Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если матрица К вЂ” симметричная, то прн вычисленигщ я хра. пении в памяти можно ограничиться либо верхней, либо нижней треуголыгой ее частью, так как остальные элементы известим в силу симметрии. 3.3.2. ИодцрогРАммвг Сегменты основной програчмы можно с успехам заменять под. программамп Свободное нснользоаание подпрограмм позволяет не толью упростить основную программу, ио также более легко ее структурировать и доиумептнровать, что особенао важно при последующих моднфпкацвях Наернмер, замена одного типа элементов на другой выла шнется шюредстаом подстановки различных подпрограмм. Гдирокое применение модульного подхода, с попощыа которого ьанечиаэлементиые программы цля рюличвых задач и разлнчнык элементов формируются из заданных сегментов, было бы невозможно без подпрограмм Другое вреимущество состоит а том, что каждая подпрограчма г)ожет работать и провервтьсн как отде.чьнан программа, что существенно обл«гчает отладку цзл.
сохгдиение симметрии матрицы жесткости ИРИ УЧЕТЕ ГРАИИЧИЫХ УСЛОВИЙ Метод 1. Наиболее просто три ю (3], может бмть показана иое уравнение системы процедура, сохраняющая симмена прямере. Рассмотрим матрич. Км ф к„ Км Кгг Кы Ко Ко К|з Км ки К кы к„ Кн Км Кгз Кэг Км Кгг Ка Км Кг~ Ам Км Кгг к~ фг Кг ))г — Кг (3.!) Предположим, что нужно учесть граничные условна Ф~=сь ф,=гь (3.2) Так как гравичиме условия ф, и фг заданы явно, поду генные Ранее УРавиениа дла фг и ф вепРименимы в системе (3,1) и должны быть звыеиенм равенствами (3.2).
Хотя эта замена нарушает симметрию матрипм жесткости К, симметрию все же можно сохранить, аодстаповкой ф, = г, и ф, = с, ео асе осталь. ные уравнения и переносом соответствующих членов в правые части уравнений. Например, второе уравнение системы (3.1) К„ф,+Кофт+К фа+К фг+Кыфг-Кг (з.з) Адж улучшенные методы Решения урдвнении Стандартная библиотечная подпрограмма ЕЕОТ!Р, прнменяе. мая для решения матричного уравнения системы из разд. 3.2.2, не приспособлена специально для использования в методе конеч. иых элементов, так как не учнтывает такого преимущества, как симметрия или ленточность матрицы системы. В гл. 6 н )О обсуждаются процедуры, которые учитывают такие свойства матрип, и показано, как можно испольэовать специфические осо. бенности матрицы для выборе наиболее подходящего метода Любой метод решения системы уравнений, специально предназначенный для симметричной матрицы К, более эффективен п требует меньший объем паыяти, чем соответствующая процедур» для системы уравнений с несимметричной матрицей.
Если используется метод решения, учитывающий симметрию, то существенно, ~тобы после убьете граничных условий Дирихле сохранилась первоначальная симметрии матрицм жестности системы К. В следующем разделе обсуждаются двв метода учете граничных условий, не нарушающие симметрию. Г.аэа 3 (3.4) или (3. 3) фг фз фз ф. фз с, В* — Кис, — Кмс, К, — Киш — Кмс, 1 О О О О О Кза Кээ О Км оК К ок- О О О ! О О Кы Км О Кзз (3.6) сг К.
— Кисг — Кмс, после подстановка фг н ф, из (32) принимает аид Кмс, +Кыф,фКмф,+ Кмс,+К фа=Ем О + (1 гфг + Кюфа -)- О + Кг ф, = (Кэ — Кос, — Кис ), С использованием этой процелуры система уравнений (3.1] пре. образуется к следующей. котораи, очевидно, симметрична.
Этот метод можно кратко сфор. мулнровать а виде следущщего правила Если уз.юоые эиачгиия ф, видимы а виде ф,=с„го К, эалгкяггсл задаиамл зиачеииел с„ʄ— едииицеп, а остальные зламеигм г.й строки и 1-зо сюлбца — нулями. Затеи из осгалаамх Кг следует вычесть Кг,с,. Необходимо отметить, что в случае больших систем уравне. ний с большим числом условий Днрнхле типа (3.2) описанная выше процедура мОжет использоваться длв уменьшения порядяа матрнцм снстемы Напрниер, уравиенве (З,б) может быть записано в виде э К Км К 1~ ф. ).Кг — Кмс,— К„сгц Км Км Км~ фз ~=~ Кг — Кзгсг — Кмсг~, (3.7) Км Кэз Км ф Кз Кзгсг — Кмгг так как фг и фг уже заданы равенствами (32) В резулывте число неизвестных уменьшается с 5 до 3.
Метод 2, Правило Пэйна — Айронса, уже упоминавшееся в гл. 1, аппраксимирует заданные граничные )славия с высокой точностью. Кратко оно формулируется следующим образом: Если уэзоаая иерсиеиипя ф, задана посредством раагисгэа ф, = с„ го К„ с,ггдуег заиемагь иа Кьп, а К, — ии Кггс,В, здз В в до,гыиое число, например 10" Зга операция ироэодигсэ со всеми задаиимми иераиеиимли Первый метод увеличивает разреженность матрицы системы, что в некоторых случаях полезно, зато второй метод иногда Пааэаа иаэзачие иегаба каны иы злвщигаэ легче программируется Преимушеством этих методов является то, что вследствие сохранения симметрии требуется память лишь для половины матрицы.
