Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(2,72) Введение обозначения у,г — ~[тгюгй 1В ! ч"1В 1+ига!5 гт гч'г+'1 ')Дйбч (2.75) а зввю г.рга Г вычислить интегралы вида й(вч л) - ) 6 ч 46 Лч, (2.81) о б я о а ! в о (2.82) (2.74) (2.76) (2.84а) нли после интегрирования по Ч р р"р'з р — ! (2,846) (2 85) где й=ВгОВ (2.79) з г бэрка Гг Новара л ывенв ввалрвтячоея Эегнра Су ц в мею уэ о о е ал мента позволяет записать (2.72) в виде в ! \ ч о,йиа!. Т~ Е В матричной форме (см. приложение А.З) равенство (274) имеет вид Х' = — арба, ! з (2.75) где а определяется выражением (2.58), а 6=(й!!) являетсв интегрирующей могрицей.
Подстановке (2.59) в (2.75) дает форыулу длв элементного вклада через узловые значения; Х я (Т')" ВгОВ (Т'). (2 77) Как уже отмечалось ранец узловые значени» уь уь ..., 7, в локальной системе ноордннат совпадают с узловымп зиз гениями 7!. Гь ..., 7! в глобальной системе координат. Следсва. тельна, равенство (2.77) применимо в любой нз этих систем координат, Равенство (2.77) также можно записать в виде Х'= — (Г')гй(Т ) (2.78) оказываетсн элементной мотрицей жесткости Х элемента е.
Дифференцирование равенства (2.78) (см, приложение 6.2) дает элементное матричное урапиение дх')дТ' = йТ'. (2.86) Интегрирующая матрица 6 еще должна быть определена явт ио. Для вычисления элементов йо необходимо (уравнеиее (2.73)) и рмц ом ф рмугяр гка метода «амыил гмарюог Е7 где т и л — целые числа. С учетом рис. 2,6 этот интеграл может быть записан следующим образом; 1-! ч-! л)тэ А(ж, л) = ~ ~ 5"ч"бчб6+ Е -ь «э е ! -имщ 6"Ч" дЧ 66, 1-э з-р где первый н второй интегралы в правой части равенства яв. ляютсн вкчадами, соответствующими падтреугольникам 1 и П. ° Замена переменной и $/й позволяет записать первь(й интеграл в виде э ч ырл )б= ~ ~ 5(ий)" Ч'дидЧ вЂ” ч-э Формула (2.84) моптет быть преобразована к виду з) т! — й"" (1 — й) дй б .).
! е з с использованием замены переменной й = и + 1. (2Я6) Интеграл в выражения (2.85) является бега-фувкцией Р(д 4-2, ю+ 1), которая может быть выражена через гамма.функции и фокгориолы: е ! 'М гвсымэл """' ! м Г(в+в.!.3) (м+а-)-Я)! ' пориачиоииоо роририироииа зиюэо точи!и иоол итси в9 Гоаао я уиа иии З.л Кооэлиоатм узлов к р к р 05 ге Ю ! 21 1 ЗЗ 1 23 1 24 Од !е В табл. 2,5 выписаны координаты узлов к в у.
В табл. 2.6 дана связь между локальвымя и глобальныии номерамн уалов, а также >казаны характерные раэмерм и, Ь и с для каждого элемента. Подстановка величин а, Ь в с нз табл. 2.6 в уравнение (2.56) приводит к следу!ошей матриие «оэффипиентав А: 10 0 л! (2.9!) и Обратвая ей метрика В имеет вид 1 0 0 О 0 — 3 4 — 1 О 0 — 3 0 0 0 — 1 2 — 4 2 0 0 4 — 4 О 4 0 2 О 0 О 2 0 В=А -1 (2.92) Теперь необходимо вычислить интегрирующую матрипч С, элементы ноторой заданы формулой (2.90).
После подстановки Подстановнв выражения (2.87) в (285) дает 1-а ч-!им!о 1,- ~ ~ 5"д"бдбй--с. 4(-Ь)"'~ -Яттрр(, ! -ь е-о (2.88в) Аналогично может быть показано, что 1- ч — ! шаь 5"3" дд 33=.-"- [~-Я"— „'з,,-~. (2.885) хо»-о Подставляя выражения (288) в (2.81), получим Вычисляя выражение дп т!шгй(жг+тг — 2, л,+ л!)+ пглгй(ш!+юг, лг+л! — 2), (2 90) получим искомое значение (2.73). Для дальнебшей нллнктрапии формулировки в локальных координатах рассмотрим задачу о двумервом тепловом потопе Рпс. 2.7. Роиеиеиие «сивого ио ммоиь «о» ч»мх ,оиоитоз. через брус ивадратвого сечение (рис. 2.!).
