Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Мсднфнкнрубт рогрэ. му дл ВВМ гад чтобы вс. пользовать вздрэпиный элемент вз у рвжненн» 1.12 места лн»саном ы ° О вяы аалят«л с ода ышшлм» ы лзлые мены Ре нт ар дыдушую залечу, в по зуя дм вадрвтнчнмз мементь одлнэкаэЮ мням, н прав рьте, что узловм и элема«яма будус Л срзтура 1 Мшж)е * О С, СЬеыб Т. К., Р пы е)мпе (ь Ь (Ъе м ЬОап о! НеЫ рыЫепм, Ты Елбглеег, рр. 607 — 610 (Зерг ши 19Ю). 2 М Ип Н С, Сзгеу б.
Р., А Вгы НмЬу о1 Г( Ме Е1ешепг ТЬ осу, ш (п(сосГ Вон 1 ГЬ(1 Е!еп и! Апа1Узг, М б ».Н51, Не«Т еЬ 1975. 3 Агыи' 3 н, ке!зеу 5, епшку тьеа ш пй Зьисыэ! Апл)у м, В !юга,с а'.Ню 4. тшпег м.3., с!овбь Й, ш магон н. с, торр с 3, 5(бь ш,й й О " гш З Е)7 Ы О( СШПР!С» ЗЬ С! Е °, 3 Аетсмаг Зег., (Зер(сшЪе 1966). б Са шп! К, Рэпе1!оп«\ еж йэ Ьс Ье за(ибоп о1 р оЫ«пь 1 «Чио(Ьг!шп ° й Ю«,ти ., 3«!1. А ° М,ЬК Зос, 46, ! — )З (1945). б Мп»Ьа) А. С 776 5с1 (ей Йс(с споет ап Ме ГЮ1е Е1еоы» М (Ьой э й Мз!г!т Ме(ооьь ! 51 ы( Ы А ь1узж Йер 5.13 Ючб Епдгб. берг, Сз е) Ныы. Оие1ы, 3 гу 1969 7, АЫп3 Е,рп( О 1.,51оййсг!ВАС.Т.,ТЬейпйеЕ)ыгеп(Межой — А ' В Ьыобгэрвт ! 1!в ТЬыгу эпй Арр!!.з!(ай, Ййр. ЕМ 71.1, О р! о1 Е бгб. 5 г е пй М Ь., !)шч, о( Тепыюм, К т чб1, Т ппеюм, ГеЬсиагг 1972.
6 Но !*О Н. йе Уюез б., А Мп!е Е)ешы( ВгЫ«6 «РЬУ, Рэг(1 — ЙсР. 57, Р»И Н вЂ” Йер Ю, Р. !'И! — Й.р. Ю, берг а! МесЬ.' Епбгб, Одг . Сз!6 гУ, А!Ьес!э, 3 п 1974. 9 ИЬИешэп 3 Й„А В!ЬЬон еРЬУ 1ог РЬЫ Еышеп!з, А зйе !с Ргез, Н Тогд. !975 10. Ч г)е О, Н., й Рпю б, А Илие Е1Е е! 81Ы)одгзрЬу, Ре11 — Йр 57, Ре 1 Н вЂ” Йер. 58, Р 11И вЂ” Я, Оер! а! М сЬ Епк 2, Оп) Ы С 1»му. А)Ье 1, 2 4 с»„1975. Н. Но ! О Н., б 'ги б., А НпОе Е1 пм З ВгЫЬбг РЬу, Р1ышп Р ею, Н Уо Ь, 1976 12 М Ие «г О С., ТЬ« Олпе Мебюй )ы Е 91 сег)» Зс1 псе, 2 й Ю„ М бе .Н!О, Н*в Уаш, 1971 (Им ре ол: Зг ев:«О. М год «о тюля — М.' Мно. !975 ) 13 поп!е О н, й Рпеэ б, ть н )1 е!ален! мешай — Риглашеп1э)з алй Аррисэбопь, Асьйегпгс Ргезз, Н уож, 1973 —.д дт, (2.2а) (2.2б) ВАРИАИИОИИАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Некоторые основные понятна варнацванной формулировка метода конечных элементов былв вронллюстрнрованы в предыдущей главе на одномерном првмере.
