Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Использование выра. жеиня (1.77) ирн $=0 н (=А ' дает р,=а,й р,,=а,'-(-ае'АА Г ее! Осзаезые заззтиз легеза азз лаз зызз юе Уравнение (1.78) можно запасать в ыатрнчвой форме (1.79) где пля удобства опущен верхннй нндекс ег. Уравненне (1.79) может быть записано более просто Аа= у', (1.80) где Г1 01 А=]а„] [ ], и=1,2,в=1,2, 11 Ь3 Га~ 1 а (а]=[ ~, ш=1,2, У (у]=~, ш 1 2, !.Уму .3 (1.8! а) (13!6) (!.81э) Инжнне нндексы ш, л соответствуют номерам узлов элемента.
Легко видеть, что определитель матрнцы коэффициентов А ра. веп длине элемента Ь. Тзк как она ннкагда не равна нулю, то матрица не выраждена, п, следовательно, может быть вычнс. лена обратнев мвтрнца ' В=А (Ь „]= — [ ~, ш=1, 2, п=1, 2. (1.82) 1 Г Ь 01 =эгй ! 1йз' Умножая аа 8 уравненне (1.80), получим единственное решезне а=А 'у' Ву'. (1,83) Подставляя соатветстзуюшне элементы матриц нз уравванвй (1.81) в (!.84), определнм аг н азу 1 .
1 аг=уг, аз — з Уг+ г,у1*г. ') НаВРИ Ед ЕЛЕ З 1 З, ..., 4. тс Среяе 2, С злг Сгш, + е- +сзззз+сззгз+се!«з, н еыз з 1, з, з, за - 5 а =. +а .(з )д! Исдользуя стандартное обазначенне суммнроваяня повторяю. Шямся ннжннм инлексом '), запишем типичный элемент а ввиде а Ь „у„ш 1, 2, и 1, 2. (1.84) В локальной снстеме коордняат пробная функпня р внутрн эле- мента еь согласно (1.77) н (!.86), опнсывается вырзженвем УО = у, + ( — †„ у, + †„ Угь,) В О ~ $ < Ь.
(1.86а) нлв Р'г (1 — — „) У, + — „Уыь 0 ~8 ~(Ь. (1.866) Уравнение (!.Вбб) можно, конечна, получить нутем простых выкладок, однако в тех случаях, когда имеется больше двух узловых параметров для каждого эаемента, матричная про. цедура, введенная выше, более удобна. Уравнение (1.866) можно также запнсать через базнсные функции, нмеюшне форму (!.48а), но заданные в локальной системе каардннат. Получая выраженно пробной фуззпнн аа элементе герез ега узловые параметры (ураввенне (1.86)], можно падставнть зто зыраженне в элементную форму функцнанала, для тога чтобы получать элементный вклад д'д Однако в том случае, кагла пробная функцвя — многачлен, элементный вклад д ' н зле.
ментнае матрнчное уравненне дд"/ду могут быть получеяы более непосредствеано путем представлення у ' з энде ряда. Этот подход не требует явнога определенна базнснык функцнй в (1 866) н.дает простую процедуру ннтегрнровання для злементнаго вклада й ', Из.за зтнх пренмушеств') указанный подход нспальзуется в да.чьнейшем, однако необходима заметнть, что эквнвалентные матрнчные урззнення получаются с помощью Лругнх процедур. Пробная функция Р" мажет быть представлена з анде ряда следующим образом (см (1.77)]. уй= ~ад ', П.87) где (!.ВВ) т,=О, а верхние нядексьг у а~ н аз опущены, Днфференцнруя (1.87) па з, получнм ддпггдй =- Я аялД ' (1.89) Испальзаванне преобразовання коордннат в (1 78), очевндно, дает для элементного вклада (140) в локальной системе каор.
'! Оззсузутаызадз,есз а» ть !эрза ензе !13. О юани шллгш яеюда «алчна» этаеяюе ч! двнат выражение (1.90) Подставляя (1.87) я (1.89) в (1.90), получаем для тнпнчного элементного вклада ь г е — ~ ~Г ~[ив!!"1+ 1-1-алггшгтг["1+"1 ')йб. (19!) е г-11 1 ,Зто выражение может быть записано в виде суммы ннтегралов путем перестановки очередиостн внтегрярованвя п суммврованн»: э э ь э х" = — ~ й Ка аг [~ 1"'+ гйй + ~ тгглг! '+ 1 ~й(~. (1 92) 11 1 1.е а Ввода обозначение йи )! ' 1й!+тгтг~й '+ 1 й(, (1.93) е равенство (1.92) можно записать в виде х" — —, ~„~, агйиаг, (!.94) г ~1 1 чта является яаадрагичяой фирмой (см.
приложение А) п может быть записано более кратно х"='/эа Са, (!96) где а определяется равенствами (!.816), а величина С = [йи], опрелеленная равенствами (1.93), называется э еменгиой илгэгральиой митридей Выполняя интегрврованне в (1.93), получнм для типичного элемента матрицы С выражение гэ 1.1-1 которое, очевидно, симметрична и, конечно, второй член справа равен нулю, если т нлн тг равны нулю. так как эначени» л, т, и тг нзвестиы, то интегральная матрица С мажет быть вы.
