Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поскольку толщина слоя достаточно мала, в случае проскальзывания он получает большие сдвиговые деформации, поэтому величина сдвиговой жесткости не имеет принципиального значения и может изменяться в широких пределах при учете трения, не оказывая существенного влияния на результаты. Модули сжатия и сдвига контактного слоя принимают, как правило, равными соответствующим константам материала одного из взаимодействующих тел. При отсутствии трения модуль сдвига 6ги контактного слоя полагается равным нулю. В этом случае тела свободно проскальзывают друг относительно друга.
В качестве контактных в данной реализации использованы базовые четырехугольные конечные элементы с определенным образом назначенными анизотропными свойствами. Главные оси анизотропии связываются с местной системой координат т!о$ (рис. 2), где в дальнейшем рассматриваются условия взаимодействия. При несовпадении осей местной «)о$ и глобальной гог системы координат параметры упругости ортотропного материала слоя преобразуются к осям последней с добавлением членов общего случая двумерной анизотропии П!81: \~ «Ч Аи =- ~~, ~, А „(!с дм (1, 1, т, и = и, г, О, 6), (П.28) (11.
27) гдедц — число или выражение, находящееся на месте пересечения 1-и строки и 1ъго столбца табл. 1. В табл. 1 сведены косинусы углов поворота между осями «старой» ~о$ и «новой» гог системы координат, например 1д =- соз (и, $), 1«ч = = соз (г, т!) и т. д. Такой выбор стыковочного контактного элемента не вносит дополнительных трудностей в процесс формирования системы разрешающих уравнений задачи, сохраняет порядок и структуру Таблица ! Система координат 2 2 !а$ О О О !и» ! ч 'аа 'ая О еч !Л !те !ач 28 последней, позволяет просто и естественно, как и в обычных элементах, вычислить напряжения взаимодействия, Нелинейный характер упругих свойств контактного слоя задается диаграммой а„! = и„! (е„т, Т), где з„! — силовая деформация контактного слоя в направлении нормали и.
С помощью построенной модели контактного элемента реализуется итерационный процесс решения контактной задачи по удовлетворению граничных условий (П.2), (П.З). Первоначально, для определенности, задается вектор разрыва перемещений, равный зазору либо натягу. В последующих итерациях для точек, где были назначены условия по перемещениям, проверяется условие положительности нормальных напряжений. В случае выполнения последнего в пределах данного элемента для последующей итерации тела освобождаются от связей путем обнуления матрицы механических свойств элемента Ее„ = б!.
= О. При этом полагается а„ = О. В случае контакта условия взаимного непроникновения практически выполняются, так как перемещениями тонкого и достаточно жесткого слоя можно пренебречь. Однако при чрезмерном увеличении жесткости слоя (на 5 — 6 порядков по сравнению с жесткостью смежных элементов конструкции) малая разность перемещений соседних узлов может привести к искажению картины НДС слоя, так как погрешности решения системы становятся соизмеримыми с упомянутой выше разностью перемещений.
Знак контактных напряжений устанавливается из диаграммы о„! = о„! (е„е, Т) по найденному значению силовой деформации аы срединной поверхности слоя. Последняя определяется путем вычитания из общей деформации элемента е остаточных деформаций еа„обусловленных зазором (натягом), температурным расширением (сжатием) и т. и. При контактировании идеально гладких тел для касательных напряжений принимается условие т'„' = т'„+ = О. В случае полного сцепления полагается равенство компонентов перемещений и,' т+! ит В случае фрикционного взаимодействия первоначально принимаются условия сцепления, а в последующих итерациях при наличии безотрывиого контакта в направлении нормали проверяется условие (П.З). Если оно не выполняется, тела освобождаются от связей в направле- нии касательной к границе, т. е. полагается бг, = О, а по сторонам контактного элемента прикладываются касательные усилия т„ !+! =- т„=- ) о„(Г р з)пйто, противодействующие проскальзыванию.
В последующих итерациях производится уточнение нормального и касательного напряжений в контактирующих элементах. Итерационный процесс решения контактной задачи начинается с полного прилегания взаимодействующих тел по всем возможным площадкам контакта и продолжается до тех пор, пока суммы накопленных контактных деформаций еи! на данной и предыдущей итерации не будут отличаться на заданную малую величину. Описанная схема решения контактной задачи в конечных соотношениях, естественно, не лишена недостатков.
