Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Чтобы различать подматрины различных элементоя, необхолимо вновь ввести надстрочный индекс. Уравнение !1.Ьв) может быть расширено так, чтобы оно нкаючало все узловые смешения системы, 1)ри подходящем использовании нулей инеем ($.6г) Уравнение (! Вг) представлиет собой расширенное магричиор урааиеяие для э.лемеига е„ н может быть записано яак Ьр Ро = (л" Ь, (!.Ьд) где йи — расширенная матрица жесткости элемента еь а Ь— иркгор узловых смещений системы. Внешние силы йь йр, ..., Кр могут бмть выражены через хь у-«омпоненты й ь Ирлг Е*ь Рррр ' Ем, йрр, а условия равновесия в узловых точках могут быть определены ~срез зги компонентм. 11апрнмер, в узле с номероч 2 условие равновесия в направлении х имеет внд Р,р Р[ +Рр+Р гфры (1.7) 0 Р," Ро— 0 0 0 О О 0 йрр йрр О йй йз) О 0 0 0 0 О О О О 000 000 о о о ь, о о о 000 Ь, 000 !з 14 0 ааюм пм и эда о« и злгж гээ Хотя ясно, что вклад в правую часть равенства (!.7) дают толька те элементы, которые солержат узел 2, улобно записать это соотнашеиие одним нз следующих более абшнх способов; 7 г )( = 2.Р„'гм ))„,= Е Г(э.
(!.Ьз,б)' г ! Аналогичное соотношение полу»летпя для другой компоненты вектора Км (1.8в) Уравнения (1.86) н (1.8в) можно абьединпть в магри!ной записи: Кэ=~~"'1-~~Г, ~=-~рь (1.9) Аналогичные уравнения могут быть записаны н для других узлов. Результчрующвя системз уравнений равнонесив записи. взетс» в виде (1.10) Подстановка выражений типа (1.6д) в уравнение (1.10) дает К= х, )г'Ь, (1.1 1) или (1.12) называется могрицей жесткости сисгелы Прапедурв, использованная выше для объеднневня мзтрнчных уравнений элемен. тов, иззываетсн позлеменгныи объединением.
Рассмотрение этого процесса объединения (который ио су. ществу является сложсчнен расширенных элементных матриц жесткости й) доказывает, что элемеиты Кгь матрицы жесткости Уравнение (1,12) называется магри»ныл удивлением систеиьв в. матрица К, задаваемая равенствам к= Ей', (1.18) ! К задаются равенством Кть= хь' )г;» (1.14) гте Г,э, Гэ, Рл соответствуют конструкционныи н тепловым дефорчашшм в системе, массовым силам и распределенным вагрузкаы.
Этот анализ пожег быть распространен па трехмерные фермы н случаи жестких соединений, когда силы и моменты передаются через узлы. пэ иеэ г.г. дла р нрвэ.е ед езв з ферм», в н эз вов з рве. 1э, ип л и си «мзч з у т, за ха аа гоюжама с рж яиьег азизу, э ьву« 1О с з ~ г чз ы н , з э»ое г сги Ь1оаул Юн з и иоэ га и Ц р и» а руэо« аы ю а зда в пз а аюеиз рзе 1 4,, и Гж, !А, д заказан лм, дейст уюж аь т ч«ма з.
е езг еь Со а но Необхопимо заметить, что йы= О, если хотя бы одни иэ узлов с номерзмн т н Ь не нвляетсн узлом элемента с номером е. Так кзк у и б образуют систему падстроших индексов, то в уравне. нии (1.14) обознзчення й'ь могут относиться либо к расширенном) чатричному уравнению (такому, как уравнение (!.бг)), либо к матричному уравнению элемента (такому, как уравнение (1 Ьв)) Напоыним, что йй фактически являютс» папматрнцамн (сьг. уравнении (1.66) и (1.6в)) Оливка зто не приводит к каким- либо груднастнч, поскольку суммирование подматрнц пронзво. затея путем суммирования соответствующих элементов. Так как размеры н свойства стержней в рзссмвтрвьземой енсгеме известны, все матричные элементы йй могут быть вычислены с использованием уравнений тчпв (1.6), и матричное уравнение системы составлнется с памшцью ураннення (1.14) Для феР»ы, доказанной на Рнц 1.1, смещен»Я Ь!, Вь н Ьэ должны быть равны нулю Есча приложенные усилия йз йз н К, известны, то система линейных алгебраических уравнений (1.12) может быть решена послеловательным исключением, обращением магрнпы нлн выполнением итераций для неизвестных сме.
шеиий Ьь Ьэ и Ь, н Реакций йь йь и Ры Убетод анализа конструкпий. описанный выше, нзэывветс» иподом перемещений н может быть рзспространен на случаи а1 начзльиых «авструкционных (сборочных) или тепловых'деформаций, б) массовых снл, таких, нак гравитационные, н в) распределенных нагрузок, приложенных к стрежня».
