Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 3
Текст из файла (страница 3)
зо -', о, ао -Хо, зо -'. о,-хо -',о, зо -',! юд. что в хоме 7 на»рнж нне равно нулю Прн решении этой авдачн ксполюуй е оба окосев». Укаэанных в улр жненв» 1.4. (Огеег; 1, 1ОО А, !,=ВО А, ! ЗОА) 1.2. РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В равд. 1.! для формулировки матричного уравнения системы простой шарнирно-соединенной конструкции использовался ме. год перемещений.
Этот метод ыожет быть распространен п нк другие конструкции, если только связь между силой и деформа. цией лля влеменхюв этих конструкций сохраняет форму (1.б), хотя н может быть значительно сложнее, чем (1,5). Распространение на трехмерный случай осушествляетсн просто, ио приво. дит к соответствующему увеличению размеров матриц. Даже в наиболее сложных случаях общяя форма магри им!го урзвнеиня системы имеет вид,(!.15). Объединяя векторы Р н й, итоговые матричные уравнения системы можно свестн к стандартной форме (! 12). Мюол перемещений, однако, был не первым матричным ме.
годом, предназначенным для анализа конструкций Фхгрмули. рокка!], включающая лодоглнаосги, с нензвестиымн силами Гяэа ! Ос!за и ю иэ югэзэ оююю эя и аэ вместо иеремешений, была харашо разработана уже в начале 50-х гг., когда метод церемешеннй толька иоявился. Значительный вклад был сделан в 1954 — 1955 гг. Аргирисом (3), который наказал, что матричное уравнение системы иак для метала нвцряженнй, так и для метода церемешеннй мажет быть налучена путем минимизации цатенцнальной энергии системы. Внослед.
стени значительное внимание к аарнаннонной формулировке для колебзтельной энергии, использующей метод перемещений и )лобной лля црнмеиення ЗВМ, позволила получить решения широкого класса црактических задач с точностью, ранее недо. стнжнмой. Метод конечных элементов вцервые был применен в ниже. нерных црнложеннях в начале 50-к гг. Были цредирнннты но. цыткн ирмменнть матричные методы для днскре7иых структур к непрерывным структурам путем разбиения' их иа конечное числа элементов. В 1956 г.
группа Тернера нз Вое1нй А!гс!ЯП Со. (4) аинсала процедуру такого тица, включающую некоторые характерные черты метала конечнык элементов '). Последовавшее затем быстрое развитие этого иадхода ахва тило широкий класс задач в строительной механике н механике твердого тела. Расцрастранеине метода конечных элементов на другие задачи было предиривято в начале 60.х гг. нз основе вариационно!о подхода. Совсем недавно дацолиительно к вариашуаннаму методу коиечныч элементов, нотарый можно назвать классическим, начали иснользоватьсн другие методы конечиыч элементов.
Наиболее известные из ннх — метод Галер«оио, который являетсн частным случаем езззюениога метода незязак, меюд наименьших квадратов, процедура, называемая пряным метадон, и метод глобальнога баланса, или метод Одели Вот некоторыа нз областей применения метода конечных элементов летательные аппараты, автомобили, сула; стальные а железобетонные ьюсты; каркасы элэний, влияние землетрясений на илатины н дамбы; ьтеханикэ юриых парад, иластнчиость и мехаиииа разрушения конструкционных матервалав, динамика затопченных конструкций, композитные материалы; вязкие, Ло. звуковые и сверхзвуковые течение. флаттер; звуковая ломанна; акустическае паля, электромагнитные пола, цроектироваине б.
э а арах:маюэ эте, юке (хата э од ару им ваня м). В !9яа г Кура г (б) аю эз Э Юлуру Э ш зх, ое ою жую ( рнах омюи) ира аиее ми а. уи ю иахзаьа Э эа Э и, и х уа з» Х е ю«р хиюи а тр ую.ьюэюэм эаа эю, е оаэ Сю 1.3. ОДНОМЕРНЫИ ПРИМЕР ВАРИАНИОННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ВЛЕМЕ1ГГОВ В этой книге булут рассматриваться только тр» варианта метода канечныч элементов вариацнаиный, невязок и црямой, хоти существуют н другие формулировки (12, 13). Вначале на нрастаь! одномерном црямере иллюстрируется нсцальзавание еариацнонного цодхада. Рассмотрим единичную массу, движущуюся лод действием силы, цроцорцнональиой пройденному цуги у.
