Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(10.8) (10.3! Огг нг3 'гвв 2333 Огв Ог Хг Хг Можно покаеать, что исходное уравнение (101) восстанавли. веется умножением урввнени» (10.8) иа иолходящую ингкнюю треугольную матрицу П Слеловательно, процесс исключения со. ответствуег равлолгению матрицы А на Е н О, т, с. А= ЕО. (! 0.9) Черта над элементом матрицы н уравнении (10.3) укааывает иа то, что этот члечеит модифицирован.
Например, величины Ож н Бг полу шны по формулам Подстановка равенства (109) в (10.!) н умножение слепа результата нв обратную к С матрицу лает уравнение ОХ=С В=С, совпадающее с полученным ранее уравнением (108). Заачеиие переьгекиой х, получается непосредственно нз лсю уравбенни системы (1О 7). Подстановка этого значения йгг аж — (Ог,/О,Па,г, Б Ь вЂ” (Ою/Оы)Ь,, (10.4) На втором шаге исключения второе уравнение (!04) умно. гкветс» ив (ан (или Ог))/Огг и вычитается на 2.9 строки, где Г а З*гчв аы аш О23 О22 Огг Огг Ов2 Ом Ош аг3 пгг йгг 424 й32 йгг Ггг Ош гтвэ Нвв Огэ Оы Ь, Ь, Ьг Ь, Ь, Ь, Бг Бг Ьв Ь ш 4ш Огг йгг йгг 823 йг3 Ог» Огв йгв Огг Овв Ов, О,в О„еы агв а,„ х х, х, Ь, 82 Б, Б, Ь, Глаза Ю М ал р звв ррзэ вшл и з вш арогра шрэ шш ЗЗ7 в (я — 1).е уравнение дает к, г.
Продолжая этот процесс обратной подстановки в системе )равений (10.7), последовательно получим значения остальных неизвестных. Очевидно, что этз процедура зквивалеятна умножению слева уравнения (10.!0) нз обратную к 1! матрицу, т. е. Х=П ~С 1В=П 'С. (10, П) Детальное исследование метода нсклю гения показывает, что на й-ом шаге исключения я оперативной памяти нужна лишь тре. угольияа часть ленточной матрицы, обозначенная 1 иа рнс.
10 ),а. Козффяциенты в треугольнике П танже необходимы ",()~ э' Рнк 1ОЛ. Прсаэдура з«ввчэнаа Гауша. для вычислений, иа в силу снмметрн» матрицы оии могут быть получены нз треугольника 1. После й-го шага жключення (часто называемого А-й редукцией) Ья строка нз активной части памяти может быть отправлена во внешнюю замать, а новый столбец даянмх переслав в оперативную память (рис.
10.1,6). После этою можно выполнить следуююнй шаг исключения. юзя. Ерь'-ФАкторизАция А)аррика коэффицвентов А э~ожет быть рааложена в орояэведенне нижней треугольной, диагональной и верхней треугольной иатриц, т. е А=ХОП, (10.13) нри условии, что А н ее верхнее левые главные полматрнцы не зырождены (5, 6) Кроме того, если А симметрична, то верхняя треуголы1аа мэтрш1а является граасаоннрованной зо огноше.
няю к нижйей треугольноя матрице, н у обеих этак матриц на главной дяагоналя находятся единицы. Таким обрезом, А= ЕВСг (10.13) По очевидным причинам это разложение часто называют тройной факторизацией (7) Используя зредставление (10.13), можно решить матричное уравнение систслгы эа два шага, твк как уравнение (!О 1) может быть записано в виде ЕС=В, (10.14а) гле СЕ~К = С. (10.146) Сначала решается уравнение (!014а) относительно С, а затем ураянение (10.!46) относительно Х Элементы матриц В н С мо. гут быть вычислены но формулам — 1 (10.15 а) -1 !н = 1, 1-г )и=(!/дл))сгг — 4„1, !1 6 „). 1>1, (10.15в) 11=0, 1(1, (10. 15г) где сумма аолагается рваной нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего.
