Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 26
Текст из файла (страница 26)
87. ВЫбОРОЧНЫЙ ТЕСТ Практический подход к вопросу сходимости дает амборочныи тест Айронса (19, 20), который описывается здесь в общих чертах для задач механики твердого тела В простейшей форме теста группа элементов, или кусок как минимум с одним не- внутренним узлом, полнбстью окруженным элементами, нагру. жаегся нэ границе силами, соотзетствующими оостоянныы деформациян ва всем куске. Если метод сходите», то по выборочгюну тесту вычисленные метоиоч конечных элементов перемегпения, деформации и напряжения должнм согласовываться с приложенной постоянной деформацией.
Тегтом ыо;кет служить также использование приложенных перемегпений, соответстную. щих состоянщо постоянной деформации на всем куске Приме. пимы тзкже выборочные тесты более высокого порядка, требую. щие на всем куске согласования решения с более-сложными нагрузками, предписанными на границе Выборочный тест не огРаничивается полнымн или согласованиычн элементами, а может также применяться для определения того, дают ли схо. дящееся решение элементм, не удовлетворяющие этим «рите.
риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции, быа обоснован математически Стренгом [21) как необходимый и достаточный признак сходичости в следующих случаяю а) кот да используются яесогласованные элементы; б) когда в фор. мулы входит численное интегрирование. Как недавно указал Олявейра (22), этот признак можно расвространить иа задачи, отличныа от задач механики твердого тела.
ВВ. ДОПУСТИМОСТЬ Для класса задач, описынаемых уравнением (8.3), оператор Я' имеет поридок 2р, т. е. имеет высшую производную порядка 2р, тогда как квэдратично.линейный функционал задачи содержит производные с наибольшим порядком р. Глааяьга граничные условия содержат провзводные вплоть до порядка р — 1, а естественные граничные условия включают производные порядка р, р 1 1, ..., 2р — 1 (1 Ц . Для того чтобы пробная функция и была донустгытгои, в общем случае, она должна бмть непрермв.
иой и обладать непрерывными производными вплоть до порядка р — 1 во всей рассматриваемой области. Как поназаио в равд. 7.4, варнацнонная процедура верна только в том случае, если пробные функция принадлежат классу допустимых функций. Следует заметить, что для класса задач, олисыааемьш одре. делающим ууаанением (8.8), условие допустимости требует со. гласоваииости элемента. Иногда считают, что допустимость и ггэ г за а Схоазизсщ иылзга и соз ааозззиоггз согласованность н для других задач являются эквявалентными, но, как показывает следую(цнй пример, это а общем случае ие так. Рассмотрим определяющие уравнении, опнсмвающне поле в двумерном потоке невязкой несжимаемой жидкости в терми.
пах х- н у-компонент скоростей,и н о соответственна: (Ъ(дх) + (де(ду) 0 в О, (8.4а) (до/дх) — (дп)ду) =- О в О. - (8.4б) Используи метод наименьших квадратов, получим функционал Х вЂ” ))(Таз 4- зз) +Те з )1 Гх (85) з Согласованность требует непрерывности только нробнмх функцйй й н б, по ве нх производных. В рабате (23) показано, что лля допустггмасти й и б необходима их непрерывность, не. прерывность первмх и кусочная ненрерыаность вторых производных.
8.9. ФИЗИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ ПОЛНОТЫ И СОГЛАСОВАННОСТИ Иногда математические требовании полноты н согласованности отражают важные физические условия. Рассмотрни, например. функции перемещений и и е в направлениях л н у соатветсгвен. но в двумерной задаче плоских деформаций. Положим, что шг. тсресующая иас область разбита на конечное число треугольных элементов, а аппроиснмацнн н длн и, н для о линейны иа каждом элементе. Функционал для плоских деформаций (см. гл. (!) вклюеает функции и н о н нх первые произнодные; таким образом, для этой задачи р = !.
Условием согласованности будет непрерывность д н д, что обеспечивается выбраивыми элементамн. Условие полноты для обеих функций и н о таиже удовлетворяется, поскольку нх пробные функции являются полнымн полнномамн первого порядка. Перемещения жесткого тела (т, е, яеремещеин», ие деформирующие элемент) возможны благодаря наличию постоянных члегюв в представлении и и о. Деформации, будугн первымн производными ат перемещений, аппроисимнруются на каждом элементе констангамв и, слеповательпа, имеют в рассматриваемой области кусо гно.постоянный вид.
