Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Прнменепне трехмерных «овсяных элементов н в другах областкк, наорнмер прн нсследоваивн распространенна загрвэнеинй в эстуарнях рек по время првлнвов, также приводит к очень большому числу неизвестных. Обычно выгоднее выбирать узловые параметры в вершинах, поскольку вершины являются обшимн для большего количества элемеитоц чем узлы на ребрах нлн боковых гранях. Пр» фиксированном числе узловых параметров элемента это приводит к умевьшепяю числа узловых параметров системы п сокращению размера матрнцы системы.
Узлы на граняк взбегают нсполио. вать, поскольку онн являются общими тояько для двух элементов. Цена «спользовавня узлов на ребрах экачятельно меньше, особенно прн нспольэоваинп фронтального метода рев!скпв. В вышеприведенных рассухгдениях внутренние узлы ае прннвмалясь ео внимание, поскольку ояп легка могут быть псклю. чевы с помощью конденсапня В силу сказанного выше особое внамавне в следующнх разделах будет уделяться элементам с узлами в вершннах. Для всех рассматриваемых анже элементов характерна межзлементная непрерывность функцнв. Опасавпе других элементов н нх свойств можно найти в работах )18, 43 — 46).
99.!. ТЕТРДЭДРДЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Наиболее широко асполщуются тетрачдрзльные трехмерные элементы, хотя иногда бывает трудно разделить область только па элементы такого тппа '). Иэ-за этого тетраэдральные элементы часто смешиваются с шествгранвымп элементами Нккр. пвчнвамп»). На рнс, 9.12 изображены первые три элеыевта нз этого семей. стээ — 4 узловой, 1О узловой н 29-узловой, соответствующие полным лвпейной, квадратпчной н кубической полнномнальным пробным функциям.
Каждмй узел имеет только одну степепь свободы, а именно значение функция й в узле. Базисные функцнн можно определить методом обобщенных коарднват, хотя для элементов, отлнчных от линейного, их легче получить кек пронзвсденне пнтерполпрующнх функций 147). ')Тв, р с вщ сэти ст звэягсз авззэмни з тоэкинз. Для четырехузлового элемента пробная функция лннейнаг й = о, -)- пзк -)- пну + п,а.
19.71) Легко воказать, что базнсвыс функция для такого элемента определжотся простымн соотношениями Дг!ф йь Лзб Еь Узр-йз, Дгг где 6!, Ез, Ез н Ев — объемные координаты, определенные ранее в равд, 9.3.3. зез.з. Егз раэзэм Как отмечалось выше, прн пспользоваянн элементов высакнз порядков выгодно концентрировать узловые параметры в вер. шинах. На ркс. 9.13 изображен представчяющнй практнческнй Рис 9.13 Т р хэ З в мп Т49. антерес тетраэдральный элемент С параметрамн только в вер.
шакая. Пробная функцня длв такого элемента представляет собой неполный кубическнй поленом от к, р, - )46) Узловымя аараметрамя яплвются функцв«и и ее первые производные по мз 212 выл«гн! и ил с ал э Г «9 9.9,2.2. Сиз ва ш н лене т» (9.75) (9.77) к, у и е, шо в итоге даст !6 степеней свободы. Поскольку пол. ный кубпческнй поляком от трех переменных нмест 20 членов, для одно«на'!ного определения базнсных фуикцнй четыре члена отбрасываются.
Вычнсасвне базнсных функций для этого зле. мента н днфференцврованне матркцы жестностн ыожно найти в лнтературе (43, 48)..В задачах упругостн, когда в любой точке возможны три перемещення и, о н ы в направленвях л, р н з соответственно, получающяесв в результате 48 узловых пвраме. тра дают элемент с обюепрннятым названнем Т48. Другне тетраэдральные элементы рассматрнваютсн в рвбо.
тах (б, 43 — 46). 992. шестнгрлнные.прямоугольные элементы В)естнгранные элементы аа нх внешннй внд иногда называют «кнрпвчвкамя». Ббльшая часть пспользуеммх шествграэнык элементов прннадлежят к лагранжаву я свренднпову семействаы; онн я рвссматрнваются далее. 9я.зд. Лаграш сан элене ты Так же как я в двумерном случае, трехмерные лагранжевы элементы нмеют базнсныс фуннцнн, представляюшне собой про- нэведенпе ннтерполяцнонных полпномов Лагранжа.
Как пока- Р 934. тяаичанэ в сь уэл«юа шытиграни 9 «эграэше эл нт вано ва рнс. 9.14, первый элемент нз этого семейства имеет восемь узлов. В каждом уэлс оговарнвается только значение функнин, что дает всего восемь узловых параметров. Элементы более высокого порядка в дополнемне к узлам в вершннах мо. тут нметь узлы на ребрах, гранях н внутри, по такне элементы нспользуются реже. Мозкко показать, что прв нспольаованни естественных ортогональных координат «, Н, Е н выборе начала кордннат В в центре элемента (рве. 9.14) базнсные функцня для первого лагранжева элемента описываются выражением Дг' в(!+«й!)(1+НЕ')()лс(2')' 1 1' 2' ''" 8' (9'73) Пробная фувкцня й на элементе е может бмть представлена в термвнак этна Дг, следуюшнм образом: а= 2.ЛЯЬ Трехмерные спренднповы элементы, как п двумерные, не содержат впутренннх узлов. На рнс.
