Подгорный А.Н. - Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций (1050668), страница 24
Текст из файла (страница 24)
10е иня определяющих уравнений этой теории заложены следующие гипотезы. Тензор напряжений представляет собой сумму двух тензоров— активного я„и добавочного рн напряжений: пи=хи+рп. Аналогичное предположение делается относительно девиаторов полных и',. активных я', и добавочных р'„напряжений: Ц о и'„= я'„+ р'„. Для скоростей деформаций ползучести существует потенциальная функция вида Предположив, что скорость разупрочнения обладает потенциалом и введя эквивалентное добавочное напряжение р, = — а„ззр!',.р,'! по -з ! аналогии с з, из соотношения (1Ч.20), для )з (рц) получим следующее выражение: !з (р!!) = !рз (р!) ацъ!рзз/2р,.
(1Н. 24) Пусть в одномерном случае кривые ползучести материала для некоторого интервала значений напряжений и температур могут быть достаточно хорошо описаны зависимостями [1261 в' =-. В ехр ( ! з (~Р) ззпп (з); р = У(о)з' — 0ехр(!р(!Р)з!пп(р). (!Н.25) (1Н.26) (!Н.28) Здесь В, Р, Р— константы материала, общие для всего рассматривае- мого семейства кривых ползучести; У (о) — параметр, число значений которого определяется количеством этих кривых.
Чтобы при одноосном растяжении уравнения (П!.22), (1Ч.23) с уче- том (1Ч,24) совпадали с зависимостями (1Ч.25), (1Ч.26), выражения для !р, (з,) и чзз (р,) выберем в виде 0!а!) ср,(з,) = — 'ехр(з,); ! В' 1о,з грз (р,) = !' ехр (р,), ! ! /1 где 6(пц) =- [ 2 йцззацаз!)', Яз (ац) = [ 2 шцыацо,р~' — квадра- тичные инварианты тензора напряжений н тензоров анизотропии йцэ! и шцы. Тензор-функцию[! (ац) можно положить, например, зави- сящей от интенсивности напряжений а;: !! (ац) = А (а,) (1Н,29) и не имеющей аналитического представления.
В этом случае величина А (о;) для конкретного значения о! находится путем интерполирования потабличным значениям А (и,), полученным при обработке экспери- ментальных кривых ползучести. С другой стороны, выражение для )! (ац) можно конкретизировать, описав его аналитически, например [! 66[, [! (аз,) = аДР (ац) -1- Я~+ (оц)[, (1Н.ЗО) ! где Р(пз!) = [ — Рцззаца„!)~ ! ! з~(ац) =~-~дцмзацпы~з; М = ~ — тцмоцоз,! !о!, (!Ч.З1) ! При одноосном напряженном состоянии выражение для г", (асд в форме (1Ч.ЗО) приводит к экспериментально обоснованной зависи- мости для У (о) [36, 2!41: У(о) = 1!(йз+ йзп"), (1Ч.32) где йз, зз„ п — константы материала, Для изотропного материала в случае сложного напряженного состояния можно положить ,',(оц) = 1,'(й! + /гзо",) Этот же вариант аппроксимации 1! (оц) с какой-то степенью погрешности, по-видимому, можно использовать и для начально анизотропных сред.
Для конкретизации квадратичных инвариаитов, входящих в уравнения (!Ч.22), (1Ч.23), ограничимся рассмотрением ортотропных материалов в декартовой системе координат х,, х„х„оси которой совпадают с главными направлениями анизотропии. Приведем окончательное выражение лишь для инварианта з„так как остальные квадратичные формы запишутся по аналогии с з,. Вследствие симметрии девиатора активных напряжений, а также квадратичного инварианта з, относительно зз; и з„! число коэффициентов аць для тела, обладающего общей анизотропией, равно 21. Для ортотропного тела количество материальных постоянных уменьшается до девяти. Если же изменение объема происходит упруго, то коэффициентов ацм остается всего шесть и з, выглядит следующим образом: 2з,' = аз! (эзз — ззз)з+ а„(ззз — зи)'+ а„(зп — ззз)'+ з з, 2 т 6 (азу!з+ а!за!з + аззззз), (1Н 33) 2 где а„= — а„„; а„=- — аззм,", аз! = — а„„; а„= — а„,з; а„= з 2 2 3 а!2!2' азз = 3 азиз' Окончательно покомпонентная запись физических уравнений (1Ч.22) и (1Ч.23) с учетом выражений (1Ч.24), (1Ч.27), (1Ч.28) и (1Ч.ЗЗ) имеет вид и рц = — з! (оц) ац — )зз [(азз + ац) рг! — аырц — ацрзм); (1Ч.34) 2 с Рз! - —,,г! (оц) ец — ЗпзацРц, П (ам! — К/ (вы) где и! =ехр(з,); р,= ' ехр(р,) (!'Ф /чь й; !', [, й 1, 2азз, 2о~Рс 2,3; по повторяющимся индексам суммирования нет).
