Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(1.68) Уравнение (1 67) можно также переписать в форме Ку = й. (1.69) Видно, что она имеет такой же вид, как и уравнения (1.12) и (1.84). Уравнение (1.69) мпжет быть решено последовательным псктюченнем, обращением матрицы, итерамиямн яли, что более удобип, одной нз стандартных библиотечных матричных нроггедур, нмеюшнхся для большинства вычислмтельных машин Введение условий Днрнхле так, как описана выше (см такгке замечание 1), прнводит к тому, что симметричная матрона системы К в уравнении (1.66) гйдяег сваю симметрию, как это видна нз уравнения (!.67). Симметрия может быть сокранепа, есл» для введения условий Днрихле использовать метод Пей. иа — Айронса [12).
Оба-подхода кратка излагаются ниже. - ("д . (ь " !"д 3 м ание 1 и 1мо ораэаю дае уюевмх огчек с усаоэиамв днэихле. ешн р — шел, е отоном уыоэое а ее» элаег ею, г т и, тс пров луза А н устое З днэих. г ма*он иое урэенеенс спет«ми сос он а сзелуощ '1 См также замета иг 1. Чтобь у сесть заданные, граничные условна, необходимо заменить первое н (и+1)-е уравнения на равенства (1.68а) н (1.686) соатветственво. Этого можно достичь' ), ва.первых, записью елнинпы иа диагонали в первой и (л+1)-й строках в первой слева матрице в урааиепнн (1.66), во-вторых, записью нулей в остальиык позициях этих двух строк и, в-третьих, заме.
ной первого н (и .!. 1)-го элементов в матрице после знака.равенства залаинымн значениями у в первой н (л + ().й узловых точках. Результнруюшее могричиое уравнение системы имеет внд Г. э ! О О О -ш о о1 104 -46 Π— 46 104 — 46 ~ О о 1 1 Π— 46 104 К 0-46 О О О О (1.7аа) 3 юю 2 Лэ юба П.746) дх э)ду ' -в" у ' 11 706) гжй. РЕШЕИИЕ ИА ЭОМ 2 з., эцн В ц-ю « р ц! атрвчы св К Сносятся ну. н р » ц а» . ой э цн . а которую па, ша ся 1, э в Р-ю е ра у матр цы П внасяп й й рсе прв яя цю у лс и ючек е усвюя я Дврнщц Пращлур Пэйна-Айр нс»везения у, юй Днрняяе я ме р ур вювв спин а таит в с епую!и цс Гщв Р, зщэ тсэ Упав ДнРнте Р йю та ц кщ аый элщ э.ецю этрнв«Е сн я и р пвсц«н с а тнсэ чнюээ и ме т,,энба путем а эюанэ нэ араби фун цнй ю, атарм баю очн рюс «ярую Р Сс нн П это у ц цос юкыСв б .
в эай ючн~ абюша ноши ут ся 1) ерас с . ме пэ в бал шам юзя «ею 2! Ошс с и я '! ю ССпм сне ы аюванацв баэ е б тэ, в Р ссчюРн . пРНМТРТ Р.ы. Ят цж дх э)ддэ дх !!дую! н дх! ~дх э)дй 1 ~ест йэ,ээ! |~р, тнч аш . Нв цэ т наювюйн '! ф онана,ю э лаю (12) ди„диа 1 Пщ) цс а =. !.
