Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В большинстве реальных конструкций закон распределения истинных контактных давлений оказывает существенноевлияние на НДС взаимодействующей пары, а иногда, как, например, во фланцевых соединениях с упругими прокладками, определяет работоспособность конструкции в целом. В таких случаях возникает необходимость решения контактных задач, где размеры и конфигурация площадок контакта, условия взаимодействия на ннх нелинейно зависят от приложенной нагрузки.
Эти параметры являются искомыми и могут быть определены только в процессе решения задачи. Нри достаточно высоких уровнях контактного давления, внешней нагрузки и температур взаимодействия тел сопровождаются появлением деформации пластичности и ползучести. К необходимости решения физически нелинейной задачи приводит также применение материалов синтетического происхождения с низким модулем упругости. В местах концентрации контактных напряжений, угловых точек штампов, вяедряющихся в упругие тела, наблюдаются зоны больших формоизмеиений материала, где необходим учет геометрической нелинейности процесса деформирования. Еще один тип нелинейности имеет место при рассмотрении фрикционного взаимодействия, определяющего зависимость между перемещениями и усилиями на контактных площадках при наличии трения.
Все перечисленные факторы в совокупности со сложной геометрией реальных объектов, кусочной неоднородностью структуры, анизотропией механических свойств, разнообразием температурных и силовых воздействий ставят решение контактной задачи в рамки трудноразрешимой инженерной проблемы, Теория контактного взаимодействия включает в себя различные классы задач [248]. Среди них выделяют статические и квазистатические, где не учитываются эффекты инерции, а также контактные задачи динамики, где рассматриваются различные режимы движения взаимодействующих тел, пульсирующее, ударное нагружение и т.
п. В свою очередь эти задачи подразделяются на так называемые нор- мальные задачи без трения, где рассматриваются идеальные односторонние связи между телами, и задачи с трением. Для ряда случаев процесс трения аппроксимнруется полным сцеплением. Сущеатвует еще один важный класс задач взаимодействия, затра- гивающий проблемы трения со смазкой, деформирования материалов поверхностных слоев контактирующих тел с учетом их микрорельефа и т.
и. Такие задачи принято относить к трибологии, хотя в последнее время наметилась устойчивая тенденция слияния макро- и микроис- следований НДС контактирующих тел. Так, в расчетах деформаций микровыступов используются фундаментальные решения. полученные для массивных тел или даже полупространств, и наоборот, в функцио- налы энергии краевых задач для макрообъектов вводятся короткодей- ствующие капиллярные [20] и адгезионные [80]силы, связанные с по- верхностными эффектами на контактных площадках. Контактные задачи теории упругости давно привлекают внимание советских и зарубежных специалистов в области математики и меха- ники.
В настоящий момент по этой проблеме накоплено огромное ко- личество публикаций, посвященных постановкам и методам решения контактных задач различных классов. Поэтому авторы книги ие ставят целью дать исчерпывающий обзор литературных источников по дан- ному вопросу и ограничиваются лишь основными постановками и под- ходами к решению квазистационарных контактных задач теории упру- гости, пластичности и ползучести для массивных тел, которые рас- сматриваются в главах П вЂ” Ч].
Исторически первыми, основополагающими работами в теории кон- тактных задач явились исследования Герца, где впервые было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. И хотя постановка задачи предусматривала ряд серьезных допущений, таких, как малость пятна контакта, отсутствие трения, однородность, изотропность и идеальная упругость материала, результаты иссле- дований до сих пор не потеряли своей теоретической н практической ценности. Значительный вклад в развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды советских уче- ных — Н. И.
Мусхелишвили, И. Н. Векуа, Н. Г1. Векуа, С, Г. Михли- на, Л. А. Галина, И. Я. Штаермана, Д. И. Шермана, В. Л. Рвачева, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео. Н. Губера, Р. Д. Миндлина, А. Синьорини. Разработанные ими методы теории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эффективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубесконечную область. При исследовании взаимодействия штампов с неклассическими областями типа слоя, полосы, клина было установлено существование некоторого числа безразмерных параметров Х, геометрического или механического происхождения, которые полностью определяют задачу.
Например, при рассмотрении взаимодействия плоского в плане осесимметричнога штампа с упругим слоем таким параметром служит отношение толщины последнего к размеру контактной площадки, равному диаметру штампа. Решения таких задач удалось получить в виде разложений (преимущественно асимптотических) в определенной области изменения параметра. Основная идея предложенного метода состоит в переходе от известного решения классической задачи о действии штампа на упругое полупространство к приближенному решению соответствующей задачи о внедренци того же штампа в упругое тело конечных размеров. Существенным преимуществом такого подхода является получение решения в зоне действия штампа в простой аналитической форме, удобной для инженерных расчетов. Асимптотический метод и его модификации для решения различных смешанных задач был использован в работах И.
И. Воровича [8, 47], В. М. Александрова [5, 6, 10], В. А. Бабешко [14, 15] и др. Наряду с асимптотическими существует ряд методов сведения смешанной краевой задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений. Например, в работах В. М, Александрова [9, 11], Г. Я. Попова [169, 170], В. Л. Рвачева [182, 183] и др. широко используется метод. оргогональных полиномов, с помощью которого производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения 1 рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе.
В работах Б. Л. Абрамяна [2], А. А. Баблояна [16, 17] и др. предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к бесконечной алгебраической системе, минуя интегральное уравнение. Иногда интегральные уравнения смешанных задач удается привести к конечным алгебраическим системам. Это обычно достигается путем аппроксимации регулярной части их ядер вырожденными [7] либо применением метода коллокаций [46, 78], где контактное давление представляется определенным числом параметров, для определения которых используются условия связи, налагаемые на перемещения в конечном числе точек области контакта.
Широкое распространение получили методы, основанные на сведении смешанной краевой задачи к некоторым парным или тройным функциональным [интегральным) уравнениям (или рядам), которые в итоге преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма П рода, решаемое одним из приближенных методов.
Группа данных методов представлена в работах 10. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда [109, 1101, А. А. Баблояна [11, А. Ф. Улитко [2091 и др. Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [1811 привел к разработке нового математического подхода — метода Й-функций, который соединил в себеалгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата й-функций В. Л. Рвачевым [1841 на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий.
Характерной особенностью данного подхода яшиется посгроение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркнна. Необходимо отметить, что при решении смешанных задач указанной группой методов снимается ряд упрощающих предположений классической теории. В частности, рассматриваются контактные задачи для неоднородных, анизотропных тел, и ряде случаев производится учет трения и микроструктуры контактирующих поверхностей. Существенно и то, что исследуемая область контактного взаимодейстния для задач такого типа соизмерима с характерными размерами тел [45, 179, 200, 2031.
Однако все указанные решения получены для частных, относительно простых областей, реологических свойств материала и условий контактирования. При этом решение каждой отдельной задачи сопряжено с большими, а порой и непреодолимыми трудностями математического характера, что требует высокой квалификации исполнителя. Поэтому в широкой инженерной практике распространение получила лишь малая часть аналитических методов, наиболее простых с вычислительной точки зрения. Наряду с классическими постановками контактной задачи существует ее вариационная формулировка, впервые предложенная в работе А. Синьорини [2641. Для ее применения к рассматриваемым задачам строится функционал, достигающий минимума на решении исходной задачи и, кроме того, имеющий граничные условия в качестве необходимых условий экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
