Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Р Ееенне и лещ О. 6.2. СПОСОБЫ ХРАНЕНИЯ где номера узлов, соответствующие локальным номерам узлов 1, 2 н 3, были взяты в порядке 9, 16 и 1!. В результате анализа втих членов можно установить, что: йь1э,е есть воздействие узла 9 «а узел 16; АЕ«и есть воздействие узла 16 иа себя; й(1, и есть воздействие узла Н на узел !6.
Для самосопряженнмх задач влвяиие одного узла иа другой является обратимым, т. е. воздействие узла т иа увел л такое Шйдятле д',лу ! д,'г же, иак возкействие узяа «на узел ш. Поэтому результирующие матрицы жесткости К системы, по крайней мере в пк неизменной форме, являштся снмметричнымн, как показано на рис. 6.2'н 6.3. Поскольку матрица жесткости К системы обычно является ред. кой симметричной ленточной матрицей, требуемая пампть ма.
шины может быть сокращена путем запоминания лишь тех элементов, которые расположены в ленте. Этого можно достичь загюмн«вннем зяементов главной дна опали в элемсптоз коднагоналей слева нлп справа. что называется соответственно яодднозолальнмн и яаддногонлюкым слоссбпмн лрелставлеиня в памяти. Указанную процедуру иллюстрирует табл. 6.2 для слу. чая подаиагоиальиого запоминания симметричной матрицы жест- «ости К системы с полуюириной ленты Вз = 2. Изображены талька первые пять строк матрицы. Диагональнме элементы поставлены в последний сталбеп табл 6.2.
Если используется над. диагональное запоьгинение, то диагональные элеь1епты располнс' гаютсп в первом столбце прямоугольной матрпцы. ДХЕИОЛЕ Оюза Езюя-Шзыт« ЭЕ бнюю В РШЕ6ЕЛЧ 146 В случае подднагоиального запоминания элемент К.л ма-трицы жестиости К системы в первоначальном иредставлени» перейдет в элемент Кы ленточного представления в памяти симметричных матрац, где е 6+Вз — с+1,— (6.11) а Вз — полушнрннв ленты матрицы. Аналогично соотношение справедливо для наддиагональиого запомвнвния, Часто жела- тельнО запомнить матрицу нли ее чаСть «ак вектор, т е.
в виде строки. Поивзвиное в правой стороне табл. 6.2 представление симметричной лепты может бмть свернуто'в вектор запоминанием посдедовательиых строк нли носледовательнык столбцов. Ленточная матрица системы, соответствующая методу ко. печных элементов, редко имеет контуры') в вале пряммх линий, параллельных главной диагонали Поэтому предпочтительнее запомнить последовательно чэсти столбцов матрицы (между контурами) в виде вектора, особенно в том случае, когда в качестве алгоритма решения используется исключение по столб. цам (2). Когда лепта очень редкая, может быть предпочтительным использование одной иэ процелур, описанных в раза 10.2 4, исключающей хранение нулевых элементов. Однаио пр» недостаточно аккуратном программировании этн методы могут требовать боль восо «олнчествв управляюшик ивиных н становится неэффективными.
Для редких матриц может быть ценной пропедура с запоминанием гиперматрнцы, базирующаяся на разбив. пнях, аа исключением случаев, в которых алгоритм решения основывается на манипуляциях со специальными строками и столбцами (3). ') В эхнна «еитгр — эю лн «ревазе нежлг ее«глез м элене«тэнн ь еа зс ьи, эежещеа сверху спр н еевержэщеа только пул нэзщпа юнтур рел естся вшэегнэимм еарэ и (по лвэ онезе1, В«био термкна ые« тур ниеглв асио ьэуетсз ырмвв лине зриэзитэ». !4З Экввомвл ввевапмвта чввзпь Х ззивм и лэщещвив Ыт Глаза К 6.3.
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ УЗЛОВЫМ И ПОЭЛЕМЕНТНЫМ ОБЪЕДИНЕНИЯМ В принципе объединение в матрицу системы К по узлам ие. сколько проще, чем по элементам, и может быть легче заиро граммнроваио. Однако объединение по узлам имеет недостатои, который состоит в том, что вычисленные однажды подходящие параметры элемента приходится запоминать для повторного непользования в лругнх узлах того же элеиента или забывать н перевычнслять вх вновь, когда понадобятся.
В первом случае необходима дополнительная память, а во втором случае требуется больше вычислений в сравнейнн с объединением ао элементам. Существуют две ситуации, когда объеднненке по узлам выгоднее. Одна вознкнает в случае решения предельно больших задач ва обычных ЭВМ, а другая — прн решении задач средних- размеров на мнив.ЭВМ. В обопх случаях ограничением являвгся па»ять ЭВМ, а не дополнительные арифметические действия, поэтому целесообразен выбор келрлмаго (итерационного) алго.
ритма решения с минимальной памятью (гл. 1О) Простейшие итерационные скемы, использующие только несколькО строк матрицы, вполне совместимы с этим требованием. До настоя. щего времени итерационные схемы редко включалнсь в вакеты программ, реализующие метод «овечнмх элементов [2 — 4), но в результате прогресса вычислительной техники врнмененне мпнн-ЭВМ станет обычным, в связи с чем возникает необходимость в больших программах, првспособленных для вих. Совер.
