Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Формирование вкладов дй е[дТрп их объединение будет проиллюстрировано ниже, На рнс. 2.4 показано разбвение области рассматриваемой задачи на 1бэле. ментов с общим числом узнав, равным 15. В табл. 2.1 укззапы номера узлов 1, [ и ю для каждого зле мента системы. На рис. 2д номера узлов нривелены согласно пРавилу обхода элемента против часовой стрелки.
Размери всех элементов олинаковы, н имеется только два типа элементов, лараач м ааа дарарлараааа аатада и юмл аламаатаа 50 Гыаа 2 У была 22 Каард атм уалае к ю к р ° * хт Гб Ча2.д Харавтераме аеэеметрм авекаатев пр а *1 щие зиачения параметров длв элемента 5 иэ табл. 2 3 в равен. ство (2.17), получим дли элементного вклада выражеинс у' = †, ~( — — т, + от, + — т ) + (17, — !т, + от.у), (2.22) Верхний ииденс у площади 5 указывает, для какого элемента опз вычислепа; оп может быть опущеи, так квк в этой задаче отличающихся друг от прута порядком расположеиия узлов. Это ие является обгюательиым требоввиием, но упрощает дальней.
Рве, Да Ра боевое облав!в эа 1О кавечаыа элементов. шие вычислеиия Коордннатм узлов даны в табл 2.2. В табл. 2.3 приведены значения параметров Ьь Ьг, Ь, сь сг м с, вычислеи. Габ ааа 2.1 Саатвамевве и мдт та аальвммв а аа ал вммв аамарааа уела име во формулам (2.11). Для иллюстрация рассмотрим зле. мент 5. Из табл. 22 вилка, что его узлы 1, 1 и ю имеют номера 7, 4 п 3 соотвюствеииж Полставляя эти дапиые и соответствую. 1 2 3 4 Б о т б 1О 11 12 15 14 И 1б -од О,б -О,б О.Б -0.5 О.б -05 0,5 -0,5 05 — О,б Дб — аб 0,5 — 0,5 0,5 о о о о о о о о О о 0 О о о ,о о дб — 05 дб — 05 дб -дб дб -дб 0,5 -0,5 0,5 -од од — 05 О,б -0,5 1 1 -1 1 -1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 -! 1 — 1 -1 1 -1 1 — 1 — 1 ! где ~й)г й:г й( й'= й)г йгг йг й'„, й'„, й' (2.27) или дд'(ду' = (г'У'. (2.265) плошздн всех элементов одинаковы, а именно Ью = 0,25, г = 1, 2, ..., 16. (2.23) Из выражении (2.22) видно, что производная дт. г(йуг не равна нулю только при р = 7, 4 или 8 Другими словамн, элемеят 5 дает вклад толька в уравнения системы, включаюшне Тг, Тг и Тз.
Согласно (222), ненулевые производные для элемента 5 апре. Лелнются выражениями ах' = †' |- †' ( — -' т, + от, + ! т,) + !(!т, — (т, + от1), (2.24в) = — ' (О ( — — '7, ф ОТ, + -' Т,') — 1 П Т, — 17) + ОТ,) (, (2.246) ах' 1 Г1, !в — ( ( Т + Оух+ — Т )+0(17г !Тз+Оуз) аТ, 4а (з(, з э (2.24в) Уравнения (224) в матричной форме образуют элементное ма тричнае урезненле: дд(дуг =..
!ез ~ — 4 4 0 ! 1; .(225) ддэ(бра — ! 0 1. 7; Три проивводиые относительна Тг, Тг и Та в уравнениях (224) были специально записаны в порядке, соответствующем порядку узлов 1, ( и ш для этого элемента (табл. 2.1). Таким образом, уравненме (225) — это частнмй случай (для элемента 5) общего элементного матричного уравнения бх'(дуг = йг, й;, й,' Т,, (2.26а) Наа Ччочлчв йэрлгхиравка лсгээа сээччеы эмлслгсэ ЗЗ есть элементная илгрицп жссткосгв элемента е н у* — элементный узловой вектор, опредсляемый равенством (2.136).