1, Р = 1 2 — сю. щ нс р щ.а э счев» м трячна урсящюя р цеюют ыр и я н [с 1!.70)) " '" 'Э„"-Яй,',"=Я(й)З) ~"."П)й). ™ (112 ! ц юмцоп юсмю, прншм е . й зз разя ц ю м ае амс быть !) У.яавымн в рэ трам т ца уээаэ могут бн юба э ня фун . ")С нрщитя А. Т! Дяя пр аты, пев и я ср в цСп к нщ Рюуме цям, ны б!я ю. ю б р Ос азяме а п мешая кансмн.ю эы инее нивами е 1я. исяаяюуя четыре юсцеата равняй к вны в Секаче, рас. ематревнай в раею 1.2 1, вычислим эяементнне матРа вые уравнения с у тои равенств П.70). Обьецн Р т е уравнюн мышата са. а равен тву (1.60) покаювш, чта матрена системы К а учета условий Дыр юле имеет вна 02 — Ю о о о ) — ш ни-ю о о) К 0 46 104 — Щ О (йэш) 0 0 — Ж 104 -46 о о о — щ Ш Испелюу» нервов правим пяа уэлоямх цюек с усы н мв днрнтле, вака.
в е, что матрица с ше ы К равна а еаатееютвуююан матраца П в ест д -[ Испо. у тарас правило ц я у а ы очек * условия Днрнкле. зевкам т!ювн м с !Тзаяця э эту сакс"у в емнтс, чта Стансе сястс м К сета чая Тимм Р вай Если рассметривается талью несколько элементов, то конечно. элементное решение одномерной задачи из предыдущего раздела иажет быть вычислеио'па ручном калькуляторе.
Если жс используется много элементов и, в частности, если оии имеют различную длину, то в этом случае элементная матрица й не является общей пля всех элементов и становится необходимым решение задачи нв ЭВМ. Препставлеинвн ниже программа лля задачи из равд. 1.3.1 включает номере узлйв 1 и 2 в элементном матричном уравне. нни (1.70); вычисление величины й, основано на выражениях (!.70).
Для получения матрицы системы К используаюя процепура объединения цо элемеытал, описанная ренее, т. е. элементная матрица й каждого элемента прибавляется к системной матрице К сразу же после вычисления. Эта объединяющая пРоцедура эквивалентна сложению расширенных элементных матричных уравнений (см., например, (1 бп)) согласно обьелиняющему урввнепню внпа (1 11) нлн (1 00). Так как з рассматриваемом прнмере точное решенне (Р = е') известж), то ОС 44» йс»Я ИЯ» бдй «Ог»»«и» Г. !М»той 1Е с с 2С с с 18 с с ы с с Р»сййА РНОЧ (Ейг !.О (Рп!. РЕЬ.
*Рбб) оп»и«ге» ° (гс) ь (гз ы).и В(гэ, ).Ягб(г.з!.«х»аг»(гэ)шея(се) 1 гп!А» ВЕ О Е Е 1» Ь ЕБ Е О Н ОН«А !Ы! ..... М !П!* »«э! а ООЕЬ и ОЕ!1 Ш ЕР Й О! Е!ЕЧ ....,!»! * ссанош еь Ан! ы о !» 0* * «пояс... НЕЯО ! З,г« ) ! \, «( 1), 1 . ШО1» ! О «* !С()З.»», 1!' 101»1 ЧЧПЕ О «ООЕБ ЕБ А! Го О ЙЙ!7»(ь зв) и»01» а»у !)/ы «,гг 0 маей пг поев.(з! !О Я 81» О Е!Е Е 1Е !В 1»ЕЕО О ОЯ«А ! ,2Ь О * Еб О Е ЕМЕ» «.1>\ Е » СОО"01» ЕЯ М " 1 ЕО О ! ОЯ ЯЫ ООЕЗ. Йй!)е(ь'94) гон«»1(//.
»,! . ! Оосс »с ш споншн те«./! »1 СШ.ЬС) ГОРМАГ(,!С ООЕ 4(Ы ООЕ !) »1!Е(Ь.7Е! !1. (1).1 »,Н О)И) О» ы(! .14,)7,2, (!7. 7.2))) величина ошибки в пропентак как часхь выдаваемых результатов печатается дл» каждого узлового значения. Программа работала в режиме разделения времени н не ап. тнмнзнровалесь. !Лд.!.