Векторы С и Х определяются яо о м лам фр у (10 16а) х =(1)дь)(с,— у дь) гх ). где л — размерность квадратной матрицы коэффшгненюв А. Разложение СВСг может бмть выполнено весьма эффек. тнвно посредством аычислевин элементов О и С но столбцам (5). Этв процедура предпочтительнее простого метода исклю. чення Гаусса, тзи «ак она значительно более быстрая. 1ЕЛЗ. РАЗЛОЖЕНИЕ ХОЛЕССКОГО Разложение Холесскою, иногда называемое методом квадратного корня, возьгожно только для симметричной ноложнтельно определенной матрицы А ').
Прн этом условии матрица А может ') Ма р А мэнээс ао. взгв из опрслс. а, ссз» э зр тзч 4вр з (А 4Э ) приюмсиза А лсмзтсльаз ав зс сэуаевмз и. г и быть разложена а проязведенне нижней треугольной матрнши С с положнтельнммя диагоналыпимн элементамп на ее транспо. нированную, а именно: А 1!г (10 17а) С другой стороны, матрица А может быть разложена з произведение веркней треуплльной матрицы С на ее транспоияровааную: А =СВг. (1О. 17б) )(ля первого яз зтях разложений подстановка вмраження (10.17з) в (!0.1) дает уравнение й Сгд = В, (10.18) которое может быть записано е вяле последовательности уравнений СО=В, Пб.рйз) 1.'Х = С.
(!О.!9б) Прямая подстановка, использующая (10.19а), дает матонцу С, а обратная полстанозка, основании» па уравнении (10.)9б), мо. лкет бмть нспольэована для получения требуемого решения Х. Треугольная матрица С = (1л), небхолнмая в этих вычислениях, может быть определена явно через элементы матрицы А с помощью следующих соотношений: ш (гг=(аи — к 1«) и ! 1, ..., л, (10.20а) ,,4- (гг = ( 1((г!)(иа — 2, 1,.1,.) . ! - ! + 1, ! + 2, ..., ,, 1 = 1, ..., л, (! О.
20б) (а=о, 1<1, (\йище) тле сумма полагается рааной пулю, если верхний предел сумллировання мен! ше нюкнего. Очевидно, что для этого алгоритма. пр» вычпсленнн элемента (т гребу!отса лишь элемент а,! н элементы матрнцы П укааанные на рнс. '10.2,о'двумя жирными лпнпяыи. Если элементы в треуголЫпке ! находится в оперативной памяти, а элементы аг, заменяются вычисляемыми щементамн йа то элементы, необходнмые для вычисления злементоз 1,! (указанных жнрныче лаанямн е матрице С) находятся а вылезет!ы» линиями частях матрацы А. После определения каждый нозый.элемент 1, запнсыаается вместо соотзетствугошего элемента аи. Таким обре. эом, вычисление элементов (г! осуществляется вдоль линии ВС Ы шел! р а и зраииеиат и г и ииа раграи иривии«и Зхз вплоть до нижней границы ленхы.
После этого необходимо пе. реслать олпу строну 1и ао внешнюю память нз активного тре. угольника, а новый сюлбец аи — в оперативную память, как зто схеыатнчккп показано на рнс. 10.2, б: Оба алгоритма — СОСг-факторизация к разложение Холесского — требуют значительно меньше еремеяя вычислений н, та ! =щ)у, с Ыгар«ии Л заир ии г. и '4М, Рис. гцз. Рэли«меии Халк« г«.
кнм образом, лают более быстрое н дешеиое решение по сравнению с простым методом Гаусса, хотя онн не имеют больших преимуществ в отношение памятн. Процедура СВСг-факторизации содержит несколько меньше операппй, чем алгоритм Холе*- ского. газа. аронтлльнып мнтод В разд. 10.2.1 показано, что метод исключения Гаусса может пр!лменщьсн поэтапно при условна, что нн каждом этапе е оператнвзой памяти находится лина активная область мнтрнцы. Аналогичным обрааом, обратная подстановка мажет выпал. г. ° и нятьс» последовательно с использованием необходимой актив. ной области.