Таким образом, уравнения (!Ч.34) позволяют описать процесс пол- вучести несжимаемых материалов, обладающих исходной и деформа- циониой анизотропией. Полученные соотношения справедливы прн где 1 = Ьазее) % = 2 ацмзцзм. Тогда уравнение (!Ч.21), устанавливающее закон течения, примет вид (1Ч.36) изотермическом нагружении и малых деформациях яолзучести. Построение физических уравнений, справедливых при больших деформациях ползучести и сложных траекториях неизотермического нагружения, здесь рассматриваться не будут, хотя зти вопросы весьма актуальны для широкого класса контактных задач теории ползучести. Можно сослаться, например, на работу Н. Н.
Малинина 11251, где рассматривается ползучесть при больших деформациях, возникающая при горячей обработке металлов. Построению определяющих соотношений термовязкопластичности, описывающих процессы неизотермического деформировання материалов при сложном нагружении, посвящена монография Ю.
Н. Шевченко, Р. Г. Терехова [2221. Предположение о несжимаемости материалов при ползучести с большой степенью точности выполняется для болыпннства металлов и сплавов. Однако при этом допущении не удается описать такое часто встречающееся у легких металлов и их сплавов явление, как неодинаковость поведения при растяжении и сжатии. Это связано с тем, что в рамках тензорно-линейных уравнений состояния, записанных выше, не учтено влияние на ползучесть нечетного инварнаита тензора напряжений.
Для учета разносопротивляемости при ползучести большинство авторов используют первый инвариант тензора напряжений [71, 1371. Имеются работы, где для этих целей привлекается третий инвариант девиатора напряжений [58, 1771. Различные реологические модели сред и их практическое применение при расчетах элементов машиностроительных конструкций рассмотрены в монографии 11661. Следует отметить исследования, проведенные в работе [1371, предоставляющие широкие возможности для построения соотношений теории ползучести, учитывающих разнообразные эффекты, свойственные современным конструкционным материалам.
Используя записанные выше соотношения для сред, проявляющих исходную и деформационную анизотропию, получаем уравнения теории ползучести материалов, неодинаково сопротивляющихся при растяжении и сжатии. Перейдем от девиаторов активных и добавочных напряжений к их тензорам и повторим процедуру построения определяющих уравнений, приняв в качестве эквивалентного активного напряжения величину з„ равную сумме линейного з и квадратичного з„инвариантов тензора активных напряжений и тензоров анизотропии Ь;; и ацы) , = з+ з„(1Ч.35) Примем, что з, = ер, (з,), тогда выражение для еа перепишется следующим образом: ее) = ерл (з,) (Ьа + ае/ызм/2зо).
([Ч.38) Здесь принята вторая форма записи !л (1Ч.37). Аналогичным образом запишется тензор-функция /, (Ры) (1Ч.24), характеризующая разупрочнение материала: /о (Р;) = ета (Р,) (Ье + ае)ырм/2Ро), (1Ч.39'1 1 где Р, = Р + Р,; Р = ЬиРа( Р'„= —, ае/мРс;Рле. Допустим, что в одномерном случае кривые ползучести достаточно хорошо а пи рокс имнруются зависимостями (1Ч.25), (1Ч.26), где растяжение характеризуют коэффициенты В, ~г, Р, Ч (а), сжатие— В, В, Р, Ч (а), кручение или сдвиг — В', го, Р', Ь' (а) Выражения для ер, (з,) иЧл (Р,) в этом случае можно выбрать по аналогии с (1Ч.27), (1Ч.28): се (а,.) еРл (зе) =, ехр (зе) Ф' (ае/) его (Ре) = ехр (Ре) 1 л где 6(ан) = [ — Яе/мацоее[з; ([2(оы) =1 — аес;начале/ [, 2 Тензор-функцию /л (ае;) записать в аналитическом виде весьма затруднительно.