Пзегэамма дпв ППЫ ..11 ! ! Е Е Е Е1 ОО,Р»ООЯЯ ЙОЙшшн ш»н пйо!и Р 0(гггяшшм сап»ма», !М»ЕЬ »11»б йтй!ЕЧ ЧА(НЭ* ЕЯ !!0» (Б Вс!Ч!О бг»8 с гш»о а !еи»я в«Во!!м ш с с ,.... ! О .о !»а !ь ° . !я О в «йо в вш..... с С 901 01я ае О! Опеь га!»ПНС!Н С 1!ЕМС»ЕЬ СПОРО!Н М 01 00! ! с вгг! 1 С »- С!!МЕ ! В! ! С Е ЕМЕШ « с Аги!»»0» а!!Иа»оо! !об»!!Гге»э с я ° ! б с вг! с с вя!!! 8»п Нп !ЕРЯ И й ВНОО1»И1 йЕО с !о ао! с ! ! с ыес Атй!» епояыо» С Е !1 ЕАСЕИ! 01 Е Ой !» !Ы Вп »110» чом с С ..... С Я ВЕВЧ ЫЫ бп !О О*) Во багз.....
с с С,....тия втв!ен к штАхх Аио гнс Рза!п-н»но «)оя О пятых *»с !ихтишжо то гсяс..... 00 98 1 1.Мгоги Оп Вр Э 1,ИРЫЯ вв вты.л-э.а гс Яиа(1,!) В.з с с ° .....тис сы«гит к )мтптсеп Ане овгижс шо мы!»вша с ГОР яб! ебенеи1й *ип тне БЕВ1ем х»»тй1х 1Р р ОВТЯ1»ЕО ОО 1Вз 1 !,НЕЕЕ» сака Х(ш!)-»(1) атц !.!) СО«9/э.э+(.а/спет вте(1,2).сагг/ь.э-!.Ршаш йтЕ(2,1) 81Е(1,2) 6УЕШ.с) агшг,!) 81(1 1)"Бт(1,Х) Вгс(1,!) Бт(1,1 !) Вт(1.1 1)беты(,2) Вт(1Й(,1) Ят(1 1,1) Бге(2,!) Вт(1+! 1 1)»т(1 ! 1 1)»те(2 з) Ея с с с с ...,.тис оютснит есоиояйт сс»ог!)сна я»г швы!го ги тне Ршнг-нано атос шгнж ио тн! э!атем х иыях» тя саянестео,"., 1«С».ИГО!И-! оо ыа» 1,»гши.тмсн Оп !1«1ЙМР01» ст(1.4)-а.й вты .!)-!.а ННЕ(1,1) ЕХР(Х(1)) 119 (ы с с .....тне агат!» гытйзх евюыав тв еасиео с«хна тне б(А«ом)0 ьээям(т зсвнпп)хиг !еяг(рб...б ММ \ таст р Н 2Р сясь глзшг(ят,мс.шахи,ии ппг хост,Вся»ей,хщ) с с ....
ТНб зобп110И НАВ ВЕЕН ОР)А1ИЕО Амп 18 РР1ИТЕО Опу »н !та ь, ! ээ ) !зИ ГОН»»т(//.Эх,эзн тне йп!Отгон н»а аш» па!шиш) магга(ь,(Йс)' (4« ГОР«АТ(//,1»,эьн 7не »осей АНО гнети Гоис!10и »жОе»,/) «Я 1 !Е (б, ! Э Е ) 194 ГОН«А!((»)14» «псе ч»спе,э(!Вн «опт Чмш )) ЯР17Е(6,16Е) (1,»Н«(1,1).1 1 ЮО)м) ше гони»г((7»,14,9!В.э.з(!В,г)«.1))) С ' .....гнс РЕ»сент»не г»»ая»»»е см.сж»ып мш Рп1В149 оот... 00 !7«1 1,»РО1» !94 Рея(1) Асс((янБ(1,1)-е»Р(х(1)))/е»Р(и(1))! !ЕВ,В Пйх!Е(б,1««) !84 Гояч»1(//,гх,гбн тне РеРсеигясе еннсяс Ре,/) пя1те (б. ! 9в ) 19« ГО4»ят(!х,1эн Иссе Рен.э(16! Опе РЕИ)) ЧН11Е(Ь,ЕВЕ) (1 РЕЯ(1),1 (,ИРО1») гас Гоя»АЦ(1» 14,99,2,1(17.»9,2))( Бтср Еио ГюОО 1 З7 (1.7б) 2 =1 14. 1Г щгщ 144ь 1.Ед.к Наедине я а 6 !.З.з,а.
