Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На. прнмер, в следующей главе показано, что соответствующий вы. бор последовательности у.'лоа позволяет ынннмпзкровать шнрину лентж так, чтобы память могла быть использована более эффективно. Другим подходом к сокращению требуемою объема памяти, также апнсанным в следующей главе, является рвзбненне я прнаеденне к трекднагональиому виду. В гл. !О рассматрнваютсн другие процедуры для сокращения требований к памяти. Дополнительные подробности можно найтн в литера.
гуре )2 — 4). Лвт р ур ! Карт о Ш. Айтщкей Са1сс1щ, 2пй й., Айюаол-шщ1еу 197А р. !96 2. Мото' П. Н., йе т' кз О., Рп!е Е!смел! КЫ к рЬт, )'! о в, Ме Уотй, 1976, 3. Р с 6. 7, Реиоле М, дев~се и А П, зсЬлсЬт!сь Ш. С. 7ей ), Мсщеттса1 й Соври! МетЬоы тл 61 Шщт Мк!мс1ст, Асай к Р ещ, М Уо Ь, 197А е паше к-й, Юйюп е ь., мсщенса! меюойе 1п щппе е1ащес1 Асазуиа, Рщспсе.Наа, ЕпЩетюй СЬНа, Ме зещеу, !976. ЭКОНОМИЯ ОПЕРАТИВНОЙ ПАМЯТИ, РАЗБИЕНИЕ И ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ Ученому нлн ннженеру часто прнхопнтся отказываться от вы.
чкслмтелытых программ, тан кан нх требования превышают возможноств используемого оборудования. В таких случаях ре. шенка звдачн обычно лииигиррется памятью, а не аычислл. лиями, т. е. памятц требуема» для программы, превышает имеющиеся возможности. Эту ситуацию легко себе вообразить пля программ, реализующих метод конечных элементов, особен.
но в случае трехмерных задач. С целью уменьшения требованнй к оперативной памяти разработано много процедур, в том числе н'эв счет.дополннтельных вмчнсленнй; некоторые простые под. ходы описываются в настоящей главк Другие возможностн рассматрнвзются в гл. !О. Е.!. ШИРИНА ЛЕНТЫ Окончательную снстему уравненнй можно решат~ лнбо аря. имли методамп, которые дают решение за один шаг, либо лвлряиыии (итерационными) методвмн, которые путем последова. телштых прнблкженяй улучшают точность исходного прнблнження ращения. Прямые меюды можно прнблнженно класси. фнцнровать а завнснмостн от тою, для какай матрицы жесткостн снстемм онк предвазяачены — полной, ленточная клн разрешенной. В общем прямые процедуры для решення систем с яолпымн клн ленточными мвтрнцамк бОлее эффективны, если К сямметркчна; кроме того, для матрицы данной плотности') ленточные методы более экономичны, чем методы, разработанные длн решения с стем с псяныын матрицами.
Методы для ленточных матриц становятся дешевле метадон для разреженных матриц по мере уплатненнп ленты. В случае матриц с данной плотностью зффектнпность пря. мых методов для ленточнмх матриц обычно возрастает с умень шеввем шарипы ленты. В следующем разделе попазано, что '! Плотность олреде астм вав отвощепае числа ненулевмх тлеменюв к общему теслу елен нтсв ю р вн, Пс о олу реле рательной оиенва в кт. лос матрены злв злементов с лрвваллнейнн в ст рова в с .
Работу !П Эш ы Э р 4 юыги. З зб гше и зр агд из 141 Гшаа 4 140 требуемая память также может быть. уменьшена при уменьшении гпирнны ленты. Поэтому, прежде чем применять ленточную'' процедуру, обычно целесообразна минимизировать ширину.леи. ты матрицы жесткости системы К. факторы, оказываюшне влияние на гпнрину ленты, будут проанализированы ниже. Рпссматрим показанную иа рис. 6.1 часть двумерной сетки метода конечных элементов.
Пусть на каждом треугольном эле. Рэ«э.!. Дзтиеэнз сетха ие ода хохечзих 4 ээ. менте точное решение задачи, которое обозначим здесь как ф, аппрокснмнруется линеЯиымн пробными функциямн. Как показано ранее, об ьеднненне по уалам дает я уравнений плз узлов вада (6.!) 44, , аа, Уде в суммирование необходима включить только элементы, окружаимцие узел с намерам р, поскольку вклад остальных элементов нулевой. Из уравнения (6.1) и ркс.
6.1 следует, что уравиениедля узла 8 можетбыть записииоследуюшнн образом: После подстановки соответствуюших значений 2' е уравнение (6.2) уравнение в узле может быть приведена к виду Кв. !Р! ф Кз. г(ч+ Кч зфз + Кь гзфгз+ + Кь ыф~+ Кь 44(ыэ+ Кз, ы~Гм = О. (6 3) Вновь отметим, что в уравнение (6.3) входзт узлы талько ив соседних элементов. Эта абьясияется тем, что Ляя всех остальных узлов коэффициенты К„ь являются пулевыми.