Вводи три дополнительных вектор. столбца в урзвнею!е (1.12], получвм КЬ -1- Р,ь .1- Р, + Рэ .— — К. (1.! 6) Ос оэл по гкл негода ео . ° элененню у пес ! 12 16 о* л Рсш ГР тек как 2„ 1000 бп* ШИ, Яэ — !ОООМ ВО' — ббб, Ью ЬШ Ь„,=Ь,=О, (1,22) ю уравнение (12!) мо ао ай«ть л е ле (1.23) РаабнШ магрнк () 23), р н Ью ак р ш нне ист ми [ ~ О и Ь.э ~ ~ ВШ1 0524) т. е. Ьш 500)(2 10 ) 2,5 1О ' (см) Ь„=-ВШ((2 Шс)--эбз, Ш ' ( м). ур н лию (1.3), дл» шемента ! сала, деьствуюшая лопь шершни, рэ на Р (ьд)ьг)((Ью-Ьш)еш (ВВ'+(Ьээ-5„1 э!о !ВЬ'!. (Шб) (Злее пр л слагаетса что испо. у тсн олкодягпэл систем фнэнчесник еди. н) Оыюда с пом пшю траки нин (14) Рнба) полу аем й н ы «а 2 а элогиюю полу с оттюшт ин Р 022 (!.
) ((Ьш — Ьл ) Еб' + (Ьлэ — Ьэ ) !п а51, (Шб) ЄРэ45' — ! — 1 1 1 Ь, 0 !2) )(чн тшс ' бм Ро ш мтриро ат прсшсс пос елоиэге ьного пас!Росии более о, ршбраэусм урэвы (1,!О) шн, чтобм нумерация уэлоп е юо Рас. 13. Шар р д юнаса ферм . ма рннал полчэннлась т и е ыл доев эльнос и, то в урала ни (!.!)), Р - „"' р',. -10'..., ЬУ . (!ШГ) Ра шш» (1 !7) Р Ш) дс Раз срносгн с сюм и фор иру» реэулынрукшие ура . н ша е ш обаедн ешмл сосласна (!.!1), получаем ат — 1! — 1 — 1 1' — 2 — 1 0 О О! — ! О 0 1 — 1 — 1 1 0 0 -1 -1 1 1 1 2 — 1 0 Π— 1 о — ! О -1 О 0 — ! 2 — 1 — 1 1 — 1 1 ь Ьш ()ш гз Гдсее ! гв (1.29) Ода) Отсюда !.!.з. сети Рнс.
!.б. Эынсн ИРУбЮ сь или 5 Рис 1Д. Гндрээд»ыдээ сегм и таноээ раа нств [!.25) в (! 22) дает с юауюмсс ыэтаменнс лмг эса . ..М ЯН-'-1— — вю «г. Рю ею г, (!Дт) л гзз дг, л„гзз г. Эги эсту таты могу бнгь ар ырсны нут нсноэы анв ус о на рэ*эо снэ резин! Я Я г — ЕВЗ-';баб+ !ЗЗ О, г 6.2в! . э 2, л„г-ыз-юьт юз-а Матричные уравнения для сети взаимосвязанных элементов аналогичны уравнениям, полученным е предыдущем разделе для строительных конструкций. Для иллюстрации рассмотрии ги. ядравлнческчю сеть, изображенную на рис, 1тй В,слуяае меался-, ных (лвмниарных) течений поток () через поперечное сечение т убы пропорционален разности давлений в начале в коны, трубы.
Таким образом, для элемента еэ (рис. 1.6) потоки в у, Р' зт Осдоэньн аоддгюг м сдэ сод нд ю м а трубу в узлах 2 и 3 соответственно будут ()1 с (Рэ Рэ) г3э = с (Рг Рз) где Рг н Рэ — давления в узлах 2 в 3, ()! и ()э — потони в тех же узлах, а с — ностояннав, зависящая от свойств жидкости, диаметра и длины трубы В матричной форме уравнения (1,29) приобретают вил ~ф' ] = [ ' ' ~ и "'], (1 зоа) Тйь=~,, 1~ ]. (1.306) Уравнение (1366) — это матричное уравнение ддл здсмснга сэ (ср с (!.бв)).
Оно также может быть запасено в зиле расинРсиного магрочною ураанснид (1.Ег) илн в форме, соответствующей уравнению [1.6д): ()о = йьр, (1.31) ГДŠР— ВсхтОР, КамлааситЫ Котайата Рь Рн ..., Рэ Разам Лааленням в узлах сети. Предйоложим, что жидкость поступает в сеть в узлах 1, 2, ... ... 8 с рвсходамн )(г, )(э...„))э соответственно. Уравнение неразрывности для узла 2, например, имеет вид )(т= 2;!! ' О ! О+ О ! !)э' 1 0+!)' ( О+ Ц;э (132) щ Г л„! ! Н З! Рг 43! Сйз =Х (1 33) Система уравнений типа (1.32) может быть записана следую.
