Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Связь между декартовыми координатами х, у, х в объемиымн коордн- гаг Г ау Зылг гк е эз сеаасгеэ натами 54, 51, 1з, 54 основывается на соотношении (9.49) Дли тетраэдрэ с четырьмя узлами базисные функции Хь ~о. лученаые иэ линейной ннтерполацви д' = а4 + ах + кзу + «,з, совпадают с соответствующими объемными коорливатами; еле. довзтщзьно, Лля такою элемента 544=54, ! 1, 2, 3, 4. (9.51) Обьемные координаты могут быть выраженм через глабаль.
ные «аордннаты путем обращения уравнения (9.49), а именно 1 Ц Ту (аг -)- Ьгх + сш -1- дгх), ! 1, 2, 3, 4, (9,52) где 1х,у, 6У= «1 УЗ 1 х, у, (9.53) а аг, Ьг, сг получаются циклической перестановкой индсксоа 1, 2, 3, 4, например (9.54) Заметим, что з41цки в этих выражениэх зависят от порядка соответствующих узлов. Вышеприведенные формулы отвече1ат правосторонней декартовой системе «аордпнат, когда узлы 1, 2, 3 расползгаютси прОтив часовой стрелки, если смотреть из узла 4.
Интегралы в элементнык вкладах можно вычислить в объемных координатах по формуле ( хе уе зе5 Ог = ~ Хз Уе Хз) . к, у, к, ( к, 1 ззд с,= — ~~кз 1 зз), Х4 1 24 Ь = — 1 уе зз 1 у, х, У хз У, 1 ) 4(1= — ~к, у, 1~. х, у, 1 где У вЂ” объем элемента е. Отметим, чта естественные координаты можно также определять н дла шестигранных элементов (6). 9.4. ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛ.1. КДЗИСИЫЕ ФУННЦНИ Несмотря на существование прутик одномерных элементов, здесь можно ограничиться теми простыми элементами, которые аннаевы в рвзд 9.3 и гл. 1. 95.
ДВУМЕРНЪ|Е ЭЛЕМЕНТЫ Треугольннип нвлзюгся простейшими.) многоугольниками, на которые можно разделить любую двумерную область, и зто от. чести объясняет популярность треугольного конечного элемента Следующий возможный тнп, который широко распространен,— это прямоугольные илн, в более общем смысле, четырехугольные элементы. Многоугольники более высскага паридка обычна не используются. эд н тэиугальнмк элныннты Из различных треугольных элементов наиболее широко испоаьзуются простые трехузловые лагрэнжевы, соответствующие линейной пробной функднн. Оанано в последнее ерема стали пги.
рака нсйользоваться элементы, основанные иа палпначпальлык пробных.функццак более высокого порядка эх.!л. ла эаамеее семеес аа гэеупм кых м е Треуголыгме элементы этого семейства могут бмть сформированы просто выбором достаточного числа узлов, обеспечнвщршнх единственное решение длэ коэффициентов выбранной полннамиальной пробной функции. Полный полинам порядка л содержит — (п + 1)(п + 2) коэффициентов; е-узловой лагранжев 1 а треугольный элемент, основанный кв этом палннаме, должен со.
Лержать такое же число узлов, слеаовательно, з д (л+ Ц (и + 2). ! 4) В зюи раза, рысщтразз тсе та ьхо прееззьиы (прзиестераанас) нащсу-азьевка дпе е. а 4 3. еиевгы спеснзеака з ре*з ет. гза г зт Злгкее н ея еа Хати существуют другие везмажиасти распаляжеиия з узлов, варианты, показанные а табл.
9.1, приводят я относительно простым базисным функциям. Базисные функции для указанных полныя ноливоыизльиык элементов могут быть получены описанным ранее методом обоб. гмг е э г Лагээн эо секеастее тзетгеаь м. емеюее юсиных координат, «отя сама алгебра становитсв все более слонсвой по иере роста порядка. С другой стороны, можно пользоваться и методом интерполяции, выбирая наждую базисную функцию как произведение трех интерполирующих фувкгткй Лагранжа (б, 11, 20). псе лагравжевы элементы, представленные в табл. 9.1, характеризуются непрерывностью пробных функции при переходе через границу между элементами и, следовательно, по всей об.