Для упрощения записи в дальнейшем верхний ннлекс с, в уравненинх (2.26) н (2.27) опуасается. Так как элементы 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 имеют одинаковые разнеры и ориентацию по отношению к системе отсчета Охр, то можно показать, что элементная лагройа жесткости й дли этих элементов одна и гл же лри рслозви, что в уравнение (2 26а) полсгавлены соответствующие номера узлов. Так,для элемента 9 матричное уравнение имеет вид ддэ(дуг = — — 4 4 0 Т, . (2.28) (!стальные элементы (2, 4, 6, 8, 1О, 12, 14, 16) танже имеют общую элементную матриду жесткости й, которап в этой задаче (что можно проверить) тождественна полученной матрице жесткости для элементов с нечетными намерамн.
Так, лля элемента РО матричное уравнение имеет внд дд~з(дТ еа ~ 4 4 О~ Т,! . (2,29) 02 737, — 1 о 1 т, После определения вкладов д~'(дт, для всех элементов и объединения ах получим матргшиое уравнение системы. В предыдущей главе было продемонстрировано поэлементное объединение и показзно, что эта пропедура включает поочередное вычисление псллык матриц жесткости й для каждого элемента, убзтрицы жестиости каждого длемента й прибавлялись к ма. трице жесткости К системы до выполнения операций со следуюшим элементом Альтернетивнан процедура — объединение па узлам — используется ниже и существенно отличветси от поэлемецтиого объединении Поэлемеипгое объединение соответствует построению матрицы системы с помощью объединения тлг я Варрачроррал Оорарлрраэвэ лггода рорэчрмр рлглэрам 07 Для каждого узлового параметра системы можно получить уран.
пенне, аналогичное уравнению (2.33). Объединение этих уран. пений в одно дает матричное уравнение системы: дг)дт дд/дтэ КТ= О. [2.35) Как и в гл. 1, его необходимо подправить для учета граничных условий Днрнхле. В качестве упражнении покажите, что введе.
нне граничных условий Дирнхле ио первому правилу приводят к следующему матричному уравнению системы: (2.30б) [ялв) Используя любую стандартную процедуру, можно найти, что решением урзвнення (2.3б) являйтся Тэ = 50, Т,=50, т, = 30, Тв = 52 5 70=75, Т, б2,5, Ть — — б2,5, т, т, тз=уб, 71 = 75, Т 10 = 87,5, Т, (ОО, (2,37) Т= (2.34) та = 37,5, т = В7,5, и Тр подматриц, тогда как объединение но узлам соответствует объ. единению строк. Для объединения по узлам основным обьединяющим уран. яением является уравнение (2.91). Ывпрнмер, для узла 7 сост. ветствующим обьеднияющнм соотношением является (2.300) Из рис.
2.4 видно, что для узла 7 дают вклад лишь элементы 5, 9 н 10, поэтому выражение (2.30а) сводится к дх ф +дх +Щ( дт дт, дт дт Вклады элементов 5, 9 и 10, входящие в правую часть равенства (2.30б), уже были вычислены; оив определяются равенствами (2.25), (228) в (2.29) свюэетстэенно. Подставляя соот. ветствуюп!не выражении в (2.30б), получим — 4 — 1) Т, +[ — 440) Тг + Гта 1 +[ — 1 О 1] Ти =О (2.31) т и после объелннеиия палобиых членов = — [ — 4Т, + 1ОТ, — 2Т, — 4тр[ О.