з.зл. млкропрогркммироилник и спгмпнтлция Если программа, нсоользующая метод конечных элементов, применяется для решения рида однотипных задач различной размерности, то приведение операторов Р(МЕХ5!ОН, характернзуащх массивы, в соответствие с каждой иэ задач вскоре ста.
новится довольно утомительным аапятием. В больших програм. мах ради экономии оперативной памяти можно использовать операгорм ЕЯП!НАЕЕНСЕ н СОММОН '), но любое наследующее изменение оператора О)МЕН510Н обычно требует сравнительно хорошего знания программ», в частности тех ее ч»- сг й, где запомнпаютая сегменты друЮю массива с помОщью оператора ЕЯП!НА).ЕНСЕ. Обе зти задачи могут бить разре. шеиы с замошью иакракодирааакия. Макрос здесь определяется как последовательность предложений, которые хранятсн отдельно н последовательно объедиияштся с програмыой по мере вызова Другнмн словами, макро.
сом называется поименованный програмнный сегмент, который может быть вызван всякий раз, когда этого требует специальный код основной программы или любой ее подпрограммы. Отличие макроса от подпрограммм состоит в том, что обычно-управляю. щий им пропессор бывает пезависиммм от основной программы. Для Фортрана часто используется манропроцессор, разработанный Даем н Шоу из Логгдонсиого университетского колледжа (4) Для конечнозлемевтиых программ раэмерм массивов обыч. во связаны с характернымн параметрамн задачи, такими, как число узлов и порядок интерполяшгн Для каждой подпрограммы размеры ывссивов могут определяться макросом в терминах его формальных параметров Размеры массивов длн основной программы получаются в результате вызова раэмеров масснвое макросов подпрограмм и одного изи нескольких макросов, относящихся непосредственно к основной программе Для разхич.
иых задач все размеры масснвоа изменяются согласованно пу. тем простого иэменекия этих нескольких макропредложеннй, содержащих характерные иараметры (4). Для очень больших программу в частности нри ограниченной оперативной памяти. иногда бывает полезно разбить програмыу на независимые ') Оиерагор ПЯО!Нлг.нноп ээ диа эээт иделеиие одного обще а иесгэ иэизго эзи дэу* изи большего . аер и ааих одной я той м эза. гз и эзи позэзо ракии, гэгзэ эщ ап загар СОЫМОИ презовс ы эи. зг.
ожиею щ э ач э зэя изрек аа ю азэрогрэим и оерэ эа. эоэ из осиоззай програи (ю другая аозара ра и).. Г! вез части, называемые сеамемгамм, которые вызываются и еыполия ются по мере необходимости. Способ сегментации программы зависит от архитектуры вычислительной машины и используемой оиерацнониой системы. 3.3.9. АВтомАтнческое пОстРОение сетки Подготапка искодных данных для задач с большим числом э.те. ментов может быть утомительной н требовать многа времени.
Один нз путей ускорени» этого шапа работы состоит е аатома. тическам построении сетки. Если задана некоторая основная аиформацяя, такая, как положение угловых и гранячиых уэлоа, тнп элементе, а также плотность элементов, то типовая програм. ма вычисляет требуемую сетку н дает спасок узлов н нх координат. Хотя такая программа может быть аключеиа а конечноэле.
меитную программу, обычно еыпалннетса она независимо, так что результат ее работы может быть проверен. Особенно полезна комбинация программы автоматического построения сет. ки с праграммамн построензя графикон, так как е этом случае результат имеет наглядную форму и даже может быть предстаалсн а изометрической пли перспективной проекциях. Дополнительная информация о построении сеток амеется е работах )б — 9). азт. переиумердинв узлов В гл. 6 будет показано, что ширина ленты матрицы жесткости системы К зависит от способа нумерацнн узлов. Если программа решения системы ураенений не учитывает нулей внутри ленты, то время н стоимость решения будет занисеть от ширины ленты.
В этой ситуации укелательиа такая нумерация узлов, при кото. рой ширина ленты минимальна. Хотя дл» простых задач определить такуЮ нумерацию легко, з случае сложной геометрии эта может еызеать затруднения К счастью, существуют ирогреммм, которые, используя е качестве исходных денных некоторуш го.
тоную нумерацию области, выполни!от перенумерацню узлов так, чтобы минимизировать !пирнну ленты Обычно такая программа, используемая перед основной конечноэлеиентной про. граммой, вместе с программой обратной перенумерайии вазызается алгоритма» леренуиерачии, который может 'ахоцеть н общий процесс вычисление между первоначальным вводом исходных данных я окончательным выводом результатов решения. Таким образом, первоначальная нумерация используетси при выводе результатоа решения задачи Дополнительная информация о программах перенуиерадин узлов имеется а рабатах )) !Π— '!3). Пуаеламмнлееаиие метода хаиечимх юемеиюз цйд ячеечное овъедвненне и методы РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ В гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