лестн, где решается задача. Вто можно проверить, заметив, что полные полиномы обусловливают геометрическую иэотропию соответствующих элементов (см. разя. 8.11). Из того факта, что число узлов не любой стороне элемента совпадает с числом коэффициентов полпвома вдоль этой стороны, также следует возможность определения этих иоэффициентоэ единственным образом Поскольку полипом на общей стороне соседник эле.
ментов определяется единственным образам одними и теми же узловынн значениями, пробная функцн» должна быть непрерывна пби переходе через гранину между элементами. В.КЛ.З. Чстмвюуыоеоа Га ы мз Эетг ьэнз ьеенект В гл. 5 был введен треугольный эрмитов элемент с чюырьмя узлами и полней кубической пробной функцией. Геометрия этого элементе с четырьмз узлами такая же, как и у элемента с тремя узлами, зз исключением дополнительного четвертого узла, выбирземога в центре Напомним, что в дополнение к определениЮ функции и ее первых праизвопных (по л н р), как узловых параметров в каждой иэ трех вершин, функция определяется также в центральном уале. Этих десяти значений уэ.
лаеых параметров достаточна для однозначного определения полной кубической пробной функции. Полный перечень базисных фувиций для этою элеьтентв был даи Фелиппа и КЛафом (2Ц. Однако, кек показано в гл. б, можне обойти явное использование базисных функций, что приводит и упрощениям формулировки. В той же главе показано, кек можно сократить порядок матрицы элемента путем устра.
пени» центрального узлового значения посредством конденсации. С друюй стороны, этот уэлозой параметр можно исключить методом, оиисзнныи в работах (22 — 24) Представляет интерес межзлемевтнея совместимость двя рассматриваемого типа элемента. Вдоль любой стороны элемента пробная функция Л может бить представлена в виде кубического полинома от з, измеряемого вдоль стороны. Узловые параметры и, ди/дк я литру алределяются з каждой вершние Производная диггде в направлении э'мажет бмть получевз каи линейная комбявация дигдх и дягду н, следовательно, известна а каждой вершине. Таким образом, значения и и блуде в конечных тачках любой стороны навестим;,этога достаточно для нахождения четырех коэффициентов кубического полкномв. Поскольиу кубические представления вдоль общей стороны соседних элементов однозначно определяются одннзновыми узловыми значениями, пробная функция сохраняет непрерывность яри переходе через границу между злементамн.
Из аналогичных соображений ясно, что первые производные кубической пробной функции при перекаде шрез границу между элементамн терпят разрыв. Если такая непрерывность необходима, то, как описано в следующем рааделе, прнкоднтся использовать интерполяцию более высокою порядка. В.цг.а. тв т о ыа ым а ш его аоаядх с мес ю узла э Элемент такого типа, показанный на рнс. й 5, быт впервые предложен де Вебеке 125) н основывался на полном полнноме пятой степени. Его узлавымн параметрамн в каждой вершние ивляются Рве. зд. тнпячнна мытэтэлсэоа ттетпыьииэ эленент. значения и, дп/дл, дп/ду, опв/дк', дти/длду, ьыи/ду', а танже па. раметр до/бл в каждом узле, лежащем на середние стороны. Таким образам, для однозначаого онределендя 21 коэффициента полного палннома ватой степенм имеется 21 условие.
Ентателю предлагается в качестве упражнения тем же саособом, что я в препыдушем разделе, показать, что прн переходе через границу между элементамн пробная функция н ее нормальные производные сокраняют непрерывность Таким образом, вробная функция н ее производные па л н у непрерывны эо всей области. Элемент с 18 степенямн свободы можно получить, задавая изменение ди/дл вдоль стороны «ак кубического полииома н отбрасывая узлы, лежашне на серединах сторон 126— 805 Прн этны сохраняется межзлементнан аепрерывнасть н пробной фу~тания, н се первых пронзволяых Элеьгепты аягогз норялка не только дают решение в ниде непрерывной поверхности с непрерывными первымн нроивводамми, но таиже позволяют получить вторые производные в узлах как часть решения.