Пусть облаем онре- дглевпв зздачи разбита на восемь шестиузловых треугольных элементев, как это показано на рис. 2.7. Таким образом, общее число узлов л на расунке ровно 25. о 0,5 1 1,5 о Де 1 '1,5 О 0 0 о о 0,5 0,5 о,б 1О 11 !3 1З 14 15 10 и 2 о 0,5 1 1,5 з о 0,5 ! ! — 0 ! з 1 1 О А = ! —— 10 1 1 0— 1 з 000 — 0 0 1 0 0 1 ! 1 з з 3 0 0! 0 0— 4 1,5 2 0 Дк 1 1Л 2 1,5 1,5 2 2 2 з Глава 2 и рзаиеззз. Рзрмуззрззз метод ззз е и зззьззез 7! Г 5 зха 2Л Ось!измен м жхт гз аа ьи ии и аьказьз з Рама тзаьь ета юрам размеры езиза з и гз*з !3 ! 15 3 23 25 !3 1 !3 3 !5 !! 23 13 25 а 3 3 !с !5 13 !3 2О !! 3 13 5 21 !3 23 !5 7 7 э э !7 !7 !э !е 12 ) ! е величин а, Ь и с (нэ табл 2.6 следует, что оии одинаковы для всех элементов) в иыражеипе (2.89) получаем Ь(е,л)=е)п)7(гп-(.я+2)1, а=1, 2, ..., 8.
(293) Наконец, подстановка выражения (2.93) в (2.90) дает тре. буемые элементы йь. В программе дли ЭВМ величины Ь(е, л) аычислиются испо. средственно с использованием формулы (2.89) и известных зна ченнй е, и, л, Ь и с. Нулевые значеии» е, л, а, Ь и смогут при. вести к ошибке, если в программе не позаботиться об этом зара.
нее Рассмотрим, например, случай ! = ! и ) = 1. Иэ табл. 2.4 следует, что е! = О, е, = О, л, = О, л, = О. Подставляя зги значении вместе с а = 1, Ь = 0 и с = 1 в выражение (2.89) для е= юг+ е,— 2 н п=лг+ ли получим Ые,+е,— 2, и,-1 л!)= 1 'ь гь !! ! ! — 1 — о) ! ! .!( .!.м — 2)1( тл)! ( .1- -)-з,д-лг)! (2.94) Попытна непосредственно вычислить выражение (294) в даа. ном случае привела бы к сообшению об ошибке в программе, ! так как член ( — 0) ' ' (здесь оя получается равныи ( — 0)-')- ие определен Эта трудность возникает, когда выражение ег + + е! — 1 имеет минимальное значение, равное — 1, т. е. когда е! = е,=О Как видно из формулы (2.90), выражение (2.94) иЕ нужно вычислить, если произведение еге! равно нулю, т.
е. либо еь либо е! раина вул!о Таким образом, эта трудность может быть преодолена посредством проверки на равенство пулю произведеииа е,е! и эмчислшиия члена Ь(е,-!-е! — 2, л, + л!) только а гам случае, когда эта произведение не раино нулю. Аналогично величина Ь(е,+ т1, и!+ л! — 2) аичисляетси только э том случае, когда и,л! не равно нулю. Применил описанную выше проиедуру при вычислении иы.
ражеиия (2.90), получаем матрицу 0 0 0 О 0 Ь(0,0) 0 2Ь(1,0) О 0 Ь(0,0) 0 0 2Ы1, 0) 0 43(2, О) О Ь(О,Ц Ы),О> 2ЬП,Ц О О 2Ь(О Ц О 0 Ь(О, Ц Ь(1, 0) 28(1, Ц Ь(0, 2)+ Ь(2, 0) 2Ь(1, Ц (2.96) которая в результате вычислений по формуле (293] принимает вяд О О О О О О О 6 О 4 2 О О О 6 О 2 4 О 4 О 4 1 О О 2 2 1 2 О О 4 О 1 4 О=— ! !г (2.96) Выгислеиие произведени» В70В (2.79) с испольаоваиием (2.92) н (2.96) лает следу!ошее еыражение для элементной матрицы жесткости й: — 4 1 16 — 4 — 4 3 — 8 0 0 0 0 О й = ВГОВ =— ! а (2.97) Очевидно, что эта матрица сиыметричяа. В качестве упражно иия оставляем доказательства гого, что матрица й при аахаином порядке локальной нумерации узлов в выражении (297) олииакоиз для всех элементов.
