Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эти три термина иллюстрирует рис. 8.!. Более точные определения можно найти в книгах по численному анализу и методам вычисле. ний )! — 8). Следует отметить, что жеиательной является устойчивость каждого вычисления, когда последовательные резуль. таты быстро сходятся к точному решению. ') Ли«за« а юа ходит за пред н аэа ээ «энга н 8 зтз р ю а эаззт а Оааа«с эыз э а ел«межа, чтэ Сзозимос ь, ззэчою а гэгээ«аэаююс ь Из рис. 8.! видно, что по мере уточнения параметров вычислительной процедуры точность растет, если процесс схо.
Рас. В.!. Т час ть, ус оа э сть а «ходачасть. ° э ь * э эуэчх *э г э гэ* дится, и падает, если он не схадитси. Таким образом, амалнз ошибок н их примни в методе конечных элементов естественно приводит к рассмотрению сходимости. 8.2. ОШИБКИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В добавление к обычным ашибиам округлении я аппроксимации, связанным с какай-либо вычислительной процедурой, есть и ошибки, связанные с самим метотам конечдых элементов И вЂ” б).
К ним относятся; а) ошибки дискретизации, нвляющнеся результатом геоме. трических различий границы областв н ее аппроксимации по методу конечных элементов; б) о«лобки яробяод или баэаснод функции, обусловленные Разностью между точным решением и его предстзвлением пробной функцией. Ошибки дискретизации могут быть уменьшены использова. вием более мелких элементов или расположением кривалнней.
иык элементов окало границ и, во всяком случае, стремится к нулю по мере стремления к нулю размера элемента. Ошибки пробной функции ие обязательцо уменьшаютса по мере умень. шения размера элементов и могут поэтому мешать схохямостн к точному решению нли дзже приводить л раскодимости. гю С зд мгм, о а зеы зэзззосгз Гжза В !70 В следующих разделах рассматриваются ошибки пробной функции в связи с ее поведением в пределах злэмента, разрыв- ности на границе между элементами и ее допустимости. 8.8.
ОШИБКА ПРОБНОИ ФУНКПИИ И ПОЛНОТА Рассмотрим множество линейно независимых функций, которые обозначим Ф.. Говорят, что такое множество является полным, если лииейнаи комбинация д, з,Ф, (где а, — константы, зыби. ! раемые подходящим образом) сходится в некотором смысле к произвольной функции ), когда М стремится и бесконечности.
Кот» возможны различные определении полноты (7 — 9), зава. спщие от определения сходнмости, здесь рассматривается пол. иота только в смысле сходимостн в среднем. Для этой ситуа- ции множество функций является полным, если любая функция ) может быть аппроксимяроваиа с любой требуемой точностью выбором необходимого числа членов в линейной комбинации х, н,Ф, (9), что в пределе дает г м Вщ зоФ, и-ь 1 (8.!) Мажла показать, что полиномиальпые ряпы от одной или несколькил переменных со всеми члегйзмв являются лотяыми в этом смысля Из вышепрнвсденного очевидно, что в общем случае полнномиальная пробная функция может тольно тогда дать точное решениЕ на элементе конечного размера, когда ло.
пином является полным и имеет бесконечную степень. Посколь. ку на практиие необходимо использовать конечное число членов, представление пробной функции в виде полинома не может быть кичем другим как приближением к точному решению. Иначе говоря, лрн представлении пробной функции в виде полиноыа конечной степени иа элементе приемлемого размера пробяаа функция практически зсегла содержит ошибку. Теперь иы исследуе» условии, при которых эта ошибка пробной функции будет стремиться к нулю ло мере стремления к нулю размера элемента.
Лля иллюстрации рассиотрим одномерную задачу (тем не менее выводы, которые мы получим, могут быть распространены на дву- и трехмерные случаи). Пусть функционал содержит функцию й и ее пронзваднме до порядке р включительно. Полвномиальное представвение для д дояжпо авдержать авецеиь р как минимум, если р-я лроизводнал отлична от пулд.
Выбирая полипом р-й степени, получим в пределах элемагтэ следующие представления: й яа+ яхт азхзчщх'+.» дв а +йзгх+Зажз+''' дх дзй ))л (вз+бззт . +рз,х' ', ° Г(д-!)к-т' ' (а. Ф д 'а )Гхз " ' --=.-) — !))з,+З', ' Р- бгй р ры Из (8.2) моткио заметитгь что, поскольку папином для й является полным, каждая из производных имеет в своем представлении член, не зависящий от л. Па мере того как раэмер элемента стремится к нулю, каждая из производных стремится к своему точному значеняю. н, следовательно, так же ведет себя вклад от элемента дд Функционал тоже будет стремиться к своему точному значению, следствием чего будет аналогичное поведение коиечноэлемеитиого решении.