Наиболее существенным моментом такой постановки задачи является вопрос о характере и истории нагружения конструкции. Известно, что при учете трения в зонах контакта решение задачи существенно зависит от последовательности приложения внешних нагрузок. Кроме того, в точках, входящих в контакт и выходящих из него, реализуются сложные программы нагружения. Учет перечисленных факторов возможен лишь в случае инкрементальной формулировки основных соотношений задачи, что значительно усложняет пути ее реализации. Вопросы рассмотрения уточненных постановок задачи выходят за рамки данной главы. Здесь предполагается активное нагружение„когда внешние силы, зазоры и натяги возрастают от естественного состояния по линейному закону.
При этом процесс изменения границ контактных площадок и направление действия сил трения в ходе итераций имеют односторонний характер, что обеспечивает, как показывают расчеты, близость траекторий нагружения контактирующих точек к простым. Следует отметить, что в рамках рассмотренного алгоритма с использованием контактного слоя легко реализовать и более сложные условия взаимодействия между телами, например ввести условия неидеальной односторонней связи с учетом напряжений отрыва или скалывания по поверхности контакта. 4. Особенности алгоритма решения упругопластической контактном задачи Изменение границ контактных площадок зон проскальзывания, а также появление и развитие пластических зон в процессе деформирования материала приводят к необходимости коррекции жесткостных характеристик рассматриваемой конструкции. Описанный выше метод решения позволяет в рамках единой итерационной схемы метода переменных параметров упругостп (211 учесть все имеющиеся нелинейности и найти искомые параметры линеаризованной задачи, Схема итерационного процесса может быгь представлена уравнением (В„(ф))д! — '(и)2е = (О,)ч-', (11.
29) где ф — некоторый параметр, определяющий нелинейность процесса, Л' — номер итерации. Такой подход обеспечивает быструю сходимость обоих процессов и обычно требует выполнения не более 10 итераций. Как правило, необходимое количество итераций определяется решением упругопластической задачи. Задача считается завершенной после выполнения заданного 21(,„числа итераций либо при одновременном выполнении на определенном шаге «контактного» и «пластического» критериев окончания счета. Зоны пластичности, контакта-отрыва, а также участки проскальзывания определяются с точностью до размеров конечного элемента.
Процедура метода переменных параметров упругости не требует запоминания предыдущего шага, что упрощает алгоритм и приводит к экономии памяти ЭВМ. Однако для решения задачи в этом случае приходится многократно формировать и решать большие системы линейных алгебраических уравнений. В связи с этим при разработке математического обеспечения особое внимание необходимо уделить построению экономичных алгоритмов основных этапов, определяющих продолжительность решения задачи.
Так, например, для формирования общей матрицы жесткости системы предпочтительна реализация однократного обхода конечных элементов в направлении минимального количества узлов конструкции, исключающая повторные вычисления, связанные с обсчетом каждого элемента для получения системы (П,20) — (П.24). Для рационального интегрирования по площади конечного элемента удобно произвести замену переменных, преобразующую область произвольного четырехугольника в единичный квадрат ( — 0,5 ( з[ ( 0,5, — 0,5 « ' «» ( 0,5), а затем в каждом направлении применить двухто; чечную квадратурную формулу Гаусса [103] »,5 К [) 7(г, г)5(г«(г —.= ~ ~ 7[г(2(, $)г(«(, $)]05($2(«1= З«М вЂ” 5,5 -0,5 2 ) С»»,7[г(11», «), г(«]», ~„,)[0(Ч», 5««), (И.ЗО) »=ч ь=ч где т[» ~„= ~ —; С... = 0,5; 0 — якобиан преобразования 1 2 3 произвольного четырехугольного элемента в единичный квадрат, дг(Ч, 1) дг(Ч, 1) дг(Ч, $) дг(ч, 1) д«» дч дд дч Подынтегральные функции в последнем выражении содержат координатные функции н производные от них по г и г, которые вычисляются по формулам дчьл(ч Й .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