Рют атм РВВеива Г е !атис ичиаеи ОГ иаоее т е !атис ичаВен ОГ еееюеигв 6 тщ иооее ша тиеж х сааивгютер ИООЕ ЕОЬЕ Х 4 .ье 5 Г.ез ООЕ Х 5 .Эз Е 6.66 Э 5.56 Е ТЮ г.ев тие аоштгаа юз ахеи автбшш РГ«-РГ йм ххшВ иове Ое(ае Т.ТОМ 4 Т.ВТЮ Т 539 тие хенсенШОе еИЙОм яие (1.78) Для иллюстрации работы программм яиже представлены ахал. ные данные н результаты расчетов дли шести неодинаковых зде- ментов. ь ! 6.6 ее Т зВ,З 4Р,Е 5 Т.Е * .5 Тг.е тие Новее иа т егн Г нстТО ХАьнею ОООЕ Г'Е Е ИООГ ХХ ОЕ ИООЕ Г.аеВ 5 В * 669 6 4,464 ис ИЕН ИООЕ ОЕИ ИООЕ ВЕН ИООЕ ХЕИ В.ВВ Е 59 Э .46 4 .69 5,56 Ь .44 Т В ЗЕ Т КЗ.
ФОРЫУЛИРОВКА З ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ В предыдущем разлеле представлены многие нз основных понятий варнацнонного метода конечных элементов. Матричная формулировка была основана ва фиксираеаииай О! системе координат, показанной на рис. ! 12, а представление через базисные функции для каждого элемента (» соотытствующне уравнения) записывалось в одной н той же снсгеьТе отсчета. Такая обжал система отсчета назывветса глобальной систеиав координат, Другой надхад, дающий более. краткую формулировку, лля получения элементного магри!нога уравнения требует арине.
кения лака ьиод шстемы каордииац специфической для каждого элемента. Механизм н аревыушества этого подхода стантт понятны, когда мы решим рассмотренную выше задачу с нсиаль. зованнем локальных координат. Огиаеие Оа Хгю В тода оибоии юмюВюВ. На рис. 1.13 показаны для элемеата е, локальная Ой и глобальная 01 системы координат. Соотношение между этими координатными системами Лля элемента е, амеет вид где 1= 1, 2, ..., л, Соотношение межлу двумя координатными онисаннямн часто называется иреобразаеаииел. Отметим, что сдвиг начала координат от О к б не влияет на узловые параметры Ри Вообще, Узловые значения функций Рис.
1.1Э. Лммаьюаи сип ма «Оораи 6 хи охюа Вэного 44е е — О ! ТТ вЂ” 'ЮЕ ВЕТ ОГ. остаются неизменными при переносе начала н повороте осей системы координат. Оливка узловие производные, оставаясь «еизменнымн Ори переносе, изменяются при вращении, Длину элемента ег обазначнм А", где А'Г - Тью — 1ь (1,7б) Выбирая линейную аппроксимацию для р внутри элемента ег, можем записать р'Г в виде дг=-О1Г+агй, О~в~А!, (1.77) где ОВ а)à — настоянные, различные для каждого элемента, которые могут быть определены через узловые значення Р, и УЕ ирн 5 = О н (=А ' соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
