Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Далее, вычисляя матрнв» жесткости К в виде произведения 0787089 с использованием равенств (5.31), (5.33) и (5.34), по. лучим -р--йж!Т! О, 2= 1, 2... (О дх ду, (5Л8) или ==8!0.371+.838,187 =О, )=1,2 ...,9 (539) дг, где Т! — элементы матрицы Т (522), а верхнее индексы у й дчя упрощенна записи опущены. Уравнение (5.39) можно разрешить относительно узлового параметра в центре масс. 010, ! Т,= — — 'Т1, ! 1,2, ...,9.
эа. Н Подстановка (540) и оставпщеся девять выражений ==й,!Тг, 1=1,2...,,9, ! 1,2, ...,1О, (ОИ) дх 021 71 22 3 -510 а — 4 1- Юз -38 -м ю ы о 7! -1 -21 1 а -и (б,аа) 3, = В'В'Щ1И =— !80 88!Р 3 ΠΠΠΠ— 1 О 1 О О О О О О 0 0 О О О О О О О О О О О О О О О О О 0 О О О О О 1 О О О О О 0 О 0 0 3871 О -5 1О Н ц 24$ 1 — 42 -51 5 !40 Н 1 34 -54 -Ю9 -3 -22 ! — ° -Ю -52 Н 0 9 Н -М -34 -9 -8 -ю з! Юз 5 1 но Н .34 — Н вЂ” $ Нз ы и ° 2 9 459 -141 -Н 38 -Ю9 Ю З1 — 9 !0$ ° 1 -4!9 9 — !91 Н -Ю 81 Н5$ Ю1 3$ 3З !О -м о 71 5 3 1 и .22 "> -5Ю -54 3871 О ю Н эм 42 ы -5 НО -34 -3 -НО -Н 54 М вЂ” Ю9 га -Ю 9 -181 42 -4Ю 9 ИМ Зрмипм» шсм мги, мэ дсмссчи» и р мм м е Нссшил 117 Гсе 3 Нв дает следующее сконденсированное матричное уравнение зме.
мента: (5.42) И равнения (5.42) следует, чта злемеиты сконденсированной яд матрицы жесткости 0, обозначаемой Ц и называемой элсммнгиа мигридсй жесгмости 8, описываются выраженвамн $! й — ' щг, 1=1,2, ...,9, 1 1,2, ...,9. (5.43) и- ив Рассматривая элементную матрицу жесткости 0 (5.35) для элементов 1, 3, 5, 5, 8, 9, заметим из (543), что элементы аоот. ветствующей матрицы 8 имеют вид (5 А 4) Дальнейшее вычисление (544) с использованием информации о йи нз (5.35) лает -1 — 27 0 4 — 3 — 2 0 !05 — 3 — 5,5 0 — 3 Ш 16,5 6 3 3 0,5 1 — 99 — Э 6 0 — !2 — !8 -15 3 — !0,5 0 0 103,5 а !8 — З Ш,5 27 -2 с — 16,5 9,5 3 — 10,5 -3 — 5,5 18 99 г ш „8 — 6 — 6 103,5 4 -16,5 о — !а — 12 -45 -3 0 — 2 10,5 198 -18 -18 В !В 2 -99 12 27 -2 !з -3 — 99 6 -|З О вЂ”.27 с 1 й зао (5.45) для элементов 1, 3, 5, 5, 8, 9. Таким же образом понучается 198 18 — 18 18 В 2 ->З 2 З вЂ” 99 — 12 6 -27 -2 4 — 18 — 3 0 — 99 — 6 12 18 0 — 3 27 4 — 2 -99 -27 — 12 -2 6 4 !03,5 16,5 1175 9,5 га 3 — 4,5 10,5 о — з — 10 5 — 5,5 1 2;-— ' !ВО (8.48) для элемеп1ов 2, 4, 7.