Замене локальиыч аомеров узлов глобальными позволяет объединить матричные уравнения гшементов и чатричиое )равнение системы Можно проверить, что матричным уравнением системы цосе учета граничных условий Дипихле, согласно первому правилд из гл 1, является уравнение (2.98). Неиыписанные элемеитб матрицы иозффи. циеиюп в этом уравнении раины нулю. — 4 1 0 1 — 4 0 ! — 4 — в о о 0 О 0 16 Π— 8 0 3 — 4 — 8 — 4 16 0 0 23(О, Ц 0 22(1, Ц 4ЫО, 2), Вариаешмиаа Фопмрлююезл м гада колезимк элемюааа тз ВВВВВ УЯЯУУ ю (2ЛОЗ) гл м' (11 ч 1')ч пЧВ (Х 104) матрена пробных фуньпнй и р сю (2104) шпана в локальной сепсис «орд и т.
Дзм па умник ма рю робиых фупкпий в г оба. иой системе орд н т юзжно иеною ов ь ло и иий подюзд. Далее маж о а и ю . б равенство (2104) д я и луч юы втр . поде аноаку (2лез) в (2Ю) для пшу е х' в вил фушвин уз мх . и й л птв. За и. при обе Ъиеюз о ую, пр нз дны дд]дг ис. по зунлсп и ур » и н (2.20), котла а пр лсэ гк г абюдлл ш можас полу!в еи гаые магричкые ур шн дфду' е ф рис, паю нчиой (2.ЗО) Подход пробных функцвй чисто применяется на практике, па следует заметить, что вычисление необходнммх.ннтегралов в этом случае не так просто, кек прн использовании мнапшленов, по крайней мере в случае применения локальной системы каордпнвт, Существует несколько талон злементов (сы.
гл. 9), для которых представление через коордннатвые ряды не так легко па!учить. В таких случаях предпочтнтельвее подвал с нсполь. зованнем пробных функций. Уира ни* 2.З. Пок мите, па в двуисрио случае дл урвав н я Пуас. о а (2 4з] при и лелюша ин . июяиогс тр у о ьво о з.смен а ь ю юю Зл Зли Ляо ЗЮВ Ч и, (2. Мб] Решая уравненне (2.98) каким-либо стандартным способом, получвм слелующяе узловые значения: 71=50, уз=50, Тз=50, Т,=БО, Тв 50, Те=62,5.
Тт=826 Те=62.5, Т =-62,5, Тю=62,6, Тгг =ус, Тю= 75, Т!э = 75, Тзз 75, Ты= 75, (2 99) Ты=87,5, Тп 87,5, Та=87,5, Тзз=87.5, Т„=87,5, Тю — 1ОО, Тдз — 100, Ттз 100, Ты — 100 Тзз — 100 н, наконец, находим требуемое решение в точке А (рнс. 2.7): Т 5 д — Тц = 87,5'С. (2.! 00) Зв ечаняе. В рассмогр вней выме фор ул ранке намотав пробных фуннн й омно нспшюо т вм сто ио *и .ь мх ридов ннтерпо яввонвугсеюв (формула (2.10]1.
В пад *д с нсп и,зоваине пробвмх фу пнй эмражеиие( 220 аж т бмз эшнсаи в иде (1 1 ч !' (ч чЧ . П летие яя а сагласво фор у е (2.бй], иолу»им выражение уз =11 й и 1' йи ч'1 вт; (2. 102) «огарев может бм аапшанс врез пробные фуиннии у' я'т, 74 Глава 2 в г обальноз свете координат и 12,)06) и, в локазь ой снсшма координат. Упрашиенае 2.4. И, эуп пслннамнвльны* ряд «к рвзл 2 ! 2. пестровы формул р у тош коюч х эл ментов лл и аной пробкой Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