В результате процеду. ра сходится. Вышесказанное нозволнет сформулировать следующий кри. терий ограличднгюй скодимости: Критерий ! (В). Условием сходимостп является представле. ние переменной внутри элемента в виде полного полинома как минимум степени р, где р — наивысший порядок лроизводгтай, вкодящей в функционал. Когда для представления перемегтиой используется полный полипом более высокой степени, чем уназанный минимум, от аппроксимации можно ожидать большей точности и меньшей ошибки пробной функции и квк следствие более высокой скорости сходнмостн. По крайней мере дли согласованных элементов зто предположение подтверждено численными экспериментами (10 . о сих пор не рассматривались физические параметры, та.
кне, как проводимость, модуль упругости и подобныа которме могут входить в функционал Если такой параметр не является постоянным ла всей области, он может быть аппроксимирован на каждом элементе полвномом, у которого есть как минимум первый постояннмй член, что обеспечивает стремление его ана. чеиня к точному во мере уменьшения размера элемента. 1тз Сз В НО ю, ллляаш н саллагаиы О Гызя В Следует отметить, что критерий полноты, сформулированный выше, является частным случаем более общего требования: Критервй 1. Для того чтобы выполнялось требование сходи. мости, неабюднмо, чтобы представления переменной и любой ев производной, появляющейся в функционале, стремилнсь к нх точным значениям ва каждом элементе по мере стремленвя к нулю размера элемента.
8.4, ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ И СОГЛАСОВАННОСТЬ В механике твердого тела при формулировке определяющего уравнения в терминах леформаций, а нскомога решения — в терминах перемещений с~ало обычным опнсмвать лоле переме. лцеинй как совместное, если перемещения меняются непрерывно по области; в текам случае леформацин кусочно-ншзрерывны. Зто определение было перенесено в область канечньщ элементов для тога, чтобы описать представление пробной функции, не. прерывной в области. Более общий термин Оогласоеаплость нс.
пользовали, по-видимому, впервые в 1963 г. (1Ц Бэйзелн, Ченг, Айронс н Зенкевич (12). Пробная функция рассматривается как согласованнаи, если переменная н ее производные вплоть до порядка р — 1 непрерывнм при переходе через границу мажлу злементамн, где р — порядок самой высокой производ ной, содержащейся в функционале. Для класса задач 2'и (8.3) где Дт — линейный, самосонряжениый н строго положительно определенный') дифференпиальний оператор, а и н ( — функции независимых переменных, возможна варнацноиная формулировка (9, Н) с функционалом, имеющим вид квадратичной линейной формы.
Этот класс, включающий много технических задач, может быть расширен рассмотрением п как вектора; в этом случае Ы становится матрицей, а (- вектором. Для того чтобы пробная функция бмла лопустимой, она должна в общем случае быть непрерывной н иметь непрерывные проиавадние вплоть до порядка р — 1, где р — наивысший порялок производ. иых, содержащихся в фуницнонале. Поэтому при нспользова. ияи для таких залеч формулировки метода конечных элементов па Ритцу условие допустимости требует нспольэовання согла. аованных элементов. ') ОяртхллОНЯП «ш лр и лш т я лграюа Ол ющ а О«р В ллл гя сн.
О работах (7, в, 1 РВ В Оста слиасонрямяияостн иногда испальяг шл терман л«ммюрп олгл, Для задач линейной упругости (являющихся подклассом за. дзч вышеназванного класса, для которых требуется попож»- тельная определенность Ы') сходнмость метода Рнтца, основан. ного на принципе минимума потенциальной знергив, может быть установлена для сонласоеаинил элементов (т, е допусти. мых пробных функций) использованием разложения решения и в рид Тейлора иа «аждам элементе. Такой подход использовался Маклеем (13, 14), Купером (16, 13) н другимн авторами; результаты исследований можно резюмировать следующим обРазам. Если представление энергии деформации содержит производные и, нанбоаьшнй порялои котармх равен р, то сходи- масть гарантируется, иогда пробная функция б на иаждам элементе описывается полным палнномом степени как минимум р. Более быстрая сходнмость достигается прн выборе полнномов более высокого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