— 18 -99 — 3 -6 0 О 18 -45 3 10,5 6 0 0 103,5 а !в -3 16,5 !З 27 О -3 -2 0 — 10,5 — 3 — 5,5 0 — 3 — 18 — !6,5 6 3 3 9,5 5.4. ОБЪЕДИНЕНИЕ В СИСТЕМУ И УЧЕТ ГРАНИЧНЪ!Х УСЛОВИЯ Составление матрицы жесткости К системы может быть проведено нак по узлам, гак н по элементам. После получения матричного >равнения системы его необходимо скорректировать для того, чтобы учесть условия Дирихле. Из рис. 5.2 и 5.3 внл. иа, что слоеными граничными условиями являются Т =30, 7!=30, н Ти=О, Т,=30, Т,=ВО (5,47) которые могут быть учтены обычным способом, Условия Неймана дТ/дм=О из АВ, ду/дл = 0 на ВО (5.48а) (5.485) (5.49Ь поэтому соответствующие узловые значения вдаль АВ равны Т! О, Т„О Тт О, Те=О, (5.50) Граничные условия Неймана вдоль ВО (548б) .имеют внд — = — л,+ Э лс=О на ВО, .
эг эг эт (5.51) где н, н и„— х- и у-компоненты единичной внешней нормали П к ВО, соответственна равные — 1/072 и 1/.у'2. Следовательно, (5.51) сводится к условию эг эг - — + — =0 на ВО. дх др (5.52) явля!атея естественными граничными усмавиямн и удовлетво.
ряются автоматически, па крайней мере в том же приближенном смысле, что и остальное решение. Другой способ учета условий (5.48), которые должны удовлетвориться есгссгеснмо и лриблимсммц состоит в нх точном зэдзяии через узловые значения со. атветствующик пранзводных. Б результате этого граничные уело.
зия Неймана превращаю!с» в экеиеолсмгммс условия Дирихле, как анн будут именоваться в дальнейшем. Условия Неймана (6.48а) могут быть записзиы в виде !!9 !!з гл а (дуддТ„ь) О, (557в) В терминах подходящих узловых значений на ВО эквивалент ные условия Днрнхле записываются так: — ты+т, о, (5.53а) — Т,з+ Тю = О, (5.536) — ты+ т, =О, (5.53в) т ~з -1- Тг ~ ° = О. (5,53г) Из (5.50) следует, что Тм, О, и поэтому ревене~во (5.53г) принимает вид тг» = О.
15 54) Оставшиеся условия (5.53а) — (5.53в) ие являются незаелсимыми эквивалентными уславняни Днрнхле, а представляют со. бой эквивалентные связанные условна Дирнхле Существуют два способе, которыми они могут быть учтены !) посредством определения пробных функций для тех элементов, которые имеют узел с предписанными свнзаннымн успениями Дирпхле, твк чтобы этн условия были введены в пробную функцию, нлн 2) изменением матрицы й элемента, так чтобы удовлетворялось условие свяан В одном из иоследующнх упражнений рассмотрен первый метод; второй метод описывается ниже.
Рассмотрим следугощий функционал. Х=-Х(ть Ты, Т„ь ..., Ть Т„т„Тгв, . Тю Тыз Тт|г). (5.66»3 Условия мннвмнзецин н матричные уравнения для' элемеи. тов пал>чены в предположении, что все узловые переменные в правой части (5.55а) янляются независимыми. На,южнм теперь дополнительное ограничЕвне ты ты (5 56) полученное из (5 536). Это означает, что величина Тзт в (5 65а) ие является независимой, как предполагалось ранее, а представляет собой функцию от Т г! поэтому уравнение (5.65а) принимает внд Х=Х(Ть Т,, Т ь .
„Ть Тж Тте(Т*з). То, Тют, Тг,е) (5566) Следовательно, рассмотренные ранее условия минньгпзацнн ду)дТ„г= О, дд)дТгг = О, (5.57а, б) основанные на (5.55а), дочжны быть заменены на обычное усло- вие соответствующее уравнению (5.556). Производна» в левой части (5.57в) отмечена нижним индексом, чтобы поназать, что она не совпалает с производной (5.67а). Дифференцируя (5.566) «ак сложную функцию (1), можно записать модифицированное условие минимизации (5.57в) х с учетом (5.56) оно сводится к выражению (-~'Ч --~~5-+-'-5- )=о. Производные в правой части (5.536) соответствуют производным (5 57е,б). Таким образом, если задано ограничение (6.56), то равенство (5.586) вокззываег, что узловые уравнения для Т„, м Т„з, записанные в первоначалыюм матричном уравнеапи снеге.
чы, должны быть скомбинированы для получения одного уело. вия мнннмвзацнн В этом случае дл» получения одною замещающего узлового уравнения предыдущее уравнение в узле для Т„ умножается на 1 н складывается с предыдущим уравнением для 7,з. Вместо того чтобы вводить указанные изменения в матрицу системы, их можно ввести в матрицы жесткости' элементов 1г, окружающих б.й узел (в нашем случае еь е» и е,).
