Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Объем вьнислений уменьшается, еслн нумерация узлов н разбненне выполнены такам ,образом, что в уравненнн (10 48) имеется нанменьшее екало блоков Хг, саседннх н блнэкнх блоку Х. Еслн область задачн регулярна», то Узлы могут быть вмбраны ва ре. гулярной сетке н занумерованы по строка» нлн по стачбцам; прн этом матрнца коэффнцнентов А будет »меть блочный трехпнагональный внд'). Далее, разбненве чвтрнцы очевидным образом пля блочного нтерапноннаго метода дает в выраженнн (10 48) блакн Хь соседние блону Х,.
Кране того, необходимо ваметнть, чта Ъ этом случае А удовлетворяет блочноыу ссвайству А [72, 45], так что 50Я-метод может быть нспольэован в блочно-нтервцнонной форме с оптимальным знвченнем м, определнсммм теоретвческн Для таких регулярных задач блочная ЗОЕ-процедура сходнтся быстрее, чем блоеный метод Гаусса— Зейделя, который в свою очередь сходнтся быстрее блочной нтсрацнонкой схемы Янобн. 41 ы рина ввв вве б.а вее тисхввв ьнв ьюб, сс и авв ио б ть разбита и блоки гвх чтоб юнулев блоки вв х ви ольх« нв Ю лнвгеев. и сос хннх с вса р нее янчев з ююлв, бве н ю .менов Хвею в. вэвлнсь введи и в есв стиви г.
его И«годы реме«ар чраа енэа я г«хл»я» ллю«реля»рова аа .7 Прн сравнении блочных методов с саответствующнин точечиыюи необходимо учлюывать дополнительные вычглочения для решении неявных уравнений, например (10.48) От рассмитриваемой залвчи зависят, уменьшится л» общее время вычислений по блочному четоду в сравнении с аналогичным точечным. Для регулнриых областей баочныс методы обычао быстрее, чем соответствующие нм точечнме итерационные метоты.
Для нерегуляримх областей превосходства того нлн нного метода определяется размсрою задачи. Недавно развитые неявные методы персменнык направлений (ацегпвций б!гесИоп !шр!лсц — АО1) могут быть бтаесены к блоч ным вроцессзм, но все же существенно отлялэютсэ от ннх. Для некоторых задач АШ-методы могут быть млюго быстрее БОЯ-методов, однако ганне модельные задачи являются нскшочительнммн (2).
Так как матрицы, возникающие в коиечиоэлемептиых формулировках, не часто являются блочнымя трекднагональнычи с блочным «свойством А», которос обеспечивает преимущество блочио-итерационных методов, го, по-видимому, эги методы нс найдут нлнракого вримеиелин в рассматриваемой области. дополнительную информацию а блочпмх методах можно найти в работах [37, 39, 43). 10.4 СПОСОБЫ ОБЛЕГЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕ1!ИИ В предыдущих разделах описано больш»нство обычна используемых методов решения систем линейных уравневий.
Обычной проблемой коиечиоэлементиых приложснай являете» несоответствие возможностей вычислнтелыюй машины размеру палачи По мере того как эозможиост» вычислительных машин увеличиваются, возникает потребность реже»ия задач еще больплего размера, так что возможности вычнсзнтельных машин вес равно остаютс» лимитирующими. В литературе нллеется многа указаний относительно способов уменьшения эффентнвного разиера задачи, таких, как разбиеняе иа блока, конненсацна, расчленеияе конструкции и вереиумервцня Хотя этн способы особенно полезны дл» болывих задач, они часто дают существенную экономию ллашиниого вречеин и в других случаях.
Некоторые иэ этик способов описываются в следующих разделах, другке мо. гут быть найдены в литературе га4л. условное РАЗБИРиме нл Блоки Кап указывалось раяее, матричное уравнение с»стены может расчленяться либо произвольно, либо условно. Существуют различные критерии расчленения. Например, в больпюй про.
грамме структурного анализа НАБТЯАН «важным средством павмшении эффективности» (32) оказалось разбиение вектора Х в равнении (10.1) иа векторы Х, н Хэ где Х содержит те иенэвестиыц которые существенно связаны между «обо . ц ° в у й. В и. тнроваияой рзботе показано, что Х, палучаетси решением уравиейня*энда РХ, = 4), (10,49) а Х находится по формуле Х, = Х, + О„Х,. (10.50) Хотя матрацы Р, Оа, () н Хл должны вычисляться иа основе подматриц уравнения (10.1),'в конечном итоге вычисления сво.
дятся к р решению уравнений (!049) н (!0.50), которые вмеют меньшую размерность, чем исходное (10.1), Как уже отмечалось, некоторым дополнительным достоинством »властен павышение эффективности. Можно также использовать условное рвзбяение для исключения заданных переменных. Первое разбиение матричного уравнения с»стемы (10.1) осуществляется следующим образом: (10.51) Здесь подматрнца Хл содержит только те узловые значения, ко. торые заданы. Необходимая группвровка может быть достигнута гштеы перенумерацин уравяений нли с помощью подпро. граммы переиумерацви, которан прнСваивает соответствующяе иочера прединсаяным узлам. Можно показать, что прн этом разбиении АО есть единичная матрица 1, Аю — прямоугольяая матрица нулевых эвемент»в, Алл — раэрежеинан прямоугольная матр»ца, Аю — симметричная квадрат»а» матрица.
