Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Уравненне (1!.49б), запнсанное в виде К'ф' = Л'Н'ф', ° (1! .50) '1 За»етв», чю О! 1, является уравненяем на собственные »ля харвктррнстнческне значения. В общем случае чнсла собственных значеннй Л, уло. влетворяющнх уравнению (11 50), равно порядку входящнк в него квадратных матрнн.
Каждому собственному значенню со. ответствует частное решение в вектор-столбец ф", нвзываемый собственной функцией, который оаределвет соответствующее распределение (молу) ф' по областн. Поскольку уравнення (!1.50) однородны, собственные фувкцнк не могут быть определены однозначна, хотя лля любой собственной функцнн может быть опрелелсно отношенне ее элементов. Час~о удобно счнтвть равным еднннпе нзнбольшвй элемент собственной фувкцин, а осталыгые элементы определять явно по атногпен»ю к этому опорному значенню. Уравненн» нв собственные значення тнпа (1!.50) могут быть решены как прям»мы, так и нтерацнанными металамн.
Так квк во многих фнзичеснвх задачах нз собственные значення амплнтуды колебаннй мод уменьшаются с увелнченнем частоты; то часто требуетс» лншь «ее»олька первых собственных знзченнй Л, н соответствуювгнх нм собственных векторов фо В этом случае нтерацнонные методы, как правнло, более предпочтительны. Подробностн процедур решепня задач на собственные значеннн оп»сываются в литературе (!2 — 15), Иана и ме р а»и з ттада азащ»э эщ е а зш 1!.4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ фнзнческне залачв с уравнсннями тнпа ураввення Гельмгольца в действнтельности являются вестацнонарнщмн, на перноднч. ность движення яасто позволяет свестн онрелсляющне уравнення к рассмотренной ранее не заннсящей от времена залаче на собственные значеннн. Такне задачи, как неустаиовнвшиес» колебания, в которых завнснмость ат временн в определяющих урввнеянях сохранзегся, знвчнтельна сложнее для рсшення, Для ннх полезен тзкже конечнаэлементный подход, но, поскольку в большннстве случаев варнвционный принцнп'не может быть прнненен, нужно попользовать другие формулнровкн, такне, как метод Гвлеркнна, Можво аоназать (1, 8, 1 ГН что метод конечных элементов для'нестзанонарвмх задач првводнт к мзтрнчному уравнению снстемы в виде Кф .!- Сф -!- Мф = Р !О, (ц и) где К в матрнца жесткости системы, С вЂ” матраца демпфирования (ялв емкостнаго сапратнвлеиня), М вЂ” матрица инерции (обычно матраца масс) в РРЗ вЂ” днскретизкрованная вынуждающая функцвз задача.
Матрнцыф, ф,ф являются снстемаыми векторамн узловых значений для ф,др/д! н дзф/д!з соответстаен. но. В этой формулнррвке фуннцяя Р аппрокснмируется в про. странственной области пробной фуикпней ф Другой подход нспользует пробную функцню для авпрокснмацяя Р как в про странстве, так к во временн, ва он не будет расгматрнввться в. данной кннге. Пропелура решения уравневня (!! 5!] будет завнсеть сред» других факторов от точных характернстяк уравнення, тяпа вынуждающей функцнн я »псла узловых параметров системы. Широко используются суперпознцвя мод н расчет слОями по времени, но также существуют и спецналнзнрозанные процедуры, развнтые для опрелеленных задач Во всех нсстационарных за. дачак существует опасность чнслеяной неустойчнвостк, Более подробную ннформвцвю цо затронутым здесь вопро.
сам читатель может получнть в пнтяроввнной аигературе, так квк детальное нсследованяе нестацнонарнык задач выходит за рвмкн этой книгн. 11,5 ДРУГИЕ ПРИЛО)КЕНИЯ Метод конечных элементов прнменялся к разнообразным физв. ческвм н ннженериым звлачам. Обзоры, такие, как (!6, 17), указывают граннци возможности н применнмостн мщода, а с Гв вш конечнозлементнммн формулировками для специфических задач можно познакомиться по бнблнографнн (18). Подробные опнсаннн спецнальныя подходов имеются в пнтерэтурэ. ивтервтурз 1.