Возможна, например, следующая форма представления: /л(а ) = — [А,";(а)(1+ $сс)+(А,,(а,)(! — 0 )1. (!Ч 40) о /л(а„) = А„(а,). где А~ (а,) — значения [е* (а) в соответствующих направлениях анизотропии при растяжении и сжатии; Ао (а,) — параметр, характеризующий сдвиг; $„— в общем случае параметр, характеризующий вид напряженного состояния (г, з = 1, 2, 3; г эь з; по повторяющимся индексам суммирования нет). Наиболее простым можно считать выбор атее в виде (1Ч.41) з!дп (о„), (Ч!. 37) с с Где У' = зезе = зс/ве/. 108 зц — — 21(зе (Ьа+ ацызм/2з,).
Параметр е. можно найти из зависимости )о = [()'/2з, = е',/2з„. что независимо от вида напряженного состояния в точке тела определяет параметр А+ (а,) или А,, (а,) по знаку действующего напряжения о„. Таким образом, физические зависимости ортотропных сред, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, но симметрич- 109 ных на сдвиг (Ьц = О при 1 ~ /), запишутся следующим образом: 1аы+ ац) зя — аыз) ~ — аписы ~ е = (р1(я,) Ьн+ — [ в ем = 3 рт (з,) амзм/2з; (аья + а/д р~~ — аырд — апры ! рп = Ыоп) з'« — Чь (р,) [Ь + 2р„ рм = /, (ом) ем — З~р, (р,) амрм/2р ! 1 (1У. 42) ! (1, /, Ф = 1, 2, 3; 1 чь /' 4: й; по повторяющимся индексам суммирования нет).
Полученные уравнения позволяют описать такие известные проявления разноползучести, как сжимаемость материала, наличие осевых деформаций в условиях чистого сдвига, ползучесть под действием гндростатического давления и др. Следует отметить, что для описания ползучести неразносопротивляющнхся материалов с помощью уравнений (!Ч.42) недостаточно в них положить равными нулю коэффициенты Ьц. Необходимо от компонент тензоров напряжений перейти к их девиаторам, что приводит к рассмотренным выше зависимостям (1У.34).
В рамках рассматриваемого варианта теории ползучести анизотропиых разносопротивляющихся сред возможны различные модификации физических уравнений, позволяющие как уточнить известные процессы деформирования, так и учесть новые эффекты. В частности, выбор линейного инварианта з (!Ч.36) в виде з = Ьпзо позволяет описать поведение материалов, обладающих асимметрией свойств относительно знака сдвиговых напряжений. Можно, например, положив коэффициенты Ь|/ равными нулю в выражении р = Ьпро, получить модель материала, процесс разупрочнения которого не зависит от вида напряженного состояния. Приняв равными единице коэффициенты аым в выражении для р„, придем к модели изотропного разупрочняющегося материала. По аналогии с выражениями для е,', (1Ч.38) или /,(ры) (!У.39) можно сконструировать и /, (аы), считая, что скорости уйрочнения обладают потенциалом. Возможны и другие варианты соотношений, вытекающие из выражений (!Ч.42),описывающих свойства конкретных материалов.
Уравнения (!У.34) и (!У.42) пригодны для описания деформироаания материалов на первых двух стадиях ползучести. Для того чтобы учесть третий участок ползучести, предшествующий разрушению, в определяющие соотношения обычно вводят параметр повреждаемостн в = в (/), который при / = О равен нулю, а в момент разрушения / принимает значение з)„ и устанавливают для него закон изменения во времени В соотношениях (1Ч.!7) заложена постановка задачи длительной прочности, если в качестве одного из структурных параметров 1Ь выбрать параметр повреждаемости. Воспользовавшись концепцией истинного, или эффективного, напряжения, предложенной Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