Поэтому граничные условия, заданные а я м улгмгмти и ю еп а Г ееи 9 илв Уг1 - )ч" (х) Е". (у), в германах вторых производных, прн желании могут быть запн. саны в виде экнивалентнык условий Дирвхле (равд. 5.4). Как показано в гл. 5, для пробных функций более высокого, например пятога, порядка выгодна использовать локальную си.
стему координат 659. 9З.1.4. Дэуии питт«л в 4 шеи«эти В табл, 9.2 приведены некоторые другие чегго нсполыуемые треугольаые элементы. Дополнительные подробности о иих можно найтв в литературе. Термин сеяэаяиый в таблице необходимо пояснить. Здесь связанный полипом — это полный полинам, каэффнцвенты которого подчиняются одному илн нескольким уравнениям связи. Связанный кубический полинам из табл.
9.2 выражается пол. ным к>бическнм полииомом (1О членов) с одним >равнением связи Для элемента требуются только 9 узловых параметров, и этого с учетом уравнения связи достаточна для.определеивя десяти коэффициентов палииома. кад. ЛэямауГОльныел четырехугольные элементы Прямоугольные элементы сами па себе ие очень удобны в применении и нерегулярным пвунериым областям, ио очень часто используются совместно с более широко раснростравенвыми треугольными элементами. Четырехугольные элементы в этом отношении более удобны, ио все же оив пе получили такого шнроиого распространения, каи треугольные. Поэтому здесь будет дано только краткое описание прямоугольных и четырехугольных элементов. Тем не менее следует помнить, что в не.
которых.приложениях такие элементы можно с успехам нсполь. зовать. 9.КЯ.1. Лагэа 4 и изми у эльаие ьле. «еи Хотя Есть и другие прямоугольные элементы, являющиеся лагрзнжевымн в том смысле, что увловымн параметрами служат только значения функций, это частное семейство элементов ча. сто идентифицируется каи лаграижево прямоугольное семейство, поскольку оио происходит непосредственно от полиномов Лагранжа.
Рассмотрим показанный на рис. 95 прямоугольный элемент е с ю равномерно расположенными узлами а каждой строке и л равномерно расположеинмми узлами в каждом столбце. Для узла Л базисная функция выражается вроизведеиием двух полииомав Лагранжа; где полнномы Ег (х), Ег" (у) определяются иэ равеаства (9.9>), а верхние ивпексы ш н л используются для обозначения порядка поливамж Как требуется для базисной фувкцив, Ф~г(х, у) равна ! в хг, у~ а 0 ао всех остальных узлах, что следует из свойств поливамав Лагранжа.
Поэтому интерпаляцноннвя формула Лагранжа Ра«9Я Таеечвиа аагаееи в аэ» эугьаьаиа ыеиею 4 пробной функции й для лагранжевв элемента ши мажет быть записана в виде й йгийп + уингз+ ... + уг иг + уеА~+ унйы+ ." ... +у~ й, + ... +Фыиы+Уыйы+ ... +У„й„, (9,58) и=-Е Е уггйц. (9.59) Лагранжевы элементы етого семейства характерна>ются меж. элементной непрерывностью галька для й и вредставляются неполным иитерполиру~ашим палниомом. Можно поиаэать, что геометрическая изотрапия имеет место, если па направлениям х н у используется одинаковое числа узлов. Кроме первого (билинейного) элемента этого семейства, лаграижевым элементам првсущн недостатки вследствие наличия виутрепвпк узлов и плохого совмещения, особенно длв палииомов более выгокнх порядков. Поэтому прямоугольные лагрэнжевы элементы, птлнчяые ат билинейных, используются редко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