21е исаи» О с., тье Р1пие ю вен! мешад гп епипюнпк 5сг п е, Мсс вя-НИ1, Ке УагЬ, 1971 (Инеекя аезеэох Венаезя О., Метод а. нечянх ыеи а» з техяхзе — М.г Мсэ, 1975.! 2. О вг О, ТЬе Р!пде Емвепг МегЬод, !пэмт Ед анапа! РаЫ, Ме Уогд 19Ш. В.
Мзгнп Н С., Смеу О. Р.. 1пггодисгЬп Ь Г!нИе Шевепг йвгузгэ, Моите т- НШ, Ме Таш, !973 4. ОецвКЬег й. Н., Г1пИе Швпепг А!к!Уев, Ргепнге.Нэц, ЕпМвуюд СИЕН Хе 1е еу,!975. б йаЫпюп 1 Н, гпмн а1э! ТЬ огу ог Ргпае женю! МегЬадэ, 951еу (!п. Инта псе), Ме Уо Ь, 1973 б й сву И'С., Етапэ Н й., Ог1игю О. %', ХегЬеко! О, А, ТЬе Инке Егс !МН д,С*ЭЬУЬ З Ьщщгг ! д,!Шб 7.
е еьыэ с. А., Гюпыг 1. 1., Рапдэпмп!а(з ! у!с!ге шегпеп1 ттсьпчаеэ, на!мед Р еээ, %1ьу, к Уфгц 19т4 Р. !пг» !аспас 1а Ше И И Кази яд иегаЬеы, Р в гая, Мем 44 эеу, 1972. 9 Сооэ и О, Сопсери пд Арунсаноп а! Ргвгге Егепмп! Ап 1уэге, анну, Хе Уащ, 1974 Ю, Мо Пе О. Н., де Чню О., Тье Ггпне Егепэепг Нейсе, Аеэд вг Ргиэ, Ме У Нь 1973. гь навылет й н, ть«шпие 51вп пг ммьад !аг епвп э, 'ш!еу, мея уощ 19ж 12 А«гоэ Р.
9., Мвэеп«эг Меюад Тьа! Шаге, Н ав, Хет Увь Шуа. '13. Тдыпэоп 1. Н., Тье АгяеЬгэге Егк п э!ее РгоЫев От!ам );пк Ркэз, копья пд меф таис 1шб. (Ннеекэ ыр ах Уээзнесаэ Ев, х., Азам авгме аааб. ене еаб нмх эзвкняэ — М.. Науке, 1ШВ) 14. Иащап А., ИЧИ Н 5„Мэ1Ьнпэпсэг же!над гог ОШИа1 Соврсгегэ, Чог 2, шцеу, Меэ' Уа Ь, 19б7, гб В ЬЬМ С А, Т ИепЬэвН Фэ Гвгвп О Е., Юг!зал!., ФИ!аз й, ШЬ анапе аг епкгпкг!Ьш 51кдаг э, соваатаиайэг месьапне, баэшв ргоп, Рак! пд 1975 19 тгюыенн О с, Рпяп гаьиьп ь Вене ашу, Арм.
м сэ йе ., ш, 249— 2бВ (1979) (И е е пе! оз: 3 тяеэяч О„М тоз апет о экнока: и яптуяея к абвнасти, б ыр аха мех» * °, эь Ц 1979.) 17. Кот м О. Й., ш ч гк О, А эв к аг ьпн 1 вен! вэуьсэиаа \и и й весь мсэ, иер ма ВЗ, Оерг. ег месь епк, 1! !т. а! се!негу, А1ьеиа, Сзыд. (7ысевкг 197В) !В Хатке О Н„де Чг ее О., РЬШе Егвп пг В!ЬкаккрЬУ, Ргелав, Квт уогэ, Ю7б.