Если настоянная црацарцноцальнасти равна 1, то движение задается уравнением (д! у)д Р) — у = 0 (1.35) Требуется найти нройденный путь за ирамежуток времени от ! 0 до ! =- 2, если дана Р (,, = 9 10) = 1, Р (,=, = Р(2) = ' = 7,339. (! 36) Яз.!. ОснОВнАя аорыулнРОВкА В вариацнонном методе конечных юементов вместо ацределяю.
щего уравнения исцсжьзуется эивнвалентная зириоциоииил форлрлирозко. Для рассматриваемой задачи можно наказать, цользуясь зарнзшгоииым исчислением, чта решение у уравнения (1 35) совпадает с функцией, минимизирующей функционал (1,37) арн усзавни, что иробиие функции Д нсиозьзуемые в (1.37), не- црерывны, имеют кусочна-непрерывные иервые иранзводные и удовлетворяют ~лавным граничным условиям (136). магнитов; газона» динамика цлазиы; цотакн в ядерных реакторах; движение ледников; тектоннческве двнженн» плит; наверх. постные и цодземные водные патоки; ираекюгроваиие нефте.
и гаэохранн.тнш; биомеханика, движение сока в леревьик; расиространенне загрязнений в морских заливах; ноееркностные волны! самовосцламенеиие, статистика. Быстрое развитие метода конечных элементов иллюстрирует увеличение числа ацубликованных рабат за последнее десяти. летне: Гед ззз Ччсзь эзб г 19Ю 77б !972 !996 !шя 2заз !юб 2!за !97б збоо !979 7!!б вт Гла л 1 Х=КХ". (1.41) (1. 42) ( л, а фо г, г, г, г., г„, где М' -[М,'г, МЧ,)=-[ма 3»„,) ', нхн просто (1АВ) (1.39) (1.49) (!АО) Область эвдачн 0(! < 2 подразделнетсн на л конечных эленелгое еь еь .
° ., е„н у аппрокснмнруетсн пробной функцией Рн. 1.!З. Р Е»ле лблллтл лл л к а ннл лллнел*е, внутри каждого элемента (рнс. 1.12). Функцновал Х может быть запнсвн в виде следуюией суммы элементных нятегралов: Х =-Я [(РР+ Е)')ьау+ +-,'()[(р)'+Я)')" + + ... +-,' [ [(3)'+ [ —;у)'! йг+ ... +-„' [ Х гг )([(Р)л+[ф)) б!4- —,' [ [(Р)»+[ еру)) аб Пзб) 2=Х-, [ [(у)'+ ! — ".У,)')9 Определяя эленелтйый вклад Х'г как [ [(у)л+ ®) ) ац Оамлллм «аллыл лет Е еллынл э лл лыл равенство (1.39) можно записать в анде Выбирая лннейные дробные функцнк Р ' в виде .р"=о",+ай, 1,«1~(,„о где а',г, а,'г — постоянные, которые могут быть определены вз условнй в узлах: р '(Гг) =рг, р '(гьы) =у»и.
(1.43) Получаем «г гь» г»» г гл» г (! 44) а, = „, а »ю ы» Подстановке (1.44) в (1.42) дает з еменглую аппроксимацию для у в внве Р"=[»"' г )Уг+(-,— — (г-)Р»ьь !»Фаге». (1.4б) гь» Определяя коэффицвевты прв уг в уь» в (1.45) как баэнслые функцоо М н У;г» равенства (1.45) можно записать в виде алпроксолац й базосны.нк функцоанн» Р'г М;»У, + У" ,»дгл„г»~1~1»» (1.4ба) Необход»»мо отметить, что базнсные.функцин являются функцнями только незаеоспной леренелной ! н не завнеят от узловых коордонат (».
е, значений у»). Вне нлемента е пробная функцвя у ' равна нулю: р'» = а, если ! < Г, нлн ! > г„ь (1.4бб) Равенство (1.46а) можно запасать в матричной феоне» Р" М "у", (1.47) Велнчива М" называется нагрлцей базисных функций, а у'»в узлоемл леклеров. Если в каждом элементе больше двух узлов, но задаются лишь узловые значения фувкцви в каждом узле, то фариа апнроиснмацнн (1АУ) сохраняется. Олнако размерность Г зз! Ощеэ ь жнзэ ю гюли .мле з натрии при этом увеличится н будет равна !иолу используемых в элементе узлов.
