Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Осноаанная нз явной формуле') пычнслення йтп, стратсгня программнропання будет состоять и поочередном аычнсленнн строк матрнчнаго ура«ценна снстемы, саатаетстнующнх каждому узду, посредством ураннення (2.40). Если бы нспользоналось поэлемеытнае объединение, то объеднняющая процедура состояла бы е расширеннн элементных матрнп жестностп й н нх послелопательном лобапленнн к матрнце жесткостк системы К. Йапрнмер, когда оператор циклической обрзбаткн достнгаст элеыента 9, элементная матрица жесткостн й ны 3нсляется согласна (2 28) н доба«««ется непо- ') Э у О П«упт «П ПП В.а ПГЬ Пьд«ЩППППВ1 (77!) П (7 таз) С т ю у«рапп пие 2.1. оооо оооо оооо оаао оооо оооо оооо оооо оооо оааа оооо оооо оооо оооо оооо оо оаа оа оаа оа оаа ао ааа оа оао ое аао ОО 400 оа ооо ао оао оа-поо оа аоо оо аао аа ооо ап оо'а оа ооа о о а о о о а о а а а о -4 а а а а а 5 — 1 -3 1 о 'а о о о а О О оооо оооо оооо оааа оооо оооо оооо аоао ааоа оооо аооа оооо оооо оооо 0000 (24а) (2.4Р) гд эл сити матрнн а' и р" ы нслиююя с ответ т сино по формулам ( lдя для дл дл дя дл а„(( ' "ф — ' — йф — '' — 2)ликуд, "а 1(, дс дк ду др дл дл ) о 1,т,й Р 1,ДЗ, р, ~)л,длбудл, с-г, Д З, а цифры 1, 2 н а юы ютс а р уз о эшента с.
(Вомссомэе. Гранич. иые условна Дпрнхш (2.44! лаелмм раннчиммн тслоиннмн и шлмиы быть иепатьюийэ б брюс юя иоррекцин матричного уравнении н гомы. Грани в у.о и б н 124б) нилам си естествен. в мн грвикенычи !сломя а я евино решении' тхоавстэорнются а .у, ю тс о и мв нмнэецин оримшвю с» н в узлах, гие эти р нн иые тел ан э иа ы ) 2.2.
ФОРМУЛИРОВКА В ЛОКАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ДЛЯ ДВУМЕРНОИ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Переформулируем теперь задачу, которую иллвктрврует рнс. 2.1, с использованием локальной системы координат вместо примененной ранее глобальной системы координат. Выберем Рис. 2Д Шее нуэловои треуговьныа элемент. «вадратнчную аппроксимацию вместо линейной пробной функ.
иин. Возьмем шестиузловой треугольный элемент (рис. 2.5) с тремя уиламн в вершинах и тремя узлвмн в серединах сторон Варши кек формулировка меюда кок о к ешм э б1 треуго.чьника, используя в качестве узловых параметров только значения функций в наждом нз узлов. Числа 1, 2, „ 6 обозначают номера узлов тбного ютемента, занумерованных в соот. ветствин с обходом треугольника против часовой стрелки. В глобальиык координатах к и у полипом второго порядка, р с. 2 б. Лакая наа сиате орад» ат шесгктэловшо трсугшьнего лемепта.
являющийся пробной функивей для шестиузлового треугольного элементз, имеет вид У =«1+вес+вар+итак+ваку+оШ», (2.50) тле мь оь, ме — настоянные, в общем случае свои для наждого элемента. Дли простоты записи верхний индекс в в правой части выражения (2.50) опущен. Если вспользуется локальная система ноорлннат бйи, показанная иа рис. 2.6, то квадратнчная пробная функпвя может быть записана следующим образом: У'= от+ вше+ ЩИ+ ойэ+ аДИ+ осий (2 51) Злссь также опущены перхиие индексы у ша Далее булет показано, что харантерные размеры а, д, с треугог ьннка е (рис.
2.6) играют существенную роль при формулн. розке задачи в локальной системе иоордянат. Их значения могут быть вачислсны по известным глобальным координатам уэлса 1, 3, 5 следующим образом. Из тригонометрических сооб. Глава Х Верввешевал Ьврлрлврвеха лвгоде «вввти влеырпм аз Т, Т, Т, Т, Т, Тв О Ьз О О [(а — Ь)/2Т О О ов О р/2 (ов Т ас/4 с О О р/2 ( — Ь/2)в — Ьс/4 1 — Ь ! (л — Ь)/2 1 о 1 а/2 1 О ! — Ь/3 О О О (е/2Т с' (с/2)' и, (2.56) Уравнение (2.56) может быть решена' относительно аг при условии, что определитель матрниы коэффициентов ие рааса кулю, Ыожио показать, что определитель равен выражению — р'(а+ ь)'/64, которок никогда ие обращается в нуль, так пак 1 площадь треугольника, равнан — р(а+Ь), никогда не равна з нулю, Следовательпо, матрица коэффициентов уравнения (2.56) пе сингулярна ° имеет обратную, Обозначая символом А метрику коэффициентов уравнения (2,56), можем записать эта ураенеинев виде Аа Т' (2.5Т) рвженнй получаем г =- [(» — х )'+ (Уз — У )'! (2.62) соз 8 = (хв — хй/г, (2.53а) эвп 6 = (у, — ув)/г, (2.536) где г — расстояние между точками ! н 3.