12 ДЕУГИЕ ВОРМУЛИИ)ВКИ )ВЕТОДЛ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Выше отмечэласи что условия, прн которыя адн линейных са. мосопряженных еедач функцнонал нмеет-стационарное знвче. няи можно попользовать в формулнровке метода конечных зле. ментов дня вычнслення решення определявшего уравнения. Ддн збдеч другнх тнпов, когда функционал такого типа не существует, возможна тем не менее сформуднравать вариацнонный метод конечных 9иемсвтов, есин можно установить кввзнварнацнонный ндн ограннчезный варнацяонный принцип. Однако з такнх случаях абЫчно предиочнтают (1) испольэовать неварна.
цнонный подход. Наиболее популярным нз другнх методов конечных элементов является метод Геяернина, являющийся, как к метод неяменьшкх квадратов, частной формой метода невяеок. Другой метод, имеюшнй шнрокую область применения, известен в равных названиях как прямой метод, метод знергетнческого бе. данса, метод глобального баланса нла метод конечных злемея. тов с подннжным (кантролв!Мм) объемом 12,!. МЕТОДЫ НЕВЯЗОК Рассмотрнм задачу, дня которой определвюшее урзвненне в об. ласти О содержит одяу заннснмую переменную и с ее пропевал. вммн а несколько аезавнсямых неременных кь хь, хв обо. значаемых вмкте через х, Пусть определяющее ураяневяе за.
писано вобщей форме ' )а (и; .т,) - О. (!2.!) Подставляя приближенное решенне й в уравнение (12.!), в аб. щем случае не получнм )а (51 х!) = О: (12.2) поэтому погрешность нля невязка й дня уравнения мажет быть определена в анде л-((: ) — ) (й: ). (12.5) С црпблкженяем аппроксимирующего решения й к точному и невязка )Т стремятся к нулю Подстановка уравнения (!22) в Глава П ящ (Вйй) (12.10) (!2.7) 1О З .Яы (123) позволяет получить невязку в простой форме Д= — )о(й; к,). (12А) В методах невязок для пробной функции требуетсв, чтобы невязка й удовлетворяла некоторому условию, которое вынуждает ее быть малой.
Для копсчноэлементного метода невязок это взвешенный интеграл по области ~ йу((Д)йО, который доли жен удое.»етворкть критерию малости, где йт — весовая функция Выбор 3» и !(Д) определиет конпретные методм, а иыснно метод Гощркипа; ~ 9'рйдО О, я=1, 2, ..., о, (12.6) о где >Рг — определяемые последовательно ннтерполянты по области, а д — общее число узловых параметров; метод маяыеныипх квадратов: ~ ЯздО=пып. (126) о Очевидно, что в (12Л) уравнеаий йтолько же, сколько и узловы» параметров, что позволяет получить решенно.
В случае метода паименьшпх квадратов подстановка конечпоэлемевтной янтарна»яппи в Д при помощи уравнения (!2.4) преобразует подыптегральное выражение в функцию от всех узловых парамстров системы Условнеч нкнимальностн Д является использованное раисе условие равенства нулю производных па всем узловым параметрам Тяпам образом, получзетсв система л уравений хля и неизвестных узловых значений. До сих пор рассматравались только незяакн, позникаюпн»е из определяюпщх уравнений. Если пробаая функция не удовлетворяет граничным условиям точно. то незязки аа граннде'), определяемые аналогично веаязкам в области, ве будут нулевымн, и вх также слелует рассматривать.
В этом случае метод невязок основмаается йа обшщ пножествах неввзок. Обычно, однако, требуют, чтобы пробнаа функция удовлетворяла грани»ным условняы точно; тогда нсвязк»пна границах рваны нулю н в дальнейшем нс учитываются. !2.2. МЕТОД ГАЛЕРКИНА Для метода Галеркииа используется уравпеаие (12.6), гвю в общем случае )Уа — »гнтерпалянты пробной функцпи в областа вида й= 3,'9',Дз в '1 и зща певеззс ыез ~ оененн> зз»завяня г лозпя поэзо ляю тзчж опт я .
пг зщаллчгм чезязьк Дрызе бзляущлымя яг оза еочзвяы азеязяюа я»3 Здесь и,— узловые параметры системы, а л — общее нх числа. Па аналогии с ураваевнсм (9.1) для пробной функции 37, ма. тут быть описаны как базисные функции н, чтобы зто подчерк. нУть, йгг бУдУт обоэначатьса квк А»э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
