в виде начальной деформацни слоя. Поскольку интегрирование при вычислении матрицы жесткости и определение деформаций элементов проводятся ист ходя из геометрии контактноРис. 2 го слоя, модули упругости и сдвига приводятся к минимальной толщине слоя по формулам Е;Л, 6,Л( Е» = —., 6»=- —. Ьо ' ' хо с Реологическая модель слоя может быть построена с различной степенью общности. Прн взаимодействии шероховатых тел достаточно задать жесткость слоя только в направлении нормали к линии конта .- та, при наличии трения — дополнительно и сдвиговую жесткость 6„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