Если элементы еь еь ° ., е„ выбраны равной длины' ), та 14,— 1,=(1„4,— 1,))п для !'=1, 2, ..., л. (150) Так как 1!=0 н 14! 2, то равенство (150) принимает вид' 1! ! — 1,= — 2)л. (1.б!) Подставляя (1.51) в (!.45), получим элементную прабнущ функ. пню уы в виде У '=(л(2)[(гг ! — 1)ус+(1 — !Од!4,), 0~1~1!ба (1.52) Подстановка (1.52) в (!.40) дает следующее выражение для элементного нкчадаг Х"- в ) ([(гльл — Одг+(' — 1~)уж)з+(.— д +дыЛд! (153) Интегрнруе, получим выражение з(ргл!-у,) которое е силу (1 51) сводится к Хи--,[[л-*.,+1)д[+[ ' — г)дущ,+( — ', +1)ды,). П.55) Если в (1.55) последовательно использовать подхопящне узла.
выс числа 'дл» каждого элемента, а результаты подставить в (!А!),,та 2 оказывается фрлкцисд )зловых заачепий уь дз, ...,у, ьт.е. к=2(дв де. ° д ° д д. (! .56) Из варнапнониога исчисления известна, что условия минимума для фуикпилнела 2 имеют внл ду)дрр —— О, р= 2, 3, ..., л. (1,57) Система (157) не содержит уравнений прн р = 1 н р=л+1, так квк узловые значения у, н д,, могут быть заменены консгаатамн в силу граничных »еловый (1.36) Граничные условия У) = 1, (! .58а) у„! = 7,369 (! .586) и л — 1 уравнений тнва (1.57) дают л+ 1 уравнений, которые могут быть решены относнтеаьпо узловых значений уь дз, ... у гвыма * абь и чж. ~шэ (с, ьа рэ «р гараж с пс 1 3) ..., у,ы.
Более удобно, однако, получить минимизирующие условии для всех узлов, т. е. ду,)ду =О, р=1,2,..., л+1, (1.59) п заменить потом подходящие уравнения граничными успениями. Здесь будет использован этот подход. Используя представление !!.41) для х через элементные вклады, уравнейня (1.59) люжно записать в виде дуудуэ= Х дк"гтду = О, р= 1, 2, ..., л + 1. (1 60) Суммирование в (1 60) проводится по всем элементам, хотя да.
статочно выполнить суммирование лищь по элементной окрестности, т. е. па нвдсксам, примыкающим к р, тзк как вилады ат всех другвк элементов равны идлю. Например, пля узлового значения у! дают пклад 9 уравнение (1.60) тальиа ег, н ег, так как толька этн элементы содержат узловое значение дй [см. равен. ство (1.56) н рнс 1.12)эш Из равенства ( Гбб) для тнынчнага элемента ег получаем дд тддг 4 [2 (вл + 1) дг+ (дт — 2)ды!). (161) Аналогично для элемента е -! имеем ддг ')бр!= 4 ~(э * 2)узы+2(%к+1)уг)' (162) Подставляя равенства'(1.61) н (1.62) в урзвиенне (1.60) н замечая, что при сумынроваиин в ураввеннн (1,60) дают вклад только элементы сг н е~ г, условна мпннмизанни (1.59) прп р = ! можно записать в виде ду)др! = — „~(Пт — 2) у,-!+ 4( — л. + 1) ус+ „( 4 2)„-„,]=о (163 Не представляет труда показать, чта уравнения (! 63) справедливы при ! 2, 3, ..., л, тогда как для 1 = 1 н ! = л + ! имеем ')д =В(! +1)дй+( — '.'-') )=' ("') дт/др 4~ [[ эт 2)У +2[зт+ 1)д 4!)=0* (! 65) поскольку вклад в ду/ддй дает только э!, а в ду/ду ш — только е,, Подстввлпп уравнения (1.63) †(! 65) а (1.60), получаем систему нэ л + ! .чииейныт алгебраических уравяений, которая мажет быть записана в матричной форме (1.66): Ос ш«м пою а юде оиш мх юемгятоэ Зг 1 а Ь и а Ь а а Ь а 1 О О О О О О 7,989 Уг Уз Уэ У (д ("д (д (1.67) е Ь а Ь а о Ь а 1 У.-з У вЂ” г -(д где а = (1/Зо) — (п(2), Ь 14)йл) + и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