чяслена непосредственно по (1.96). Подствнавна (1.83) в (1.95) позволяет предатавить элементный вклад через узловой элементный вектор уц Х'1 = '(э (у') В СВ (у'). (1.97) ~ ЗХ 1/дуг (1.99) Более удобно записать равенство (1.98) в виде дх")бу' =йу', (1.100) где элементная петрила й определяется выражением й' ВгСВ (1.101) в равенство [1.!00) оказывается елемеигимм матричным враз пением. Для вллюстрзцпн приведенной выше процедуры разобьем область 0 ~ Г ( 2 н» л равных интервалов, так что длине каждога элемента булет Д=Д" =2/и, 1=1, 2, ..., л. (1.102) Полстановка (1.88) н (1.102) в (1.96) дает для ннтегральной матрнцы С некоторого элемента выражение з* Вычисленная матрица С является обшей для всех элемевтов, так «ак длина каждого элемента одпв н та же.
Подставляя (!.82) н (!.1ОЗ) в (1.!01), получим выражение дчя элементной матрнцы Ш "= м [О (ИЗД 6+ййэ1[ — 1 11= Г23'-1-6 Дэ-6 1 — П по4) С учетам (!.102) равенство (1.104) можно записать как функ. ДНЮ Лг Г 4+ Злэ 2 — Злэ) Ви [2 — Зл' 4+Зле)' (1.106) Днфференцяруя зто равенство по узловому вектору у [см. приложение Б), получим йх'1/ау' =,(в'св) у', [1.98) где Гл вл 1 42 пинает впд (1.109) а с с о о с -ас 1 ! о е -оо о о о о оо- с е ос о о Ут ! (1,110), Юввтю Рлв ЮМ3 (т.ют) м" о о г, ( ( бл; лу;'1 (!.И2) от ° ' 3 — 3' 2-ЬР втб 2 — 3 2-3' чтз" тнкнм образам, элементное мнтрнчнор уравнение (1.100) нрн нлн, если ее расширить до размеров системы, Шпмбм( плюше( 3 Сосст'2-3'сев П Н " Е 2 — 3' 433т О О О ор ° О О о о- ое о о ° е О О ое-.о э о Аналогичные результаты можно получить длв остальных элементов: Фактически, так как матрица 2 для всех элементов одинакова, четыре элемента в каждой матрице й одинаковы, хотя появляютсн в разлнчнмх строкак л сто.тбцад.
Объеляняя элементы соглвсно (!.60), шо совпадает с сум. мнрованнем расшпренныз элементных мвтричнык уравнений для всех элементов, получим матрнчное уравнение системы 4тт 2 — 3' 2 — 3' В+С' 2 — 3' -' — 3' е в 2-3' 1 2 — 3' Этб' 2 — 3' б (1.108) Нэконеть учет грвннчных услоннй Дпрнхле, как п прежде, дает скорректированное мвтрнчвое уравнение снстемы (1 67). Для дальнейшей нллюстрацнн методе рлссмотрнм область, разбитую на два ранпыд элемента, т.
е, и = 2 я й = 1. Вычисляя скоррентяравапное матричное уравнение системы, получвм вы- Оаювюи лоллтлв м юдл юютчма олемтнюл (В рвжение — 516 — 5 рт 0 н, решая его путем абращення матрнц, нмеем Р' е 5 1 5 0 2'622 В табл. 1.1 показано, как увелнчепне числа злементов павы.
жает точность решення. Гтб Чл 3.3 теч ост ввв фупневя чвслв вломе ов Упрв тцз. И (1деб) жвнл о, ч о бв н т фун«лнн, ллв Р' У(-1-(бтй), У;-!(й. (1.110 Испплюун 1 н 2 в «нчытвв номеров умов, пончмнтм что длн эвдвчн, рв ° с трсннпй в р зд, 1.22, тлтмсн м йл эюмтн ной мотрилм й в лон л й сесине ноорлннвт нмсют внд в превер тв то Шм в рзюптз вченввтов влип В велпчонм йп тв пк что в рв ен (172). Упрв вююе 1Л(. Поввмиы, по.
прн вт рв ьтеммпв ровней длин с рре «р в* нов втрвчвое уревневне свствмм юы лолвчн, рвссмотренн й — О -22 о2 — Ю О р О . (1.112' 3'маа 1 6' ,- КЬТЬ у 2,718 (!.Н4) 6 Рнд 1.!4 Локальная свс емз коорд ллз редувловап пенс»*л з . Решнте зы урэвнены ва еяавэте ьным ветл« е вем и в в -.кба другам см«або в проверьте, та решена и «влзюсв в «тор увышсвенне !.12. Испальзу» «аадратнмую «раб ую функввю б' а,'й-а,'!+аз'! (1.НЛ) в оке ную скстему аардннлт. наказа«ну ня рнс. 1.14, вокеыпе, чта А н В, сытветагвуюш ура венняч (!.81) н О.Ю), н еют внд 16 01 А ! —, —, В лт~-ЗЬ ьй — Л . (1.нб) 1! „, 2 -4 г Да м, вмюдя уре пенне, зяэлопиное (133), л «зжнте, что для н«тсгрмы й матрвпм б спрзвед ео выражение Г Ю ЗОЬ »ОЛ' б — ~ ЮА 20Ь .(-66 16Л'-(-ООЬ (1.Н7) МШ' 15Л'+ 6ОЬ 12Ь'.(-ЮЬ 1 После мого праверме, чта э ментвея мэтрапэ Ь мй звл Г 4Ь +70 2Ьз — 80 — Аз+ 16') ъ 3705 1 ~нл*-бо нь'+)во »ь'-бо 1 (ига) -ь'+16 нь'-ю ьл'+то Упражм е 1,13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