Ннже на прнмере двумерного теплового потока через квадратный блон щот метод распространяется нэ лвумерные задачи. Задача вначале формулнруется в глобальной снстеме отсчета, а затем преобрагушся с вспользованнем локальной свстемы ноорлннзт. 2.1. ФОРМУЛИРОВКА В ГЛОБАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Рассмотрнм двумерную задачу теплопроволноств через брус квадратного сечения .(рнс.
2.1). На верхнем торце бруса падпержнвается температура !00'С, на янжнем 30 С, а боковые поверхности ндеально нзолнрованы. Требуется найтн расвределенне температуры в брусе, н в частности температуру в точке А (рнс. 2.1). Воспользуемся варнацнонной формулнровкой метода конечных' элементов, в которой прнменяется гхобальпая система коордннат Оху В принципе алесь можно получить точное регоенне, так кан задача может рассматрнваться как одномерная. Однако приваднмая ннже формулнровка двумерная, и зздача будет решаться с нспольвованнем двумерного базиса.
Зтэ формуляравка будет прнменяться также н в слепуюшей главе для решения дедсгеи~ельно двумерной эадачн о тепловом потоке. В данном случае определяющим уравненнем является уравяевне Лапласа (1, 2) О'Т = (дгт(дхз) + (гпт(дуз) = 0 в Д (2. 1) с граннчнымн условиями Днрнхле на части границы. Т=ОО, у=о, т=(ОО, у=В п услоанями Неймана на остальной частя гравнцы: дТ(д» = О, к = О, (2.3а) дт(д'=О, х — "-1..
(2.3б) Вереанезмае ф рлэг розга метода коегчемл ггглгепм Залача определена на множестве Р, состоящем нэ области В н гоаннпы 5, т. е. (Т = Р+ 5. Уравнения (2.1) — (2.3) не будут попользоваться непосредственна. Вместо нях будет построена экзпэоленткая варнацнонная формулпровна. С помощью варяацнонного исчнслення можно показать (см. гл. 7), что решение Т(х,у), удовлетворяю- д Г Хд'С л Рвь р Ь деу р ае зада а семге Лщс брусе щщр Восо «онереч. несо сем щ. шее уравпенням (2.1) — (2.3), совпалает с функцией, которая мнннмнзнрует функйпонал Х= —,Ц~( —,„) +( —,„Лдлду. (2А) о гдг Т(х, у) — фунхпие пз допустппого множество пробных функ-. Чид, заданных в Д.
Для этой задачн пробные функцнн Т(х, у) являются допустнмымн, еслн онн непрерывны н нмеют кусочно- непрерывные первые пронзводные. Кроме того, пробные функпня должны удонлетворять глазным граничным услоеоям (2 2), Граннчные условия Невмана (2.3) будут выгюлняться автоматически лля функцнн, мнннмнзнрующей функционал (24), как естественное следствие варнацнонной формулировки п, следовательно, булут называться ссггстоеньыми граничными условиями Разобьем область на 1 конечных элементов. В рассматрпвае.
мом приьгере в качестве конечного элемента выбрав треугольпнк (рвс 2.2). Общее «поло узлов обозначнм л, В пвух- п трех. Гмаз х= Ед'. с (2.8) 1 ~~ ~(др 1) +(ВТ 1) ~ (2.8) нулю, т. е. ! х, у, 2Ь= ! хг уг чьб. ! х у (2.9) Рнс. ХД. Ралблс с сбллсос «» 1 ксэсчимх ысисаюв. Рлс. Х.З. Таа а трсуссл эна юсиа т с . Вар лч слл л дср у роа лсгсда лрлсмаы ллснслгрр и мерном случаях нет определенной салан между общим числом элементов и общим числом узлов, кви это было в предыдущей главе.
Разбиение области и условия непрерывности, наклвдываемые еа пробные функции, позволяют записать функциояал (24) в виде где 2'1 — алрменгный вклад, определяемый равенством Рассмогрпм типичвый злемеяг еь показанный на рна 2.3. Номера узлов 1, ! и т должны быть указаны и порядке, соогветсгвуюпхеы лвижению прогна.часовой стрелки. Для произвольного элемента е, в этом примере пробная фупкция Т" (х, у) выбирается линейной, т. е, У*'(х, у)=а",+а"х+а'су, к, у шео (2.7) где а',с, а'1 и а,'с — постояияые, в общем случае различные рдя равных элементов. С целью определения этик постоянных запишем посиедова- тельно уравнение (2.7) для узлов 1, ) н ю: р Ус = + Щлс+ Щрс, 71 ас+алхг+плуг, у =а,+ аэс + азу где 7„71 н 7 — знзчения Т в узлах (, ! н щ соогвегсгеенно.