(2Л2) дт, шь Уравнение (2.32) можно также записать в расширенной форме: х, [О 0 0 4 О 0 10 2 О 4 0 0 0 0 0) Т 0 (2 33) дТ 1ЗЬ где узловой вектор Т системы имеет внд '1 0 О 1 О О -4 О О 8 о о о о 0 О О 0 о о О О о о о о о о 0 0 О О 0 ! О о ю о -2 -а о а -4 о о О О е о о о 0 О О 0 о е о о 0 о о о о о 0 О О -2 О -4 20 — 2 О 2 10 0 о о!о -э .а -з О-э. О е о-я о о о о а о о о о 0 0 О .о о о а 0 О 0 о о о.о -В о о-р -2 20 -2 -2 Ю о о -З 0 о -а а о о о 0 О О О О О а О о е о О о а 0 о -з о 10 -2 -2 20 О -2 о о о о О О 0 О о о О о 0 О о о о о а 0 а о о 0 -4 -2 О 10 Р о о о о е О О о о о о о о 0 О 0 0 о о о о о о о о -з о 0 -4 а о 0 0 1'1 24 7, г, г, Гм г, 40 зо ДВ О О О О е о ,о о о !со !00 1Ф нпр пч» и формул упав! гкгпда «п«а««м«пв«аппм Щ Гппу системы К с нспользон«ные» жесткастн й следующего вида: щ П 1 средстненно к матрнце жесткости расшнренной элементной матрнпы Т (3 щ Ты — — 87,5' С.
(2,38) дхз/ау, дх /дТ, длп/ау, агу дт дх'/ау Узда«»е т.3. Нывх тусхуюаппа тзеу пп и Я ппн П«а зпе«епт з е узпамн 3, 2 «а П «и и, тп ура «вкю Лп а а, Зас мптуепюму ра «211, пп! г г у т и юе т а мегре в щ ткп,.а О дп ма Фпуащ- — (З,Ь,+п.п,), п-г, З, ц 8-1,2, З, щдт) 1 4З глс в«та«пиме а п с п«оеаепяюгсп эыупмппиамп (27 9. у«за»пепи 2.2.
пуп ппппаы юпг тсвуюпвз узап«спим пупсюзп — г+ — у+-ы /(к у, «) и П д'Ф деп д'Ф (2.43) е грез«ч«ммп ус«пап и дпр«х с Ф у(«ущ «а 8, (т.44, (2. 40) и успп«па «Неймана ') дф . дФ дФ дФ вЂ” и — 1«г — +и — О нп 8 д 'д д„'ап (245) имеет «на х-ДИВ'+ ( —.",)'+ ( — "") + "'3"*'"" и (зла) Пп«зм«тс, чта п«пп«сдппв трсугепщпго ппеыепта злпвмтвю пщ узап пап апзс па гс пыыгмсппе дк'/дт З 7'+ У, ') Пп«п Зпыапп 8 юстпп аз су н 8 +З, 8«еси пзппп«ювпп «поп усы едпппчнаа юзами «прыппп и к гуан««ел, «атз«ч (2.47) Следовательно, требуемым решенном н точке А будет Отметим, что здесь не предпринималось какнх-лнба специальных ыер для того, чтобы учесть граяя3ные условия Ней«а«э (2 За) и (2 35) « узлак 4, 7, !О н 5, 9, !2 соптнетсгаенно, поскольку, как рзнее устанонлено, мннкмпзацня н этих гранич..
нык точкак является доетзточной для выполнения граничных услонпй Неймана з качестве есгесгдеп«пго следствия. Здесь уместно спросить, «ак программнронать объеднненне по узлам. 3)тобы от«стать на этот аапрос, рассмотрнм сначала систему уранненяй (2.36) н заметим, чта уравнение (2.33), саотнетстпующес седьмому уалу, является седьмым ннлныидуальимм уран«пине и системе урзнпений (236). Тахнм образом, элемент«мы матрнцы-строкн н урзанення (2.33) являются К,п, 5= 1,2, ..., !5.
Очезндно, что н более общем случае «омпонента с номером 7 н матричном ура«пенн« системы предста«ласт собой узланое ура«пенис дУ/дТт (Кть Кть ° ° °, Кта °... Кт34)Т=.О.. (2.39) Следонательно, задача с«однтся н пычнсленню матр«ц-строк дй/ЗТ«, 7=1,2, ..., 15. Анализ ныклало«ат ныражепий (2.24) да уравнения (2,38) поназызает, что формнропанне матрнцы-строкн сааза«о с узла. аым зыаченнем Тг (2.39): ! Км=у.й;и, ! тле суммиронанне необхопныа аыполннть толька по элеые3пам, соседннм с узлом 7, тан нак нее другне элементы д«ют нулевые вклады.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