щпм образам [ср. с уравнением (1.10) Полстановка уравнений типа (1.31) в (1.33) приводит, как н в предыдущем разлеле, к лгпгричяому уравнению системы КР РС (1.34) . Уравнения (1.10) — (1.14) также применимы в данном слу гас, если 5 заменить на р. Для заканньж подводимык потоков узловые давления могут быть найдены путем решения уравнения (1.34). Погле зтаго раскалы через кажлуго трубу можно вычислить с помощью уравнений типа (1.30). У р * !.1. С груб, во«э!энная на рнс.
! 5, ва ежз частью ю. з б дю Н . э ио рс жння д . Ом дз илге в системе ма а о о руба» ю нар . Ос озьюэясь из юон, и ис. Эюиеи е, (пол ода«!за мегнюрю ) и б с, ! ПОО ж Элемюпм зз ь ег и 2.бс, ! ОООЮ Элеиэнгм е,. е„е„е, И 2,5 , ! 450 Деже««с в узле 5 2 «Гусмй Давление в узлах В, 7, В осф рнс П Х! м') Перепад л т Ор лл л и эрного н ою труб дн гром Л и яли. ой ! зм нсл ег по урзавеяию Г « — Пуа Юд зр =- 32р! гий еле р дннамюжн з вязкю в э — ср юяя скоросс, с ю о. ов л ожю!. Йз вкспервме ю иэвесгю, что о ж руб . н рнмй, е испо Рей.
и д з м ду р д а л р оюм с зн и н ли«ей«ой Прап а лот о д 1О-' ! мй ро р з к рр «ию ь нрсдпоюж ни о а н р с труб, (О . Рж* дм на ни!оде гп учло б, 7 «Врй» 830,350я480 'г, ° Ргс лйи и гс от3100я и вте ю 40000 в смен, в, .юо а! . ио, нр дпоюжсние лама. нар«жги агок нез рр нгао] Уржюиюг.й.Йм гс сеь вотоиноо то с юючн о в ю юге нанряж низ У, показ и я нз р с !7. Сот вые ураэ ев ч енгю и, 29,юз В, У 4,51а В, 1, 3,537 А, 7! 0,510 А. гэ 2,927 А) Ог оэ и. яо зггю м гсб «счг'! з э Р . !.Г. С а, юа.ю эзо,,==оо.,, аожг мев. Рнс. !А Просгзя юерннрз .а д ф р э. упр мнение 1л. н рнс 1а покэзан рост я арняр о-соеаян ная ферма со следуюж н ра с рамн: Ф Эем, А !Осм, Ь 1Вж Элем, А бсмй Ь 2,4м; пенит А 1Осм', 2 1,Вгь модуль юнга одинаков дла всю элементов и раве 2 1о! «Ггсмд л*, 80 кГ.
Л О,Л, О Л ГВО«Г. Определяю иеизвестз с л форнажгн и рсакюю. Г 1 1М ю р .«З-Пр . ре. Р е.!2. Песбалане ро аню постовая ох» а е нагон«иком ло т н го юк»1, о, ао -',о, то -', о. ! о -',о, хо -', о, хо -'. о, х о —,х-мл Рае. ЫО. Пло м р р о.соединен«а» юнетруклнн. У р 1.4. Рамматрнваетс» Ие б юнро а а «о»ваа х м с навести м ю ннюм н а 1, локаэанна» «а.рис 12 Йайлнт ток ! тл ° е«т р ол мо т ю О, н нюьэун аначенне аа»рэмси а в уюе 3 в «а е- Э д Ь б ре сна сбъелнненнем ур знаний люмен ов в в раэд.
1 2 5 Ц р р« о ю в ансать непа р л «н н н к е гсф О бор ор « напр женин в на ой-.нб юане эюив шатен веда кю юой очке в ра ен а, равного нулю. (О а . 1, а7вз А 1 Ф У ран гд. О р дюны неи вестнме дефор, апик в рыка«и дх а. клее ой е рнс. 1.10 о мрувн«и нрн ледуюшн* данник. Эле«вата, А 5 ', 5 Цг н; Элемент е А=хо, 5 7,4 н; Элмаен е, А= 5 см', 5 1,2 н; Элемент а, А 1О смв, 5 — 1 племен е, А б сма, 5 — 7 Эюмент, А 1Ое ', 5 1,6м пленен ех А=!б ', 5 24 м.
Осо и ю к д кал « *вы» тоа модуль ю а 6 одн е л а асе зле«сихов равен 2.!ы «Г!еме. и - — 1Ю.Г, й.- !Ю«Г, П, -а й, - — хщ «г, Ам=а, ям=за«Г, (бт '. й.,-' — Щ «Г, Дю-'-52 «Г," Ям-тау,з' «Г, й.',-"тв,п .Г. и, 25,5 «Г, Я„-101,7 Г. 6, — 1,17!О" см, 6 а -65 15-' см, йм -1,42 Ю-'с«бм -425.1О сн) Упражнение 1.6. Пл рис. 111 обр жена сюь е нсгочнякок постонало е чака !. Онрелелнта то к !ь 1 ! ер нровслямостн бх, бе к б, счнтв»,. б г 7 Р с Ы1. Сюь е источником ноетс нн о ока 1 о, во -По.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