Это следует нз того факта, что столбцы и строки Т,з н Т„з в матрице жесткости системы К являются объединением столбцов н строк Т з и т з в матрицах жесткости й этак элементов. Такой подход описывается ниже. Изменен»» элементных матриц й, необходимые дл» учета граничного условия (5.56), состоят в следующем. Во-»ервых, для элементов, окружающих рассматриваемый узел, строка, соответствующая Т„т в матрице жесткости элемента й, умвожвегся на ! и складывается в сост»шатап» с (5.536) со строкой, сощаетствующей т*ь Во-вторых, для подстановки, согласно (5.56), Т,г вместо Т„*в уравнение системы столбен., соответствующий Тэн умножается на 1 и склвдывагтс го столбцом, соответствующем Т*». Наконеи.
так как зависимость Тгг теперь учтена в узловом уравнении длн Т , исключение исходного узлового уравнения длн Тг, завершается путем замены нулями строк и столбцов, соответствующих Т„з. Здесь отметим следующую трудность, которая должна быть преодолена. Нули в строках, соответствующих Тгг в матрине си. стемы, приводят к вырождевиостн этой матрицы й мешают последующему решению системы уравненнЕ Эта трудность лыко может быть устранена исключением нз системы уравнения для Г и р шо 0 -99 0 -6 ! В 0 !03,5 О 165 0 18 0 -45 0 0 0 -10,5 198 0 О 20 О-! -99 -б -27 2 -1В -3 -99 б 18 -3 27 2 -27 -18 2 -3 0 О 16,5 18 9,5 3 3 б 10,5 0 -3 0 -55 -3 -99 1В 27 6 -3 2 0 0 0 -4,5 0 -10,5 !0,5 -3 — 5,5 0 0 -3 !035 -1 — 165 -18 б 3 — !6,5 .3 9,5 .
(550 -45 0 4 0 -5 0 !05 0 — 11,5 0 0 0 45 0 -99 -5 0 б .4 0 -12 -34,5 0 -4,5 21,5 0 — В25 -1 1 0 -10,5 О !03,5 -11,5 0 365 0 0 0 !8 -99 2 12 В -б — 6 103,5 4 -365 0 Π— 12 -4,5 — 5 !05 0 0 198 -1В -18 В 18 2 -99 !2 45 -5 0 0 -99 б — 45 4 о 15.60) указанной переменной (т. е. вычеркивая»ем соответствующих строки в столбца) н, следовательно, уме»млением рвэмервостн системы Другая возможность состонт в том, чтобы оставить уравнение для эгей переменной, но »вменять все элементные матрнцы, дающие вклад в эта уран»с»не, одним яз следующих способов; 1) В строку, соответствующую Т„ь которве ранее была заменена »улан», вводится 1 в днагональяую поз»цию.
После объедяне»ня элементных матриц Й, поскольку нуль в правой чютп системы не заменялся, эта процедура даст ошибочный результат: 1'ы=О. (5.59) Этот результат отбрасывается, поскольку нз (5.56) н вышеаппсаиной процелуры преобрааован»я известно, что на свмом деле Туз рав»о Т э Этот способ, хотя н не выглядят срнвлекзтельным, является полезным на практике для сохранения си»негр»», присущей объединенной матрице системы. 2) Условие — Ты + Ты = 0 (5.536) я (5.56) учитывается «епосредственяо в строке, соответствующей Т„з е элементной мвтрпцеТс, записью — 1 н 1 в столбцы, соотаетствуюшие Т,» и Туз. После абъеднневня элементных матриц В этот метод включает равенство (6.536) как од»о пз уравнений системы, поскольку нуль в правой части системы яе заченяетея Это условие уже было выполнено ээ счет изменен»» элементных матрнчных уравнений, я яет яеобходнмостн в его дополнительном учете.
Этот метод делает матрицу системы К неснмметрнчной, что часто невыгодно. Однако метод имеет то достоннство, что правильное значение Ты появлнетс» кзк часть решен»я. Првменяя второй яз упав»нных выше подходов вместе с предыдущим» преобРазованиями для учета граончных условий (5.53) к элементам 1, б, 9, получнм скорректированную элементную матрицу ррм»гаем зыле и, выдм саямз» ер юмс е услОвия гш Апаяог»чно определяется скорректнрованнав элементная ма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