шенствованне новых формулировок метода «онечных элемышов, таких кзк метод абсолютных н относительных перемещений [6[, поторые приволят к итерационному решению, может значи. тельво ускорить использование минн-ЭВМ. В случае объединения по элементам элементные матрицы жесткости й, получаемые для всек элементов по очереди, вкню чаютсн в матрицу системы К. Для каждого элемента цэраметры необходимо вычислять только окпп раэ. Как показано выше, крн использовании локалыгых координат необходимые преобразования кля элементных матриц можно осуществлять бистро.
С этой н кругих точен зрения объединение по элементам шн. роко прнмснвется, н в большинстве больших пакетов программ принят этот подход. Прнведеинме в прелыдушнх главах вычислительные программы испольэовали для решения системы уравнений библиотеку подпрограмм, которая требует, чтобм матрица жесткости системы К вместе с ее очевидной излишней информацией входила в память. Зто препнтствпе можно обойти несколькимн путями; однгг нз Кнх, называемый трнднагоналнзацией, опнсы- ваетсв ниже. Другие, более эффективные полхады, такие как фронтальный метод решения (см.
раза. 10.2.4) и блочно-прямой метод (см. Раэд. 3.3.3), детально описыьаются в литературе [2 — 4). 6.4. ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ В том случае когда матраца жесткости системы К слишком вш липа для полного запоминания (нлв запоминания снмметрич. ной ленты), может быть использовано разбиение матрицы системы на последовательность подматрнц, наждая нз которых имеет размер, допустимый к обработке. Этот путь может быть нсшщьзован для приведения матрицы системы к трехднагональ. ному виду, что позволяет получить решение пз Системы надматрнц.
Хотя есть н другие приемлемые процедуры, трнднагоналнзацня остается полезным подходом, который позволяет значвтельио сократить требования к памяти эа счет использования некоторых дополнительных программ. Рассмотрим разбнеине области, показанное на рис. 6.2,а, и соответствующее разбиение матрицы системы ва рис. 6.2, б. Ис.
пользуя зто разбиение, можно записать матрицу системы в виде (622) где К~ к Кт — подматригты К,В, н Вз — блоки узловых векторов, а Кр и Кз — матриды правых частей, соответствующие разбиениям 1 и П. Матрнаа С~ представляет влияние части П на часть 1, а Сз — влияние части ! на часть П. Вследствие симметрии матрицы К матрицы С~ и Сз должны содержать одинаковые со. ответствующие элементы Следовательно, >равнение (6.12) мо жет быль записано в виде (6. 13) Из уравнения (6.13) полу~эштон два уравнения с подматрн цами К,ф, + С,ф,= Кь, (6.14) С[ф~+ Кт(йз=йз. (6.16) Обратна матрицу Кь обозначив обратную к ней через Кгг и умножив уравнение [6.!4) слева на К~ придем к следующему результату; (6.16) !4В г. аа рг азт м ф~ фе ,' Фз фа К, С, се к с, Сз Кз Сз с к 1 (6.!9) Ф,-(К) 'й -[К.) 'С Ф.
(6.24) Кг Кь Й~ йь (6.20в, г) Подстановка уравненн» (6.16) в [6.15) дает после некоторых преобразований выражение Фе=(Ке) 'й. [6.171 где к =к — с|к с, й =й — с|к,'йь г г 6.! 8 ( ) Поскольку подматрнцы в уравненни [638) известны явно, уравненне (617) может быть решеао отяосвтельнофь Подстановка решеннпфг в уравненне (6.16) 'позволяет нолучнть решенне фь н вместо матрнцы К в памятн достаточно хранать тольно подматрнцы Кь Ке и Сь Полматрнцы К, н Кз нмеют разлнчйый порядок, вследствие чего полматрвца С~ не является квалратнов, что часто встречается на практике.
Пример рнс. 6 2,а с небольшнм колнчеством узлов я только двумя разбненнвмя не обнаружнвает пренмушеств рассмотренного подхода по сравне. нню с ленточным краненпем матрицы К. Рассмотрнм нумерацню н разбненне рнс. 6 З,о. Соответствующая ленточная матрнцз с ее разбвеннем привалена на рнс. 63,б Прелположнм, что матраца жесткостн снстемы К снмметрячпа Тогда она может быть представлена с разбненнем на попматрпцы в анде где К„ф, н Кч — разбненне матрицы к, вектора узловых аначеннй н вектора правых частей соответственно лля 4-го рззбненвя (гле 4 = 1, 2, 3, 4) С, прелставляет влнанне 4 + 1-го разбненна на г-е, где 4' = 1, 2, 3.
Вндно, что матраца козффнцнентов в уралненнн (6 !9) является трехднагональной ленточной ыатрнцей. Разбнвая область на произвольное количество частей (тм 3), можно всегда получнть матрицу снстемы в трехднагональной форме Процедура решення уравнзння [6.19) аналогнчна нрелыдушему случаю н получается как обобшенпе равенств (6.18); кц.~ =К444 — Са (К,) Со 1 1, 2... „84 — 1, (6.20а) йга~ й ш — Са[К4) й4, 1 = 1, 2, ..., )7 — 1 (6 206) где йг — число чашей Для ! = 0 нмеет место следующее сош. ношение: Ваала «а Оаараг азад ааа а. разбиение а арле даара !4В Рлаамл аадчмм г, 2 з м Рас 4.4. Раавнеиае с т«негода зьаеч и* манча 4».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