Если применяется поэтапное иснлюченне, то объединение элементных матриц жесткости й в матрицу коэффнциентон жесткости системы также может выполняться поэтапно с нычислеиием н обьединеннем лишь тех элементных матриц жесткости, которые необходимы для нычищ~ен»я значений коэффнциютов в текущей активной области. Фронтальный метод элегантно Использует эти принц»вы.
Фронтальная линия, перемещаясь по области задачи, захватывает элементы в том порядне, я каком они необходимы для объединении. Дополинтельнын достоинством метода янляется то, что нули матрицы коэффицаентов исключаются из вычислений. Другое достоинство состоит в том, что вычисления в узлах посередпне сторон и граней требуют ненамного больше затрат, чем а угловых узлах Хотя принципы фронтального метода решения установлены довольно давно' ), метод прочно «ошел а конечноэлемевтную практику лищь благодари формулиронке, данной Айронсом в 1970 г.
Волее полробное описание фронтального методв решения имеется в его работе )8) н других публикацаях (1, 5, 7, 9, 10). ГЭ2В. БЛОЧНОЕ НСЦЛЮЧЕННЕ Если симметрична» матрица коэффицненто» разлелеиа на квадратные подматрицы А,г (обычно называемые блокамн), а матрицы Х и В аналогично разделены на подмвтрнцм Хг и Во то процедура исключения Гауссе может быть использована дл» нахождейня Х, точно так же, квк н раньше.
Предыдущие формулы н алгорптмы остаются в силе, за исключением того, что ао эаменяетсо на Ао, й,— на В~ н хг — я» Хо Единственное отлично состоит в юм, что всяк»9 раз, когда в первоначальной процедуре появляетси умноженне на аы (обратное алл), в блочной процедуре оно заменяется умножением на матрицу, обрат. ную Аы(А л').
Таким образом, с помощью процедуры обраще. ння симметричных подматрнц Ал можно использовать метод исключения Гаусса для сведения «еалратной матрицы, состоящей иэ подчвтрнц Ао, к верхней треугольной блочной ма риц, Анаюгнчво, поднатрипа В, преобразуется к соответстиуюгцей подматрнце БХ Так как «ажда» нова» подмвтрнцв известна «в»о, то процесс обратной подстановки, аналогично нспользован. ному ранее, лает нензвестнмй вектор Х. Анализ этого процесса показывает, что для выполнения процедуры исключены» необ. ходнмы в оперативной памяти в каждый момент времени только три блока матрицы коэффнцвентон А Соотяотсюевно дли оро.
') Этот водкол вверено ксоольлуошл в фирма *Болл врлм рво с ~У60г, Млгодн рошшол Вжо ой и г юшка Мелло рола лл цессв обратной подстановкн в оператнвной памяти одновре. меино необходимы только трв блока матрицы В. Блочное разбиение может также вспользоввтьсв н в других прямых методвх, таких, как процедура Холесского. Широкое применение блочных процедур в последние юдм связано с уменьшением требуемого объема оператнеиой памяти арн решении больших систем уравнений. Например, в рвботе (!1) использовались два блока. Нижний блок перемешался нв место верхнего, пересылаемого во внешшаю память, а с~ион»зле» новый нижний блок.
В работе (12) аснользовилнсь строки целых чисел для записи положения блоков с ненулевым» элементами, В работе )!3) описан блочный (по узлам) алгоритм. В рзбо. тах (14 — 16) также применены блочные алгоритмы нсключе. пня, причем в алгоритме работы (!б) сохраняются только не. нулевые элементы. В более поздних работах (17, 1Е) размеры Г)лаков автоматически приводятся в соответствие с мащптабом решаемой задачи. Несмотря на постоянный интерес к блочным схемам, не видно каких-либо особых преимушеств блочных алгоритмов, основанных на безуслояном разбиении на блоки)), в отношении ленточных матриц, Первоначальным толчкам развития блочных схем было то, что они по.прежнему позволяла использовать прямые методы даже е том случае, когда система уравнений была настолько велика, что матрица коэффициентов не помещалась целиком в оператнпной памяти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
