Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 3
Текст из файла (страница 3)
На поверхности раздела контактирующих тел вводятся связи специального вида, способные передавать только односторонние сжимающие усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Взаимные перемещения соприкасающихся тел в том же направлении не могут быть произвольными и ограничиваются условиями непроникания контактирующих тел друг в друга. В вариационной постановке решение контактной задачи без -ре. ния сводится к проблеме минимизации функционала полной энергии системы с линейными ограничениями в виде неравенств. С точки зрения методов оптимизации — это задача квадратичного программирования и для ее решения приемлемы известные процедуры градиентного спуска 140, 421, возможных направлений [108), множителей Лагранжа [41, 99, 1651 и др.
Идея использования подходов квадратичного программирования для решения контактных задач впервые была предложена в работах В. М. Фридмана и В. С. Черниной [2! 1, 2121. В дальнейшем вопросы применения квадратичного программирования изучались в работах [68, 94 — 96, 98, 257, 2581. Такой подход к решению контактных задач тесно связан с использованием современных численных методов, таких, как вариапионно-разностный [74, 75, 1651 метод и МКЭ [104, 105, 187, 240, 2421, которые базируются на экнивалентных вариационных формулировках задачи. Причем большинство авторов отдает предпочтение МКЭ благодаря его высокой универсальности и эффективности.
В настоящее время известен ряд подходов к решению контактной задачи методом конечных элементов. Наиболее прост с алгоритмической точки зрения прием, основанный на вычислении коэффициентов взаимного влияния точек контактирующих тел в нормальном и касательном направлениях.
С помощью метода сил для составления равновесия каждого тела в отдельности находится распределение контактных напряжений. Полученные значения напряжений используются в качестве граничных условий для повторного вычисления по определению напряженного состояния контактирующей пары. Гранины контактных площадок и участки проскальзывания находятся итерационным путем в процессе решения задачи. Такой подход использовался в работах 154, 66, 260, 270[. Отметим, что наряду с относительной простотой такой метод не лишен недостатков, основным из которых является необходимость решения задачи на этапе определения коэффициентов податливости 2п раз, где и — число точек контакта.
Существует еще одна группа методов решения контактной задачи МКЭ, где условия взаимодействия между телами моделируются с помощью соотношений физически нелинейных задач механики твердого тела. Первыми работами, в которых механика контакта рассматривалась по аналогии с пластическим течением, явились исследования Р.
Михайловского, 3. Мроза и В. Фридриксона. В работе [2531 соотношения между силами и перемещениями в зоне контакта представлены в виде ассоциированного и неассоциированного законов скольжения. Несколько иной подход продемонстрирован в работах [242, 243], где использована аналогия между законами пластического течения и законами движения жестких или упругих блоков с сухим трением. Дальнейшее развитие этого направления представлено в работах А.
Г. Кузьменко [104, 1051, где проводится аналогия механики контактной среды с законами пластичности и ползучести. Достоинства такого подхода особенно ярко проявляются при решении упругопластических контактных задач. Другой путь к решению контактных задач МКЭ открывается с использованием специальных стыковочных элементов, моделирующих диаграмму сила — смещения на поверхностях раздела взаимодействующих тел.
Идея применения элементов особого типа принадлежит, очевидно, авторам работы [245[, которые для моделирования трещин и швов горных пород применили разрывные контактные элементы. Даль- нейшее усовершенствование контактных элементов проводилось в работах [23, 132, [54, 247, 263] и др, В большинстве исследований контактного взаимодействия применялись одномерные стыковочные элементы с различными законами распределения перемещений [2491. Использование такого типа элементов связано с определенными трудностями, возникающими при учете проскальзывания н трения.