с(ле» уравпепия (6,2), вносяшвй иклад от элемента 9, может быть записан как (6. 4) Подобвые выражение ыожно получить и для других !левов уравнения (6.2). Для каждого нз элементов 1, 2, 4, 9, 18 в 24 уравнения дли узлов можно записать в магрпч1юй форме по аналогии с уравнением (6.4) и расширить нх до размера системы путем включения соответствуюШнх нулевых компонент. Будет показано, 'гто квадратная матрица коэффициентов для каждого аз этих расшнреяиых уравнений з узлах содержит только з ненулевых членов (еде з — обшее число узловых параметров элемента, в расстгатрнэаеыоз! случае з = 3), одни из которых всегда расположен иа диагонали !Кирина лепты' ) в тако» расширенном уравнения определяется как числа, на единицу большее разности между номервмн крабиик правого и левого столбцов, содержащих ненулевые компоненты Это же правило применимо для снстемы любом размерности.
Например, для расширенноб матрицы, сформированной на асио. ве уравнения (6.3)'), крайний правый ненулевоб элемент пахе. дится в 92-м столбце матрицы коэффициентов, а крайний ле. вый — в нервом. Следовательно, «ширина ленты» для этого уравнения Ь 92 — 1-(- 1 = 92. Побкачьку диагональный элемент расположен в восьмом столбце, видно, что лента ие центрнрованэ относительно Положвннв диагонали Ширина ленты слева от диагонали, которую мы обозначим Ьг, равна разности между номерами столбцов, в которых расположены лнагональ. иыб элемент н крайниб левый ненулеваЯ элемент.
Точно таи же ширина ленты справа ог диагонали, Ьз, равна разности между номерами столбцов крайнего правого ненулевого элемента и диагонального элемента Таким образом, для уравнения (6.3) Ьс 8 — ! 7 и Ьч = 92 — 3 = 64. Рассмотрим теперь всю матрнву жесткости К системы и презставим себе две прямые, параллельные главной диагонали, проведенные таким образом, чтобы расположенная между ними лента содержала есе ненулевые элементы и была минимальной ширины. Ширина части ленты, расположеииоб левее диагонали матрицы К, ноторую абозизчнм Вс, сонпадает с макснмальнод Ьс для уравиеннб в-узлах. Аналогично ширина части денги справа ог диагонали матрицы жесткости К системы, которую '! пс чс « леиеитоз чт иэзззего свого з агзезогз до чр я го ра Ч Изэтазеота '! Как следует из Гэаэио из !З 2), оно з з.
втэа стм з Эасшпре имх угззк*зиа в узлах сетки зля 1, 2, 4, В, 12 24 го ззсиеэтое, эха оэия ээгэ глаша лаллгп разбиеэз и «ршедшив !аз гам б 14В Для случаев когда узлу соответствует более чем однн параметр, кан, напрнмер, у эрмнтовых элементов, вышеприведенная процедура может быть обобщена следуюшнм образом. Предло. ложнм, что в каждом узле есть 4 степеней свободы. Тогда г элиз эл Одвьстореиеээ ывэ ва леш» о 1 1 3 4 а з з е в в з !з ы 11 обцчязчнм Вю раааа максвмальной Ьл для уравнепий в узлах. Шнрина ленты мзтрнцы жесткостн системы К.
включающая главную дпаюэаль, равна в=в +в„+ !. (6,6) Эта лента уже сбалансирована относительно диагоналн. С це. лью нллюстреццк в табл.БЛ првведены знзченн» шнрнны лепты для узлов нз рнс. 6.2. Из этой таблицы видно, что В!=Мах(Ь,)=14, (б.ба) Ва —— - Мах (Ьл) = 14.. (6.66) а вз уравнения (6.6) В=29.
(6.7) Как можно проверить по рнс. 6.2, полушнрпна Вз ленты матрнцы жесткастн К снстемы, не включаюша» главную диагональ, равна 14. Из вышесказанного следуи в в в, (6.8) з Вз получается кан разность межпу максимальным н мнкп мальным номерами узла в любом элементе В,-(б+ Пр — 1, (8.9) где б — максямальная разность между самым меньшнм н са. мым большны номерами узла аюбого элемента в снстеме. Для мпиимкзацвв ширины лентм мзтрнцм жесткастн К системы необходимо пронумеровать узлы в системе таким обра- Ф И 15 Ш Рнс, ая, Гаэааеинс с алана.
зом, чтобы зта максимальная разность была «ак ыожно мень. ше. Рассыотрнм двумерный полый блок, разделенный на 16 треугольных элементов, показанных на рисунках 62,о н 6.3,л. Можно заметнть, что на этнх рисунках узлы пронумерованы по-разному. Если в данном узле ныеется только олив параметр н еслн не рассматривать граничные условия, то соответствуюшне матрнцы К системы примут вил, схематпчяо показанный на рнс. бтй б н 6.3,б. Полушнрнна ленты для первого способа нумсрецян определяется «ек В, — !баЂ 1 = 14, тогда «ак для второго способа Вэ = 4.
Иэ рисунков также видно, каким образом разбнснке области связана с раэбненнем соответствующей матрнпы К, что будет обсуждаться позже. Нв ланной стадни полевно рассмотреть взаимосвязь между злементвмв матрнкы К н физвчесннм взанмодействнем межлу узламн. С целью нллюстрацнн рассмотрвм уравнение для !О-го узла 8-го элемента (рнс. 6.2, а); оно вмеет внд йге, ей! + й!э, вр! + Ь(ь пзбг! (ОНО) Гза 6 144 Тев ияа 6.2 авион«вам е н етэвчеея лен и эь ы 5 а Р . а.з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