Варнава ннденс е, опущен рад» упрощения записи. Системе уравнений (2.8) имеет единственное решение для постопннмх аь ас н аь так как определитель ее магрицм коэффициентов не равен С иенользованием тригонометрии легко установить, что этог определитель равен удвоенной площади треугольника, как зто н показано в (2.9). Так как площаль треугольнвка инногда не равна нулю, ч.
е. Ь чь О, то решение ас, ас и сел существует н единственно. Решая (2.8), получим для аь ал н аз слелующие Г. осе Э Вор ечо елее Ьормрлирмое метода мэ е ме е ееееюе а1 выражения: (2.10а) (2,106) (2.10в) а1 — 11)25)(стТт+ отТт+а Т ), иэ=-(!Дб)(ЬХ+ьттт ось т 1, се=(!Дб)(сте+стТт+с„Т ), где и,=-ку — к„ут, 0, ут — у, ст л — кт, (2.11) е посгоявные а» а, Ь» Ь, сь с могут быть определены путем циклической перестановки иилексов.
В приведенных выше выражениях для и, Ь, с н а верхний инлекс е~ вновь опущен, чтобы ие усложнять запись формул. Полстаиовна выражений (2.10) в (2.7) дает следующее представление через базисные фуиицпи: т т (Х, У) = о [(а, + век+ СтУ) те + (от + Ьт + СРВ Т, + +(и„+Ь к+с„у)Т„), (2.12а) илп (2.126) т" = Ррттт + Ррттт; и т„= и т, гпе Я =[Лоде,У) нвляется мзтрицей базисных фуякдий, а (2,13а) . т' т (2,136) представляет собой вентор узловых значений. Требуемые пронзводныс можно получить, дифференцируя (232а) т — = — [Ь,Т, + ЬтТт+Ь Т ), (2.
Рлз) = — [с,Т, + с!Те + с Т (2.146) Подстановка (2.14) в выражение для элементного вклада (2.6) дает Х*' = зв, ) ) [(ЬеТт + Ь! Тт + 0 Т )' + (С Т, + СтТг + С т )Е[ дздУ, (2.15) Так как подынтегральиое выражение в (2.15) не зависит от х и у и, кроме того, Цдхду= б, (2.16) ! то равенство (2.15) может бить переписано следующим обрезом; Х т =-В-[(йтТ, + 0!Те+ Ь Т„')т+(сеТе+ стТт+с т„)т[.
(2.17) Выражение 'вида (2.17) может быть получено для каждого элемента. Подставляя все эти элементные вклады в (2.5), преобразуем фувнцваиал, залаииый равеяством (2.4), в фуикйию всех узловых значений Т» Те, ..., Тъ х. е. х х(т, т, "., т,). (2,18) Здесь, как и в предыдущей главе, узловые параметры Т» Тэ, ... ..., Т„рассматриваются в качестве переменных, значения которых необходимо определить. Условия минимума Х могут быть ааписаиы в виде (дуудТ) О, ртж1, 2, ..., и. (2.19) Подстановка (2.5) в (2.19) позволяет представить эти уравнения следующим образом; т — = О, р 1,2,, „и, (2,20) 0Х ч СХ' Ето т > сте Очевидно, что прн суммировании в (2.20) иеиулееой вклад дают только те элементы, котоРые солеРжат узел р.
Диффереиттированне равенства (2.17) по Т, позволяет определить вклад дх"(дТр элемента е~ в выражении (2.20). Таким образом, если померз узлов 1,[ н ю элемента ее имеют во множестве номеров уалов системы значения р, 4 и г соответственно, то лиффереицирование (2.17) по Т, приводит к выраженяю — — [0,(йоте+ 0,Т, + ЬТ)+се(сете+сете-!.еТ )[. (221) Объединение компонент элементных уравнений, задаваемое равенством (2.20), называется объединением но узлам, так «ак процесс объединения должен быть выполнен атлельно для паж. лого узла системы (сравните с иоэеемеигимм обьедииеиием, лс. иользаванным в равд, 1.3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