9.15 изображены первые трн элемента вз этогр семейства, где видно, что ояв обладают В, 20 л й й Рн«. 939. С Репниковы ш«ствгрзвнн ш « — *з а,з- э а — тз з. н 32 узламн соответственно, н в каждом вз этпх узлов задается значение функция. В снстеме координат ВЩ, такой же, кан нв рвс, 9,14, базисные функцнн для указанных снрендлповых эле.
ментов имеют слодуюшпй внд (49); «линейлыйь элемент «ка Зла к и й э. «ланг узел в вершине Дг! =-, (! + Й!) (1+ Нпг) (1+ 2В) ВВ + Цц!+ ( — 2)1 (976) твпячный узел на середнне стороны В-О, 8,=~1, (!-~1, ! Лг! 4 (1 $«) (1 + ПЕ!) (1 + и!) Язе ечти а щ сзодгжа 212 «кубический элемент узел а вершние ством соотношений ( гго акд.
Ндтнгрднные элементы Ш Г таам АГ ~ - -б( (1+ ИВ (1 + Цяг) (1+ иг) (9 Из + Ц' + 0) — 19)1 (9 78) типичный >вел иа середине стороны й ЩТ 8=Ш! (=Щ1, 1 (9.79) Н,=4 (1 — й')(1 + йи И( + цш)(1 + 0(0 Базисные функции для линейного элемента из этого семейства выглядят так же, как и у линейного лагранжеве элемента Все рассмотренные выше элементы используются на практике.
Эти элементы, имеющие вид треугольных призм, используютсн довольна часто совместно с шестигранными элементами. Их базисные функции образуются с помощью фуннцви„интерпалирующей на треугольнике, которая умножается на лагранжеву илн сирендвпову функцию па оставшейся размерности (49).
9 7. ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для удовлетворительного геометрического предстаалюгив этих границ необходимо использовать болывое количество граннчных элементов с прямыми гторонами (гранями). Если попользуются криволинейные элема~мы, та число необходимых элементов мо. жег быть заметна сокращено, к в результате уменьшится общее число переменнык в системе. Для трехмернык задач, которым присуще большое число переменных, такое сокращение может быть очень полезиым. Хотя и существуют различные методы построения криволи.
вейных элементов, едннствеинмй шяроко используемый на иран- тике метод основывается ва отображении регулярных (орнмореберных илн арямостороиних) щечентов. Если известны базисные функции лля регуларного порождающего элемента в локадьной системе коорлинат, то можно определить н порожденный криволинейный элемент Как было показано Айравсом, Зенкевичем н лр (49 — 81), отображение из лоиальной системы координат Е ц, ь в декартову х, у, а осу~цествляется посред- к=И„к, (9.80а) у Н у, (9 800) к Н к.
(9 80в) Элементы в уравнениях (9.80), поторые входят в матрицу базисных фуннций Н, являются функциями от $, 8, ь, а столб. У ~г,п 1 ко цм х, у и х образуют список значений естественных ноординаг по отношению к глобальной системс. В локальной системе щг щв Г вар дыламгм и ик Л ва координат пробная функция Д может быть запнсане в виде 'б Нн, (9.81) где элементы мвтрпцы базнсныл функций И зависят от Е ц н Е Из рнс. 9.!б видно, что для любой точки порождающего элемента с локальнммн коордипатамн Е ц, й в порождаемом элементе на основаннн уравненнй (9.80) может быть получена са. ответствующая точка в глобальных коордннатах х, р, з.
Значение пробной функцнн в точке к, у, х совпадает со значением функннк в соответствующей точке Е ц, Е н его можно вычпслнть с помощью уравнения (9.81). Удобно выбнрать матрицы базнсных функций (9 н Н одинакового энда; в этом случае порожденный элемент называется нэоллраыетряческия. Если матрица базнсной функция К выест меньший порядок, чем матраца р(, то полученный нрнволннейиый элемент является субпараметрнческнм, а еслн Н более высокого порядка, то элемент является суперпараметрнческнм. Если в уравненнях (9.80) я (981) попользуются линейные базнсные функция, то двумерный прямоутольних отображается на прояэвольный четырехугольннк, а трехмерные кнрпнчнкн станут шестигранниками с плоскнмн, но не параллельиымн тра.
пямн. Для пблучення криволянейнык элементов можно нспользоветь отображения более высокого порядка, такие, пап квадратичные и кубнческпе. Прн формирования элементных матрнц с использоваинем пэапараметрнческпх элементов необхадкмо вычнслнть производные ат базнспых функцкй в системе Ойт5 нз соответ«твующих пропзводвых в системе Охра. Этн нзборм производных могут быть удобно связаны через якобизн преобразования. Для двуыерных областей разработано несколысо кркволн. нейных треугольных элементов Например, кубический «риволнеейный элемент, первоначально предназначавшийся Пля анализа потенцнальных теченпй, описан Айзексом (52).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