Характерные размеры л, Ь, с вычислюотся по формулам о= (хв — хв)сов Π— (ув ув) в/н О, (2.54а) Ь = (х, — х,) соз О+ (у, — у,) ззп О, (2546) е= (ув — у,) сов О+ (хз — х,) з(п О. (2.54в) Подстановка формул (2.53) в (2.54) дает следующие выражения для кврактериых размеров: и= [(хв «в) (хв — хв) — (ув — ув) (ув — ув)[вг. Ь = [(кв хй (хв хв[+ (ув ув) (ув ув)[/г с = [(Ув — Ув) (ьв хв) + (хв хв) (Ув Ув))/г которые н являются требуемыми соотношениями.
Для определения постояннык а, применим формулу (2,61) к каждому нз узлов 1, 2, ..., 6 по очереди. После подстановки узловых координат В я, выраженных через велячнны а, Ь, с, результирующие уравнении могут быть эависэны в матричной форме где Т, (2.58) п [аз[= причем Т' обозначает узлоеой ректор элемента е.
Умножение уравнения (2.57) аа матрицу, обратную А, дает а А 'Т'=ВТ', (2.59) где А' в [ь,!. (2.66) Следующим шагом рассматриваемой здесь формулировки является представление элементного вклада, определяемого равенством (26), верю локальные координаты 5 и ц. Из (2.6) ' зиппо, что эквивалентные эмражения через локальные координаты требуются для производных ду/дх и ду/ду.
В предыдущей главе было отмечено, что перенос начала ко. ординат не изменяет ни узловых значений, ни узловых производных; это значит, что оип сохраиявот свое численное значение как е глобальной, гпк и е локальной системах кпордииат. При повороте снстсмм координат узловые значении по-прежнему пе меняются, но производные( такие, кек ду/Вх, ду/ с) не являютсп одинаковымн в двух различных системех координат. Так как пробная функция в равенстве (2.51) является результатом интерполяции узловык значений Тв, Ть ..., Т, [уравнение (2.56)! и не содержит квкик либо производных Т, то элементный узловой вектор Т' одинаков как в глобальной, так н в локальной системах ноординат.
Следовательно, в этом примере нет необходимости использовать нижние н веркине инпексы для обозначения нспользусмоя системы отсчета. рассмотрим теперь соотношения между координатами х, у н с, ц некоторой точки. С использованяем элементарной тригонометрии эти соотношения, получающиеся в результате поворота иа угол 6, могут быть записаны в матричной форме: ~х1 [соей — з/пй~~)1 (2.6!а) Обратные соотношения имеют вид (2.6!6) Гк от Вари чвввкв Форкужрвв в авюдв «окввиик вк ка гов Дифференцирование равенства (2.616) приводит к соотношениям — = оса О, — "= ып В, д! (2.65) дч к — — з1пВ, — =созО, да дв. а подстановка (2.03) в (2.62) дает дТ дТ дТ вЂ” сов д — — э(п  —, дк дй дгв ' дТ . ВТ ВТ вЂ” = з1п 0 — + соз Π—.
дв д( д, (2.64а) (2.646) или, в матричных обозначенная, [дт/дку [созΠ— з!пО ~[дт/дй~ Обратным равенству (2.65а) будет ['дт/д',Д=[:1:В,".".в1 [От/д„"1 (2.655) Равенства (2.65) позволяют преобразовывать тлобальные пер. вые производные в локальные, н наоборот. Необходима отметить появление в равенстве (2.655) матрицы вращения, в в равенстве (2.65а) — обратной ей. Теперь водмитегралыюе выражение в равенстве (2.6) может быть записано через локальные координаты посредством подстановки соотношений (2.64) или (265а).
Выполнив это, полу- чим ( — '2)'+%)в=(,— '~)'+( —::)' (йвадратная матрица в правой части равенстве (2.615) на. зывается мотрицвб зращвкив. Ее мы будем обозначать симво. лом В. Обратная матрице врвщения матрица Д-! входит в равенство (2.61а). Можне показать, что матрица, обратная Я, равна вв гранслоиироваяиод матрице (эта верно длд любых оргогоиакьиык лрвобраювииид (3! ).
Если Т рассматривается как функпия й, Ч, т. е, Т = Т(Е Ч) то можно записать дт дт дй дт дч — = — — + — 2-р дк д! дк ВЧ к ' + дТ дТ д дТ дч др дй дв д, дв ' (2,625) На основе математического анализа имеем (4,5)! ~ !(к, у)бкбр= ) у(й, чН д (дйбч, (2.67) о о где !(х, у) я у(Е ч) — эквивалентные выражения для фуикдии в двух возможных системах координат Оку н дйч, а 3 — лкобиаи лрвоброзоваиик д(к, у)/д(Е Ч). Из формулы (267) для замены Укбу в выражении (2.6) имеем дкду=(д)дйцц=! ( ' 1! )бйбч=~ ~ дйбц= = д(5 ч) ! Оу/дй ау/ВЧ ' сов  — з1п О ~ Д! ОЧ = Д! ВЧ. (2.66) ыпО созО Здесь использовано вырэжеиие (2.61а) для производных дк/ОЕ дк/дч, ду/дй, ду/ВЧ.
Подстановка (266) и (2.66) в (2.6) даст следующее выражение для элементного вклада: Д'- —,~(( — ) +( д„))цйдч. Представление пробной функции (2вд) в зиле в 7" = Ха!й 'ЧЮ (2.70) ! (здесь используются ж!, тк, ..., лм и л!, ль ., лв из табл.2.4) позволяет вапнсать производные ду'/дЕ дт'/дц слевующим образам: в ,11 =т„агжгй ' Ч' в —,=,) а,лй 'Ч ' др' ! г Подставляя выражении (2.7!) в (2.69). получим следующие выражении для элементного вклада: в х'= я ~ ~ ~ ~ дагагжгжгй"г""1 ч'!"'1+ +ага!игл!5 'в 1Ч 'в 1 1)дйуч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