Частичное решение этой проблемы дано в работе [2461, где силы сцепления моделировались с помощью контактных элементов в виде пружин с переменной жесткостью, установленных в нормальном и тангенциальном направлениях. Для случая проскальзывания в данной модели предусмотрено скачкообразное изменение касательной жесткости. В ряде работ используются двумерные стыковочные элементы [60, 6П, реологнческие модели которых позволяют описать различные условия контактного взаимодействия, учесть наличие микронеровностей илн прокладок между контактирующими поверхностями. Авторы работ [146, 236, 240, 254, 265] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел.
При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности. кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [240, 2441 с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [1461 для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий. В ряде работ Н86, 1871 для решения контактной задачи МКЭ предлагается использовать релаксационную процедуру. В этом случае контннуальное тело предполагается состоящим из системы материальных точек, соединенных между собой упругими связями.
Деформация в таком теле распространяется от ее источников равномерно во все стороны путем смещения материальных точек, что приводит к последовательному деформированию связей. Прн переходе к конечно-элементной дискретизации узлы конечных элементов отождествляются с материальными точками, конечные элементы — с соединяющими нх связями. На каждом шаге итерационной процедуры считается свободным от закрепления лишь один узел конструкции, для которого по определенным зависимостям вычисляются компоненты перемещений. При условии, что функционал энергии в локальной области, прилегающей к данному узлу, принимает стационарное значение, это эквивалентно решению задачи МКЭ для области с одним свободным узлом. Такая задача решается многократно для всех материальных точек конструкции с учетом ограничений, накладываемых на контактные узлы.
Релаксационная процедура избавляет от необходимости оперировать 12 с матрицей жесткости конструкции, что существенно сокращает объем оперативной памяти ЭВМ. Однако сходимость итерационного процесса по удовлетворению граничных условий задачи существенно зависит от порядка обхода узлов конструкции, что приводит к необходимости использования различных способов ускорения счета. В последнее время возросло количество публикаций, посвященных применению МГИУ к решению контактных задач.
По мнению специалистов, использование МГИУ, обладающего высокой точностью результатов в зонах больших градиентов напряжений, простотой реализации и малым объемом входной информация, дает ряд преимуществ по сравнению с аналогичными схемами МКЭ. Наиболее удобным и употребимым для решения контактных задач является, по-видимому, прямой вариант МГИУ, где решением являются неизвестные граничные значения переменных, выраженные в естественных физических величинах.
Постановки и подходы к решению контактных задач методом граничных интегральных уравнений во многом сходны со схемами МКЭ. В частности, в работе [232] развиваются идеи использования последовательных и параллельных блочных методов по аналогии с МКЭ для задач контакта нескольких тел. Решены задачи анализа напряжений в резьбовых соединениях с использованием постоянных, линейных и квадратичных граничных элементов.
Внимания заслуживает исследование особенностей использования МГИУ для осесимметричных задач ' при наличии угловых точек на границе. Приведенные расчеты демонстрируют высокую эффективность предлагаемого подхода. На основе вариационных неравенств и предложенных автором работы [2591 полуварнационных неравенств приводится постановка задач механики с односторонними ограничениями и ее решение непрямым МГИУ.
В силу одностороннего характера взаимодействий вместо интегральных уравнений автором получены интегральные включения. В работах [228, 2291 излагаются основные концепции, лежащие в основе формулировок и методов решения плоских контактных задач статической теории упругости. Описаны две методики решения плоских контактных задач, одна из которых применима при отсутствии сил трения, а другая — прн их наличии. Рассматривается контакт двух тел, причем каждое из них независимо.
Учет условий контакта позволяет связать две системы уравнений в одну. Для нахождения зоны контакта нагрузка прикладывается малыми приращениями, после каждого нз которых зоны сцепления и проскальзывания определяются итерационным способом. В созданном программном обеспечении использовались простейшие кусочно-постоянные граничные элементы. Предложенный алгоритм демонстрировался на ряде конкретных задач. Однако рассмотрение контакта только двух тел и использование граничных элементов низкого порядка аппроксимации вводит существенные ограничения на класс и точность рассматриваемых прикладных задач, на возможность расчета НДС различных реальных конструкций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