Когда нс. пользуются полные полнноны более высокого порядка, даже в более общей трехмерной задаче упругости прнсутсшие постоянных н линейных членов в пробных функциях все чаще гаранты. руег присутствие хгестких перемещений и кусочна-постбянных деформаций. В ранней литературе ов методу конегных шзаминшш высказывалось предположение, что для сходимостн необходимо, чтщ бы функнип перемещений учитывала движение жесткого тела и равномерную деформацию нв элене»те.
Иэ вышеуказанного и равд. 8.3 следует, что этн условия заилючаются в «рнтерин подноги. Важно заметить, однако, что в ярнведенных выше рассуждениях предполагалось использование прямолннейнмх ко. ординат. Если полиномнальные элементы выражаются в терни. нах криволинейных координат, что было бы естественным, на. пример, для ирнволннейных пластин и оболочек, та константы н линейные члены уже не соответствуют движению жесткого тела н равноыервым деформацним ,"!б, !!). 8 !О.
ПОЛНОТА И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИЗОТРОПИЯ Представление азвиснмой переменной на заемснте не должно зависеть от используемой системы координат или, точвее, должно быть геометрически ииеариангимч для одгогоилльныл преобразований системм координат. Позднее стало более распростравеннмм называть шо пространственной, или гзомегричесиоб, изтроиизй, Кроме ниварнантности, свометрическан нзо. тропня также гарантирует вдоль любой гранньы нлн ребра эле. мента полноту полиномнальйого представления того же порядка, что н внутри элемента (24). Как показано в предыдущих главах, часто бывает удобным получать уравнении для элемента в локальной системе коврин.
наг н затем преобразовывать их в глобальную систему. В таких сяучаях важна, чтобы элементы обладали геометрической нзотропией, иначе преобразование может аарушить ранее удовлетворенные.условия сходнмостн. Когда в качестве пробной функции выбран полный полипом, можно показать, что соответствующий элемент обладает геометрической нзотропией. Если нз поливома нсключаютси неко.
торые члены, то это следует делать так, чтобы элемевт, соответствующий неполному полнному, оставался по.прежнему геометрически иаотропиым Прн определении того, какие члены мож. на отбросить, ясно, что симметричные оары (кзк х', уз или х"'уз, хзуз) не вносят несимметричность по отношению к той нлн ниой координате! Действительно, можно показать, что полниомы, пол. ные, за исилючеииеы симметричных пар, дают геометрнгески инвариантное представление н, слеловательно, обладают геометрической нзотропией прн условии, что порядок исходного полного яолинома не уменьшился. Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар пошгого полинома рассмотрим содзржащий десять членов полный Гока б )з( Сзобиносг, »о ната и соэ аювинвосгэ кубвческнй полипом от днух перемеивык дл» Ф: ши=аг+ цх+авй+аех'+ азий+абд+ + аха+ аахер+ пахра + а!с!уз.
(Вб) Элемент, ноторому соответствует итог полный поливом, обла Лает геометрической изотропией, на то же имеет место прн нс пользовании следующвх неполных кубаческих поляиомовг Ф а, + пят+ агу+ овну+ а,ха+ оех'у+ !май»-(-а!ей!, (8.7) Ф а, -[-оех+ аай + аьху+ а ха+ а эрт. (8 8) Для элемента, представляемого одним нз вышеприведсиаых полиномов, подстановка уравнения границы у ах+9 в соответствуюшее уравнение порождает полвый кубический поланом ат х.
Таким же образам получается полный кубвческий полипом от и, где и измевиется вдоль границы элеиевта, что полтверждает выводм первого раалела настоящей главы. Литарвтура 1. сгаиееп 5 н, ей!и пк Апа(увь, мсОсви-нш, мея у ги, 19е 2. Апгш %. Р„М экп в1 Мейоав о( Раша) ЭИ(еге Иа( ЕииаИоиэ, 2 4 ац Асааеш(с Ргеээ, Ме Ун 1, !977. 3. Рошуйе Н Б., Юаюн Ю.
й., ж П Э!Иа псе Мейобэ (ог Рагйв) О(йе. ге Ив! Ебиапоп, Фпеу, Меа Тою, 1960. [Ин ется и резок Вазов В., Форсайт дм., Равшктане стихи решены д фф р иааэьиих урезывав в частннх пршаводннэ — М., ИЛ, 195К! 4 Бсюеш Р„Сокр (ег тшр1ешеига(шн о1 Ве Инне е( шен1 е!Ьос, гп: М»- ег(са1 Со р !ег Меной Ь 5!ги Ьгаг Месвашс (Ренчеэ Б Л. е(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