Уравнение (1Оо!) представляет собой систему двух уравнений: Х,=Вь (10.52») А,лХл -1- Аэ Хл — Вл. (10.52б) Подстановка (!0,52а) в (10.52б) после перегруппировки дает АОХл = Вл, (10.53) В =Вэ АллВл. (10.54) Матрица.столбец Ва ыолкст бьюь вычислена во известным значениям согласно (!0.54). В результате получается уравнение (1053), которое имеет тот же самый общкй внд (!0.1) и должно решаться обычным образом. Если область задачи »4з Г ве!э где А —" Агз А»АН Ааз (10.56а) регулярна н пронзводнтся нумерацня') пепредпнсвняых узлов так, чтобы мнннмнзнровать шарнну ленты, то оказывается, что нгнр»не ленты Ан несущественно отлнчэетс» от шнрнны ленты А Такам образом, решенне уравяеннп (10.53) проще решения (10.1), «о требует некоторых допслннтель»ых вычясленнй согллсво равенства (10 54).
Друг»с варна»ты условного разбненн» на две частн » ботев можно »айэн в лнтературе. Обсуягдаемое в разл. 104.3 расчленение конструкцнн может рассматриваться как форма углов. ного раэбнення. ЮЛЛ. КОНДЕНСАЦНЯ Оп»санный ъ предыдущем разделе способ ясзлючепня задан- ных узловых знзчгнпй также может быть использован, «отя н в моднфнцнровзнной форме, длп нсключенна узловых значений Р . !ОЗ Че Вез!газ В зле»Яхт с э»эмме» я з Г Э евами тэзаче. внутренянх узлов нв элементного матрвчного уравнен»я '). Предположим, что уравнение (10.51) валяется элементным ма. трячным уравненпем для элемента с узла»» на грвнкце (еяешяяс узлы) н в областн (знухрс»яке узлы). Такам элементам мо кет быть четырехсторонна» фигура, па.
«азаннаи на ряс. 10.3. Элементное матрячное уравиенлс могло бить расчленено так, как попазано в уравнение (!О 5!), груп. внровкон внешнях узловых значений в матраце Хт п внутрен»их узловых значен»й в матрице Хь Два воз»нкагощнх в (10.51) нодматрнчных уран»сияя могут быть сведены к АХЯ=В, (10.55) В = В, — ХНА;,'Вь (1О.ббб) '1 Прояеюр з н яез мет бить змволесяз я за э,гглгл яея уюещ, шх еахаязяо ь ът.
б. Мягадь! Ршии»я Ззаэлзя»й и гешвта ерэяэал Ччэа»ез З4» Такнм образом, эпемеатаае мзтрнчное уравненне (10.51), со. держащее как внешвне, так н внутреннне узловые значения, своднтся к уравнснню (1И55), которое имеет аналогичный внд, но содержнт только внешнне узловые параметры. Прнченепне такай процелуры конденсацня ко всем элементам системы дает после объеднвення матрячное уравнение системы, содержащее только внецгнне (по отношенню к элементу) узловые парачетры. Наврат»е, объеднненне без канденсацнн лало бы большего размера матричное уравнен»в снстемы, содержащее как внешние, так п внутренние (по отношению к элементу) узловме параиетрм.
Опнсанвый вмше способ может быть нспользован пр» шшамнчесном аналнзе для нсключення беэмвссавых степеней свободы я соотштствепно уменьшення реямера чатрнц системы в. палаче на собственные значення Такая процедура часто называется стог»четкой конденсацией [54). Более подробяое оппсавне метода конденсаця» дано в работах (55 — б8) 1В4Д РАСЧЛЕНЕНИЕ КОНСТРУКЦИИ Для большого матрнчяога уравнен»я системы можно. пспольэо. вать процесс расчленения с целью кондевсацнн ураваення до прнеылемых размеров. Область ялн канструкцн» делнтся нз две Р !о 4 Рамзан нз е вт аих шяа ет Боеиг-тят нлн бали сехцнй, каждая нз которых разбивается не конечные элементы. Дл» каждой секцнн злемеатпые матрнчяые уравне.
няя объединяю!с» а секционные натрнчнме уравневня Рассматрнва» секцнн нак укрупненные элементы со мног»чн внутренн»мн н ввен1нзмн уэламн н нспользуя пропесс конденсацяв, как в предыдущем разделе, ка кдое чатрнчяое сеял»онпое уравнение Гююю можно сконденсировать в уравнеяне, содержащее только вну.
треннне узловые значення. Скоюинснровзвные такнм образом секцнонные матричные уравнения теперь могут быть объедвнсны в гмзтрнчное уравненне системы меньшего размера, вз которога можно определить секцнонвые узловые векторы. Этн Ьнешнне заачения яспользуютсн теперь для задання гравачных условнй каждой секднв, чтобы решать неконденснрованпыс сехцнонные матрнчные уравнення для внутренннх узловых значеннй. Одннм вз Лостонаств расчленения конструкцнн нвляется то, что допускаются значнтельные конструктнвные нзменення каждой секдня без яеобходнмостн пересчета первоначально заданных граннчных условий.
Этот полхол, в чзстностн, нспользуется прн праектярованян конструкцнй самолетов. Рнс. )0.4 нллюстрнрует способ расчленения нопструкцнн самолета «боинг-747» )59) 1944. ИеРенумеРАция узлОВ или сменА метОк В гл. 6 было показана, чта шнрнна ленты матрн !ного уравнення снстемы завнснт от способа нумерацин узлов. Для простых. конструкннй нан областей легко разметнть узлы в некотором порядке, котоРнй мнннмизнрует шнрнну ленты, но это становится почтн невозможным в случае большнх залач.
Более того, в наставшее время обычна попользуется автаматнческае по. строенне сеткн, н камера узлов, прнсванвземые сетпчным алга. рнтмом, могут давать 1ппРнну левты, далекую пт мняпмальной. Волн для решении матрнчнога уравненян снстемы нсполь. зуется прямой метод ленточного гнпп (см. равд 6.! я )0.2), та уменьшенне шнрнны ленты позволяет получнть бозее быстрое п дешевое решеппе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
